高中数学二次函数试题

二次函数

1.（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

若/（》）=/+笈+0,且/（1）=0,/（3）=0,求/（一1）的值.

变式1：若二次函数/（x）=6^+笈+C的图像的顶点坐标为（2,—1）,与），轴的交点坐标为

（0,11）,则

A.«=l,Z?=-4,c=-11B.tz=3,Z?=12,c=11

C.a=3,b=—6,c=11D.tz=3,Z?=—12,c=11

变式2：若/（0=一*2+伍+2）%+3,%6吃。］的图像41对称，则。=.

变式3：若二次函数/（力=改2+云+c的图像与X轴有两个不同的交点A（%,0）、

22

5（X2,0）,HX,+X2=—,试问该二次函数的图像由/（x）=—3（x—Ip的图像向上平移几个

9

单位得到？

2.（北师大版第52页例2）图像特征

将函数/（力=-3%2-6%+1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值

或最小值，并画出它的图像.

变式1：已知二次函数〃x）=族+人淤，如果"3）=/（%2）（其中》尸々），则

X1+%2

2

2aa4a

变式2：函数/(力=无2+a+4对任意的x均有/(l+x)=/(l—x),那么/(0)、/(—I),

/(1)的大小关系是\3y

A./(1)</(-1)</(0)B./(0)</(-1)</(1)\

C./(I)</(O)</(-l)D./(-l)</(o)</(l)

变式3:已知函数/(X)=G：2+加+C的图像如右图所示，

请至少写出三个与系数〃、b、C有关的正确命题.

3.(人教A版第43页B组第1题)单调性

已知函数/(x)=x2-2x,g(x)=—2X(XG[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的单调区间；(2)求/(x),g(x)的最小值.

变式1：已知函数/(x)=f+4or+2在区间(-8,6)内单调递减，则〃的取值范围是

A.a>3B.a<3C.。<-3D.a<-3

变式2：已知函数/(x)=d—(a—l)x+5在区间房，1)上为增函数，那么/(2)的取值范围

是.

变式3：已知函数=+"在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围.

4.(人教A版第43页B组第1题)最值

已知函数/(x)=x2-2x,g(x)=x2—2X(XG[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的单调区间；(2)求/(x),g(x)的最小值.

变式1：已知函数/(x)=f—2x+3在区间[0即]上有最大值3,最小值2,则,〃的取值范围

是

A.[l,+00)B.[0,2]C.[1,2]D.(-00,2)

变式2：若函数y=+4的最大值为M,最小值为〃?，则M+机的值等于.

变式3：已知函数八%)=4*2-4办+片-24+2在区间[0,2]上的最小值为3,求。的值.

5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性

已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，/(%)=x(l+x).画出函数/(x)的

图像，并求出函数的解析式.

变式1：若函数〃力=(m一1*+(加2一］卜+1是偶函数，则在区间(F,()］上“X)是

A.增函数B.减函数C.常数D.可能是增函数，也可能是常数

变式2：若函数/(力=以2+区+3.+耳。一是偶函数，则点(。/)的坐标是

变式3：设a为实数，函数/(乃=/+|龙一。|+1,XGR.

⑴讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值.

6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换

x?+4x+3,—3Wx<0

已知/(X)=<—3x+3,0<x<1.

—x2+6x-5,l<x<6

(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值.

变式2：已知函数/。)=|/_2以+切(xeA).

给下列命题：①/(x)必是偶函数；

②当/(0)=/(2)时，/(x)的图像必关于直线x=l对称;

③若/一力40,则/(幻在区间［a,+8)上是增函数；

④/(x)有最大值

其中正确的序号是.③

变式3：设函数/(x)=x\x\+bx+c,给出下列4个命题：

①当c=0时，y=/(x)是奇函数;

②当6=0,c>0时，方程/(x)=0只有一个实根;

③丁二/(x)的图象关于点(0,c)对称；

④方程/(x)=0至多有两个实根.

上述命题中正确的序号为.

7.(北师大版第54页A组第6题)值域

求二次函数/(x)=-2丁+6x在下列定义域上的值域:

⑴定义域为｛xcZ|0<x<3｝；(2)定义域为［—2』.

变式1：函数,f(x)=—2Y+6x(—2<x<2)的值域是

A.—20,―B.(—20,4)C.f—20,—-20,|

D.

8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

当具有什么关系时，二次函数/(%)=改2+笈+。的函数值恒大于零？恒小于零?

变式2：已知函数/(幻=/+始；+3—。，若xe［—2,2］时，有/(x)N2恒成立，求。的取

值范围.

9变式1：二次函数y=ax1+b与一次函数y=ax+b(a>b)在同一个直角坐标系的图像为

22

变式2：直线y-mx-3与抛物线C,:y=x+5mx-4m,C2:y=x+(2m-l)x+M-3,

2

C3:y=x+3/?ir-2m-3中至少有一条相交，则m的取值范围是.

变式3：对于函数/(%),若存在xo£R，使/(xo)=xo成立，则称xo为/W的不动点.如果

函数f(x)=ax2+hx+l(a>0)有两个相异的不动点©、也

⑴若xi<1<X2，且f(x)的图象关于直线x=m对称，求证加〉:；

(II)若⑶|<2且|国一改|=2,求b的取值范围.

二次函数答案

1.(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法

b

----=2

2a

a=30

4cic—Z?2

变式1：解：由题意可知,c"二―1,解得也=一12,故选D.

4a

-c=11

c=11i

变式2：解：由题意可知2/=l,解得儿0,.•."£=],解得片2.

22

变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为/(x)=-3(x-iy+A:,

展开得/(x)=—3/+6x—3+攵,

3-k

%+尤2=2,玉工2-T-

222

/.x,+x2=(x,+x2)—2X,X2—,即4—3"=，解得人=g.

A

所以，该二次函数的图像是由〃尤）=一3（工-1）0~的图像向上平移:单位得到的，它的解析

,4S

式是/（%）=-3（x-l）“+§,即/（x）=-3x2+6x--.

2.（北师大版第52页例2）图像特征

变式1：解：根据题意可知土也=一2,上士卫］=处於1,故选D.

22aL2J4a

变式2：解：•."（l+x）=/（l-X）,.•.抛物线〃x）=f+px+4的对称轴是尤=1,

一勺1即〃=-2,

.♦.仆）=/一2』，.・.〃0）=4、〃T）=3+//（1）=一1+4，

故有/（一1）>/（0）>/（1），选C.ty

变式3：解：观察函数图像可得：

①〃>0（开口方向）；②c=l（和），轴的交点）；

③4。+2/?+1=0（和x轴的交点）；④a+8+l<0（/（l）<0）；

b

⑤-•4。>0（判别式）；@1<---<2（对称轴）.

2a—>

3.（人教A版第43页B组第1题）单调性。x

变式1：解：函数/（x）=f+4以+2图像是开口向上的抛物线，

其对称轴是x=-2。,

由已知函数在区间（-co,6）内单调递减可知区间（-Q。,6）应在直线x=-2a的左侧,

—2。>6,解得aW-3,故选D.

变式2：解：函数外力=%2一（a-i）x+5在区间右，1）上为增函数，由于其图像（抛物线）开

口向上，所以其对称轴x=巴。或与直线x=-重合或位于直线x=工的左侧，即应有—

22222

解得。42,

/（2）=4-（o-l）x2+5>7,即/⑵27.

变式3：解：函数=+质的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是

k

X=一,

2

•••已知函数在［2,4］上是单调函数，区间［2,4］应在直线x=K的左侧或右侧，

2

kk

即有七42或七24,解得左W4或Z28.

4.(人教A版第43页B组第1题)最值

变式1：解：作出函数八%)=%2-2x+3的图像,

开口向上，对称轴上41,顶点是(1,2),和y轴的交点是(0,3),

；.〃?的取值范围是1«机42,故选C.

变式2：解：函数有意义，应有一f+420,解得一2«》<2,

0<-X2+4<4N0<V-X2+4<2n0<3V-x2+4<6,

M=6,777=0,故M+〃?=6.

变式3：解：函数/(x)的表达式可化为/(x)=4+（2-2tz）.

①当0442,即0<aW4时，“X)有最小值2—2”,依题意应有2—2。=3,解得

a=一一，这个值与()KaW4相矛盾.

2

②当£<0,即。<0时，/(0)=。2-2。+2是最小值，依题意应有/一2。+2=3,解得

a=1±^2,又。=1一&为所求.

③当1>2,即。>40寸，〃2)=16-8。+。2一2+2是最小值,

依题意应有16-8。+。2-2。+2=3,解得。=5±而，又。=5+屈为所

综上所述，。=1—亚或。=5+厢.

5.(人教A版第43页A组第6题)奇偶性

变式1：解：函数/(x)=(m-1)%2+(小一1卜+1是偶函数nm2-1=0=>m-±l,

当〃?=1时，〃x)=l是常数；当加=-1时，/(司=一2/+1,在区间(fO,0］上/(X)是

增函数，故选D.

变式2：解：根据题意可知应有。―1+勿=0且Z?=0,即且力=(),...点(a力)的坐

标是&4

变式3：解：⑴当a=0时，函数/(—x)=(—x)2+|-x|+l=/(x),此时，/(x)为偶函

数；

当时，f(a)=a2+1,/(—“)=/+2|。|+1,

/(a)//(—a),/(«)-/(-«),此时/(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

13

(II)(z)当时，，f(x)——X+Q+1=(X——)~+6Z+-,

若a,则函数/(x)在(一8,a］上单调递减，从而函数/(x)在(一8,a］上的最小值

为f(a)=a?+1.

若a>g,则函数/(x)在(—oo,a］上的最小值为/(g)=1+a,且/§)4/(a).

(H)当时，函数f(x)=X?+X-Q+1=(1+耳I)2-。+j3,

若a4-(，则函数/(%)在(-co,上的最小值为/(—g)=1—a,且/(—；)</(a),

若。>-；，则函数/(x)在［a,+8)上单调递增，从而函数/(x)在［a,+8)上的最小值

为f(a)=a?+1.

13

综上，当。<一］时;函数/(x)的最小值为：一。；

当一;时，函数/(x)的最小值为1+i；

当a>g时，函数/(x)的最小值为1+a.

6.(北师大版第64页A组第9题)图像变换

变式2：解：若。=1力=1,则/(九)=|/一2》+1|=/-2%+1,显然不是偶函数，所以①是不

正确的；

若。=一1,8=—4,则/(x)=|V+2x—41,满足/(0)=/(2)，但f(x)的图像不关于直线x=l

对称，所以②是不正确的；

若/一则/(幻=|/一201+切=1-201+匕，图像是开口向上的抛物线，其对称

轴是x=a,.•./(x)在区间［a,+8)上是增函数，即③是正确的;

显然函数/(%)=|》2一2办+力(彳€/?)没有最大值，所以④是不正确的.

~.\x2+bx+c,x>0

变式3：解：f(x)=x\x\+bx4-c=<,,

-x2+hx+c.x<0

(1)当c=0时，/(x)=x|x|+/?x,满足/(—x)=—/(%),是奇函数，所以①是正确的;

X2+C,X>0

⑵当/?=0,c>0时，/(X)=x\x\+c=<

-x2+c,x<0

x2+c=0.、-x2+c=0

方程穴0=0即<或<

x>0x<0

E~+C—0——v""+c—0［―

显然方程4—无解；方程1—的唯一解是彳=-五，所以②是正确的;

x>0x<0

(3)设(七,%)是函数/(x)=x|x|+bx+c图像上的任一点，应有%=/Ix01+bxn+c,

而该点关于(0,c)对称的点是(-x(),2c-%)，代入检验2c-%=一/I一姐)+。即

-y0=-x0|x0|-bxn-c,也即y0=xJx\(^bx+(p,所以(-x0,2c-y0)也是函数

/(x|刈法图像上的点，所以③是正确的;

(4)若〃=-l,c=0,贝i」/(x)=x|x|-x,显然方程x|x|-x=0有三个根，所以④是不正

确的.

7.(北师大版第54页A组第6题)值域

变式1：解：作出函数,f(x)=—2f+6x(—2<x<2)的图如容易发现在卜24上是增

函数，在g；］上是减函数，求出/(-2)=-20,/(2)=4,/(|)=|,注意到函数定义不包

含x=—2,所以函数值域是(一20,^.

8.(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题

变式2：解法一：(转化为最值)

/(X)22在［-2,2］上恒成立，即/(x)=炉++1-a»0在［-2,2］上恒成立.

(l)A=a~-4(1-a)40,-2-2-^2«a4—2+2\/2；

A=a2-4(l-a)>0

△2)20

<2)/(-2)>0—5<a<——2.

-->2«g--<-2

22

综上所述—5<aW2行一2.

解法二：(运用根的分布)

⑴当一£<—2,即a>4时，应有g(a)=/(—2)=7—3。22,即二。不存在;

2

(2)当—24一］<2,即—4Wa<4时，应有g(a)=/(—务)=———a+322,

即一2/-2Wa<2五-2,-4<a<272-2；

(3)当一■|>2,即a<-4时，应有g(a)=/(2)=7+aN2,即,：.-5<a<^l

综上所述—5WaW2行一2.

9.(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系

变式1：解：二次函数y=a?+匕与一次函数图象丁=^+匕交于两点(。,加、(1,。+。)，

由二次函

数图象知同号，而由8,C中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去B,C.

bb

又由a>8知，当a>b>0时，一一>一1,此时与A中图形不符，当0>。>匕时，一二<一1,

aa

与。中图形相符.

变式2：解：原命题可变为：求方程如-3=/+5mx-4m，

mx-3-x2+(2m-l)x+m2-3,

如-3=/+3/一2m-3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实

数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实