第1章 三角形的证明（全章复习与巩固）（基础篇）

第1章三角形的证明（全章复习与巩固）（基础篇）一、单选题1．已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（）A． B． C． D．或2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．1．5，2，33．已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是（）A． B． C．平分 D．4．如图，，分别是线段，的垂直平分线，连接，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．5．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧相交于点D和点E，直线交于点F，交于点G，连接，若，则的周长为（）A． B． C． D．86．如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，那么的长度不可能是（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点T，连接，则的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°9．如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（）A． B． C． D．10．如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）​A．9 B．6 C．5 D．4二、填空题11．如图，在中，，是高，，，则的长是_________．12．如图，在中，，，且与交于点H，若，则的度数为___________°．13．如图，在中，是的垂直平分线，，，则长是__________．14．如图，，，垂足分别为、，、相交于点，且平分，，则______．15．如图，在中，，，点为延长线上一点，点为边上一点，若，则的度数为________．16．如图，在中，于点D，C是上一点，，且点C在的垂直平分线上．若的周长为30，则的长为_________．17．如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．18．已知，P是射线上一动点（即P点可在射线上运动），．设．则x满足条件________________________时，为钝角三角形．三、解答题19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在中，是高．动手操作：利用尺规作图作的平分线，交边于点E（不写作法，保留作图痕）．在（1）的条件下，若，，求的度数；21．如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接．求证：；若时，求的长．22．如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．(1)求证：；(2)若，，求的长．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．(1)求证：AE＝CD；(2)若AC＝12cm，求BD的长24．如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．求证：；求的度数；探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．①的度数为°；②线段之间的数量关系为．（直接写出答案，不需要说明理由）参考答案1．C【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解：∵，∴，，解得：，，4是腰长时，三角形得三边分别为4、4、8，∵，∴不能组成三角形；4是底边时，三角形得三边分别为4、8、8，可以组成三角形，周长，所以三角形得周长为20．故答案选：D【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值的非负性和平方非负性的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出x、y的值是解此类题的关键．2．D【分析】根据勾股定理的逆定理，即如果三角形的三条边满足则这个三角形是直角三角形，即可得出结果选D解：A、满足勾股定理的逆定理，故此项不选B、满足勾股定理的逆定理，故此项不选C、满足勾股定理的逆定理，故此项不选D、不满足勾股定理的逆定理所以不能构成直角三角，故选此项故选择D．【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，掌握住勾股定理的逆定理是解题的关键．3．B【分析】根据等腰三角形的性质即可确定答案．解：由等腰三角形三线合一的性质可得：，平分，由等边对等角的性质可得，由等腰三角形的性质不一定有，除非是等腰直角三角形．故选：B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键．4．B【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可求解．解：如图所示，连接，∵，分别是线段，的垂直平分线，∴，故选：．【点拨】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．5．A【分析】先利用勾股定理求出，再根据作图方法可知是线段的垂直平分线，则，最后根据三角形周长公式进行求解即可．解：在中，，，∴，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴的周长，故选A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，证明的周长是解题的关键．6．B【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可．解：过D作于E，∵，对角线平分，∴，∵，∴，∵，∴，故选B．【点拨】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．7．D【分析】在中，利用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可求出的长，由点是边上一动点结合，的长，即可得出长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．解：在中，，，，．点是边上一动点，，即．故选：D．【点拨】本题考查了含度角的直角三角形的性质通过解含度角的直角三角形，求出的长是解题的关键．8．B【分析】根据，，计算；根据，得，根据直角定义计算的度数即可．解：因为，，所以；因为，所以，所以，故选B．【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的性质，本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．9．B【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式进行计算即可．解：过点E作于点F，如图所示：∵是边的高线，∴，∵平分，∴，∴，故B正确．故选：B．【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．10．A【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．求证∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，FE=CE，然后利用等量代换即可求出线段DE的长．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，∴BD=DF=5，FE=CE=4，∴DE=DF+EF=5+4=9．故选A．【点拨】本题主要考查了学生对等腰三角形的判定和平行线的性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．11．16【分析】根据直角三角形中所对的边是斜边的一半，将的长转化成即可求解．解：∵在中，，，∴，∵是高，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴故答案为：．【点拨】本题主要考查了直角三角形中所对的边是斜边的一半，熟练掌握等量代换是解题关键．12．130【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得计算即可得解．解：∵，∴，∴，∵，∴，由三角形的外角性质得，．故答案为：130．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．13．16【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．解：∵是的垂直平分线，∴，∴，故答案为：16．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．14．2【分析】根据角平分线的性质定理即可知．解：∵，，∴，．∵平分，∴．故答案为：2．【点拨】本题考查角平分线的性质定理．掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．15．##65度【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据三角形的外角性质求出。解：在中，，，则，是的外角，，故答案为：．【点拨】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题关键。16．15【分析】利用垂直平分线的性质解题即可．解：∵于点D，，∴，∵点C在的垂直平分线上，∴，∴，∵的周长为，∴，∴，故答案为：15．【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质，能够熟练运用垂直平分线的性质是解题关键．17．8【分析】连接，根据和都是边长为4的等边三角形，证明，可得，所以，进而可得当点P与点C重合时，的值最小，正好等于的长，即可求解．解：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．或【分析】分两种情况，当和时，根据直角三角形的性质分别求得的长，再根据钝角三角形的定义解答．解：当时，，∴，当时，，∴，∴当或时，为钝角三角形，故答案为：或．【点拨】本题考查的是直角三角形的性质，掌握所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．19．（1）见分析（2）BD=2【分析】（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出两个三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20．(1)见分析 (2)的度数为【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到的平分线；（2）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得出以及的度数，即可得到的度数．（1）解：如图所示，即为所求；；（2）解：∵是高，∴，在中，，，∴，在中，，，∴，由（1）知，为的平分线，∴，∴．【点拨】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握角平分线的定义以及尺规作图方法．21．(1)见分析 (2)【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，进而证明，即可根据证明；（2）勾股定理求得根据已知条件证明是等腰三角形可得，进而根据即可求解．解：（1）证明：是等腰直角三角形，，，，在与中；，（2）在中，，，,,,,,∴∠ADC=∠ACD，,．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．(1)见分析 (2)【分析】（1）利用角平分线平分角，得到，利用平行线的性质，得到，从而得到：，即可得到：；（2）利用角平分线的性质，得到，利用勾股定理求出的长，再根据，，求出的长，再利用勾股定理，求出的长即可．解：（1）证明：∵分交于点，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，分交于点，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，．【点拨】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握有角平分线和平行线，必有等腰三角形，是解题的关键．23．(1)见分析 (2)BD=6cm．【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．解：（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．∴∠D=∠AEC．又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA，在△DBC和△ECA中，∵，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE=CD；（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD=CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．∴BD=6cm．【点拨】本题考