数学（选修12）课件511合情推理（一）归纳

第5章推理与证明5．1

合情推理与演绎推理5．1.1

合情推理(一)——归纳

1．了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．2．了解归纳在数学发现中的作用．一、阅读教材开始～例1，完成下列问题1．归纳的定义由一系列有限的__________事例得出__________结论的推理方法叫作归纳．2．归纳推理的一般步骤首先，通过观察特例发现某些__________或__________；然后，把这种共性推广为____________________；最后，对所得出的一般性命题进行__________.特殊一般共性一般规律一般性命题(猜想)检验“金导电、银导电、铜导电、铁导电，所以一切金属都导电”．这种推理方法是________推理．提示：归纳二、阅读教材例2～例3的有关内容，完成下列问题3．归纳推理的用途用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现_________，但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论_______________.一般规律不一定可靠如何说明归纳猜想所得结论不一定正确？提示：可通过举反例的方法说明归纳猜想所得结论不一定正确．代数中的归纳推理

[互动探究]

本例猜想的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．【点评】由数列的递推公式猜想通项公式时，应先由已知的递推公式求出数列的前n项，再观察数列的项与项数的关系，进而归纳出通项公式．解析(1)易知数组的第1个数依次成等差数列，第2个数依次成等比数列，且这两个数列的通项公式分别为an＝2n－1，bn＝2n－1；第3个数为该数组前2个数的积．∴a＝a5＝9，b＝b5＝16.∴c＝ab＝144.∴a＋b＋c＝169.几何中的归纳推理

数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．解正方体：F＝6，V＝8，E＝12；三棱柱：F＝5，V＝6，E＝9；五棱柱：F＝7，V＝10，E＝15；四棱锥：F＝5，V＝5，E＝8；……两个同底面的四棱锥组成的组合体：F＝8，V＝6，E＝12；……通过以上观察，发现F，V，E满足以下关系：F＋V－E＝2.所以归纳出F，V，E的一般性结论：在凸多面体中，面数F、顶点数V和棱数E满足以下关系：F＋V－E＝2.【点评】解决此类问题可以从两个方面入手①从图形的数量规律入手，找到数值变化与序号的关系．②从图形的结构变化规律入手，发现图形的结构每发生一次变化，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．2．(1)如图所示①②③④为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点，多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表．(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系．(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数．解(1)②8

12

5

③6

9

4

④10

15

6(2)观察：8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.通过观察发现，它们的顶点数V、边数E和区域数F之间的关系为V＋F－E＝1.(3)由已知，V＝999，F＝999，代入上述关系式得999＋999－E＝1.∴E＝1997.故这个图形有1997条边．

(1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．数表中的归纳推理该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为(

)A．2017×22015 B．2017×22014C．2016×22015 D．2016×22014(2)将正整数排成下表：12

3

4

5678910111213141516……则数表中的数字2016出现的行数和列数是(

)A．第44行81列 B．第45行80列C．第44行80列 D．第45行81列解析(1)由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为2×2－1，第2行的第一个数为3×20，第3行的第一个数为4×21，……第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2.∵第一行有2016个数，且各行数字个数依次少1，∴第2016行只有一个数M，则M＝(2016＋1)×22014＝2017×22014.(2)依题意可知第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2个，∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，∴2016在第45行．又2025－2016＝9，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2016在第89－9＝80列．答案：(1)B

(2)B【点评】数表中的归纳推理关键有两点①分析数表的排列规律；②注意常用数列知识求解．3．一个三角形数表的前5行如下图所示，第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N＋)．1 第一行2

2 第二行3

4

3 第三行4

7

7

4 第四行5

11

14

11

5 第五行(1)求a6.(2)归纳出an＋1与an的关系式(不用证明)，并求出{an}(n≥2)的通项公式．解(1)a6＝5＋11＝16.(2)依题意an＋1＝an＋n(n≥2)，∴an＋1－an＝n(n≥2)．当n≥2时，an－an－1＝n－1，……a3－a2＝2，将上面n－2个等式相加，得(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＝(n