高二数学人教A版2019选择性讲义第11讲正态分布3种常考题型

第11讲正态分布3种常考题型【考点分析】考点一：正态曲线①正态曲线：函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．②正态曲线φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R有以下性质：1.曲线位于x轴上方，与x轴不相交；2.曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；3.曲线在x＝μ处达到最大值eq\f(1,σ\r(2π))；4.曲线与x轴之间的面积为1；5.当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；6.当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②.考点二：正态分布的性质①正态分布：一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)等于正态分布曲线与轴所围成的区域面积，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为。（此时，X不是离散型随机变量，是连续型随机变量。）②X～N(μ，σ2)中μ，σ的统计意义1.μ可取任意实数，表示平均水平的特征数，E(X)＝；2.σ>0表示标准差，D(X)＝σ2当μ一定时，σ越小，正态曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散考点三：正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.②由P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内.而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.③在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则.【题型目录】题型一：正态曲线题型二：利用正态分布求概率题型三：正态分布的实际应用【典型例题】题型一：正态曲线【例1】设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（

）．A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10【答案】B【分析】化简函数为，得到，即可求解.【详解】因为，所以，即正态总体的平均数与标准差分别为与.故选：B．【例2】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（

）（注：正态曲线的函数解析式为，）A．甲类水果的平均质量B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】A【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，，，故A正确，C错误；因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．故选：A．【例3】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【详解】由题图中的对称轴知：，与(一样)瘦高，而胖矮，所以.故选：C【例4】若随机变量服从正态分布，记为，则关于的密度函数及其图象，下列说法中错误的是（

）A．当时，正态曲线关于轴对称B．正态曲线一定是单峰的C．曲线的峰值为D．当无限增大时，曲线无限接近轴【答案】C【分析】根据正态分布曲线的性质逐个判断即可【详解】对A，当时，正态曲线关于，即轴对称，故A正确；对B，根据正态曲线函数的性质可得正态曲线一定是单峰的，故B正确；对C，曲线在处取得峰值为，故C错误；对D，当无限增大时，曲线无限接近轴，故D正确；故选：C【题型专练】1．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，可得随机变量的方差为，即，所以A错误；对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以B错误；对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，所以，所以C正确；对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，即，所以D错误.故选：C.2．（多选题）已知随机变量X的概率密度函数为(，)，且的极大值点为，记，，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】利用随机变量X的概率密度函数可得到，可判断A；利用复合函数单调性可得在上递增，在上递减，即的极大值点为，故可判断B；根据密度曲线关于对称，可判断CD【详解】对于A，由随机变量X的概率密度函数为可得，因为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故错误；对于B，因为二次函数在上递增，在上递减，由函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可得(，)在上递增，在上递减，所以的极大值点为，所以，所以随机变量X服从正态分布，故正确；对于C，因为，，又，所以，即，故正确；对于D，因为，，所以，故正确；故选：BCD3．（多选题）关于正态密度曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线关于直线对称B．曲线的峰值为C．越大，曲线越“矮胖”D．对任意，曲线与轴围成的面积总为1【答案】ACD【分析】根据密度曲线的解析式判断ABC，由密度曲线的特点判断D即可得解.【详解】对于A，根据正态密度曲线可知，，，故，所以曲线关于直线对称正确；对于B，当时，的峰值为，故不正确；对于C，当越大时，的峰值越小，所以曲线形状“矮胖”，故正确；对于D，由正态曲线的特点知，曲线与轴围成的面积总为1，故正确.故选：ACD4．设随机变量，X的正态密度函数为，则______.【答案】0【分析】由正态密度函数结构直接可得.【详解】由正态密度函数结构特征可知，.故答案为：0题型二利用正态分布求概率【例1】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B．C．D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【答案】A【分析】越大，正态密度曲线越“胖矮”，可知选项A错误；根据正态密度曲线的对称性，可知BCD正确．【详解】为数据的方差，所以越大，数据在均值附近越分散，所以测量结果落在内的概率越小，故A错误;由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；由正态分布密度曲线的对称性可知，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等，故D正确.故选：A.【例2】随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值 【答案】A【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解.【详解】由题意可得：∴故选：A.【例3】随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正态分布的性质即可求解.【详解】解：由题意可知，则，故图中阴影部分的面积为.故选：C.【例4】已知随机变量X服从正态分布，且，则（

） 【答案】D【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】解：因为且，所以.故选：D【例5】已知随机变量服从正态分布，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正态分布的性质可得，即可得到、关于对称，从而得到方程，解得即可.【详解】解：因为，，所以，所以，解得.故选：D【例6】（多选题）设X是随机变量，那么（

）A．若，则B．若，，则C．若，，则D．若，则【答案】ABC【分析】对于AD，根据二项分布的性质分析判断，对于BC，根据正态分布的性质分析判断【详解】对于A，因为，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，因为，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D错误，故选：ABC【例7】（多选题）将二项分布X~B（100，0.5）近似看成一个正态分布，其中，.设，则Y~N（0，1），记，已知，，则（

）A．， B．C． D．【答案】AC【分析】根据二项分布的期望与方差公式可求得，即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据，结合已知数据即可判断C；根据正态分布的特征即可判断D.【详解】解：因为X~B（100，0.5），所以，所以，故A正确；因为，所以，因为Y~N（0，1），所以，所以，故B错误；若，则，所以，故C正确；，为固定值，正态分布是连续型的，连续型随机变量取任何一个固定的值概率都是0，所以，故D错误.故选：AC.【例8】（多选题）已知随机变量服从二项分布，其数学期望，随机变量服从正态分布，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由二项分布的均值知求得，即可判断A，B，进一步求出，又根据服从正态分布可求得，,即可判断C，D.【详解】因为，所以，即A错误，B正确；易知，因为，所以，所以，即C错误，D正确.故选：BD.【例9】已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________.【答案】【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可.【详解】解：因为随机变量X，Y分别满足，，所以，，解得，故答案为：.【题型专练】1．已知两个随机变量，，其中，（），若，且，则（

） 【答案】D【分析】根据二项分布的均值与正态分布的均值公式可得，再根据正态分布曲线的对称性求解即可【详解】由可得，即.又，由正态分布曲线的对称性可得故选：D2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（

） 【答案】D【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为，根据对称性可知：故选：D3．下列说法正确的是（

）A．“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的充分不必要条件B．随机变量，若，，则C．随机变量服从正态分布，且，则D．随机变量服从正态分布，且满足，则随机变量服从正态分布【答案】D【分析】对于A：利用互斥事件和对立事件的概念即可得出A错误；对于B：利用二项分布的期望和方差公式求解即可判断B错误；对于C：利用正态分布的对称性即可判断出故C错误；对于D：利用正态分布的概念和期望方差公式求解即可得D正确；【详解】对于A：与是互斥事件，但与不一定互为对立事件，与互为对立事件，则与一定是互斥事件，故“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，故A错误；对于B：随机变量服从二项分布，若，，可得，，得，故B错误；对于C：由服从正态分布，得，．∵，则，故C错误；对于D：随机变量服从正态分布，且满足，则,,，，，故，即随机变量服从正态分布，故D正确；故选：D.4．随机变量，已知其概率分布密度函数在处取得最大值为，则（

）附：． 【答案】B【分析】由正态分布的性质求出，再利用特殊区间的概率及正态分布的性质求解．【详解】由题意，，，所以，，所以，．故选：B．5．已知随机变量X服从正态分布，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正态分布的对称性可得：，，结合题意可求，进而可求．【详解】，则，∴，则，∴，故选：C．6．（多选题）某产品的质量指标值服从正态分布，则下列结论正确的是（

）A．越大，则产品的质量指标值落在内的概率越大D．该产品的质量指标值落在内的概率与落在内的概率相等【答案】BC【分析】对于A，根据标准差的性质分析判断，对于BCD，根据正态分布的性质分析判断即可.【详解】对于A，越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在内的概率越小，所以A错误，对于B，因为产品的质量指标值服从正态分布，所以正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B正确，对于C，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C正确，对于D，由选项B可知正态分布的图象关于直线对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在内的概率大于落在内的概率，所以D错误，故选：BC7．（多选题）下列说法正确的有（

）．A．从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为B．若随机变量，则方差C．若随机变量，，则D．已如随机变量X的分布列为，则【答案】BCD【分析】根据对立事件的概率可求A,根据二项分布的方差以及方差的性质即可求解B，根据正态分布的对称性可求解C，根据随机变量的分步列即可求解D.【详解】对于A，设至少有一名女生为事件，则，则，故A错误；对于B，因为随机变量，所以，，故B正确；对于C，根据正态分布的性质，，所以，，故C正确；对于D，，得，可得，解得，所以，故D正确；故选：BCD．题型三：正态分布的实际应用【例1】某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛，统计得考试成绩（满分150分）服从正态分布.考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为（

）附：.A．26 B．52 C．456 D．13【答案】A【分析】由题意可得正态分布中的，根据正态分布的对称性结合题中数据求，即可求出答案．【详解】考试成绩（满分150分）服从正态分布，所以，则，，所以可进入决赛的人数大约为人.故选：A．【例2】已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（

）附：随机变量服从正态分布，则A．该校学生成绩的均值为25 B．该校学生成绩的标准差为C．该校学生成绩的标准差为70 D．该校学生成绩及格率超过95%【答案】D【分析】求得该校学生成绩的均值判断选项A；求得该校学生成绩的标准差判断选项BC；求得该校学生成绩及格率的范围判断选项D.【详解】由正态分布的定义，为期望值，为方差，选项A：该校学生成绩的均值为70.判断错误；选项B：该校学生成绩的标准差为.判断错误；选项C：该校学生成绩的标准差为.判断错误；选项D：该校学生成绩及格率，判断正确.故选：D.【例3】某班一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则估计该班这次数学考试的平均分为（

）A．85 B．90 C．95 D．105【答案】C【分析】利用正态分布的性质计算可得答案.【详解】因为，所以估计该班这次数学考试的平均分.故选：C.【例4】小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设做公交车用时，骑自行车用时，则（

）A． B．C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车【答案】B【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】因为，，将化为标准正态分布，则，因为，所以，故A错误；又，，故B正确；因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误；因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误.故选：B．【例5】（多选题）某校对高一学生进行了一次物理测试，得到学生的物理成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀．则下列说法正确的是（

）参考数据：随机变量，则，，．A．该校高一学生物理成绩的方差为10B．该校高一学生物理成绩的期望为70C．该校高一学生物理成绩的及格率不到85%D．该校高一学生物理成绩的优秀率超过5%【答案】BC【分析】根据，求出高一学生物理成绩的期望为，方差为，从而A错误，B正确；利用正态分布的原则及正态分布的对称性得到成绩的及格率和优秀率，判断CD选项.【详解】因为，所以该校高一学生物理成绩的期望为，方差为，故A错误，B正确；因为，，而，所以，，所以，故该校高一学生物理成绩的及格率不到85%，C正确；，而，所以，所以该校高一学生物理成绩的优秀率不足5%，D错误；故选：BC【例6】（多选题）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数)（

）参考数据：若，．B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C．成绩不超过77分的人数少于150D．超过98分的人数为1【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由，可知，所以平均分为，故A对.由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知，成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对.,因为，所以C错误.,因为，所以超过98分的人数为1，故D正确.故选:ABD【例7】已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.【答案】8186【分析】根据正态分布的对称性及原则求出，从而求出袋装质量在区间的约有袋.【详解】由题意得：，，则，故，则袋装质量在区间的约有袋.故答案为：8186【例8】现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（

）A．32 B．64 C．128 D．256【答案】C【分析】先由题设条件得到，再转化得，从而利用正态分布原则可得，由此可得结果.【详解】依题意，得，所以，即，而，所以且，又因为，所以，，所以且，即，解得，故至少要测量的次数为.故选：C.【例9】为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次：每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：）根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布.(1)假设生产状态正常，记表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在之外的药品件数，求的数学期望；(2)在一天的四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果有两次或两次以上出现了主要药理成分含量在之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.①下面是检验员在某次抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得，，，其中为抽取的第件药品的主要药理成分含量，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）.附：若随机变量服从正态分布，则，，，，，.；(2)①需对本次的生产过程进行检查；②0.014.【分析】（1）根据题意结合分布的对称性可得药理成分含量在之外的概率，再利用二项分布的数学期望公式计算数学期望即可；（2）①由估计得，验证表中数据即可；②先利用二项分布的概率公式计算在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查的概率，然后利用古典概型的概率计算公式确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率即可.【详解】（1）抽取的一件药品的主要成分含量在之内的概率为0.9974，从而主要成分在该区间之外的概率为0.0026，故，X的数学期望为.（2）①由，得估计值为，结合样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分（9.22）含量在之外，因此需对本次的生产过程进行检查.②设“在一次检测中，发现需要对本次生产过程进行检查”为事件，则，如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，则在一天的四次检测中，两次或两次以上出现了主要药理成分含量在区间外的药品，故概率为：，故确定一天中需要对原材料进行检测的概率为0.014.【例10】为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本成绩平均分，近似为样本成缋方差，若，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”．附：若，则，，．【答案】(1)，；(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①结合给的概率和正态分布的性质，确定获得“参赛纪念证书”，进而计算可得人数；②利用正态分布的知识求出，即，进而可得结果.（1）100名居民本次竞赛成绩平均分，100名居民本次竞赛成绩方差，（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，所以，，可知，，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456；②当时，即时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先峰证书”．【题型专练】1．近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布和，则下列选项不正确的是(

)附：若随机变量X服从正态分布，则．A．若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C．白玫瑰日销售量范围在D．白玫瑰日销售量范围在【答案】D【分析】利用正态分布曲线的性质即可逐项判断求解.A：根据即可求解；B：根据红玫瑰日销售量的方差为，白玫瑰的日销售量的方差为即可比较判断；C：根据对称性可知；D：根据对称性可知．【详解】对于A，若随机变量X服从正态分布，则，∴对于红玫瑰的销量，若红玫瑰日销售量范围在的概率是0.6826，则，故红玫瑰日销售量的平均数约为250，故A正确；对于B，∵红玫瑰日销量的方差为900，小于白玫瑰日销量的方差1600，∴红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，故B正确；对于C，设白玫瑰日销售量为X，，，，则，故C正确；对于D，白玫瑰日销售量范围在，即的概率为，故D错误．故选：D．2．（多选题）赵先生早上9：00上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．赵先生从家到公交站或地铁站都要步行5min．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：min）服从正态分布，下车后从公交站步行到公司要12min；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：min）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到公司要5min．从统计的角度，下列说法中正确的是（

）参考数据：若，则，，．A．若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到B．若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C．若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大D．若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到【答案】CD【分析】利用正态分布的性质以及正态分布在特殊区间的概率进行计算求解.【详解】对于A，若8：00出门，赵先生乘坐公交的时间不大于43min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，且，所以，所以赵先生上班迟到还是有可能发生的，A不正确；对于B，若8：02出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于48min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，所以，所以赵先生乘坐地铁上班不迟到的可能性为0.9772，若8：02出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于41min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，所以，故二者的可能性一样，B不正确；对于C，若8：06出门，若乘坐公交，则乘坐时间不大于37min才不会迟到，因为乘坐公交所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，所以，若8：06出门，若乘坐地铁，则乘坐时间不大于44min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，C正确；对于D，若8：12出门，赵先生乘坐地铁的时间不大于38min才不会迟到，因为乘坐地铁所需时间（单位：min）服从正态分布，所以，所以，所以乘坐地铁上班不迟到的可能性非常小，D正确．故选：CD.3．（多选题）杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4，假设坐公交车用时（单位：）和骑自行车用时（单位：）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（

）A． B．C． D．若某天只有可用，杨明应选择坐公交车【答案】ABD【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】解：随机变量的均值为，方差为，则，，，随机变量的均值为，方差为，则，，，所以，故A正确；，，因为，所以，故B正确；，故C错误；对于D，因为，所以选择公交车，故D正确．故选：ABD．4．（多选题）某物理量的测量结果服从正态分布，则（

）A．该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称B．越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡C．越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大D．在一次测量中，的取值落在与落在的概率相等【答案】AC【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AD选项的正误；利用的大小对正态密度曲线的影响可判断BC选项的正误.【详解】对于A选项，该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，A对；对于B选项，越大，曲线越平，B错；对于C选项，越小，曲线越陡，所以，越小，在一次测量中，的取值落在内的概率越大，C对；对于D选项，因为，由正态密度曲线的对称性可得，D错.故选：AC.5．（多选题）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（

）A．该地水稻的平均株高约为 B．该地水稻株高的方差约为100C．该地株高超过的水稻约占68.27％ D．该地株高低于的水稻约占99.87％【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】由题意可知，，，故A，B正确；由题意得，所以，故C错误；所以，故D正确；故选：ABD.6．（多选题）设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中错误的是（

）A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．对任意正数t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．对任意正数t，P(X>t)>P(Y>t)【答案】ABD【分析】根据正态分布的密度曲线可知和的大小关系，由正态分布的意义即可求解.【详解】由题图可知μ1<0<μ2，σ12<，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错；P(X≤)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)>P(Y≤t)，而P(X≤t)＝1－P(X>t)，P(Y≤t)＝1－P(Y>t)，∴P(X>t)<P(Y>t)，故C正确，D错．故选：ABD7．正态分布概念是由德国数学家和天文