2024年广东省珠海市香洲区文园中学中考数学三模试卷

第1页（共1页）2024年广东省珠海市香洲区文园中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．科克曲线 B．笛卡尔心形图 C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线3．（3分）下列计算正确的是（）A．（2a）3＝6a3 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．a5+a5＝a104．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，它的主视图是（）A． B． C． D．5．（3分）若一元二次方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．±2 C．±4 D．±26．（3分）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，则第53次抽球时，小芬抽到红球的几率为何？（）A． B． C． D．7．（3分）国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（）A．无理数的发现 B．圆周率的估算 C．勾股定理的证明 D．黄金分割比8．（3分）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，气球内气体体积V应满足的条件是（）A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O与AB，BC分别切于点D，C（）A．50 B．40 C．30 D．2010．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（）x…﹣10123…y…30﹣1m3…A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下 B．当x＜3时，y随x增大而增大 C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2 D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）11．（3分）分解因式：a2﹣3a＝．12．（3分）不等式组的解集为．13．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，则DE＝．14．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，则长为．15．（3分）在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab＝﹣1的图象上负倒数点的个数为个．三、解答题（共75分，16题每小题10分，17题6分，18、19题各8分，20题9分，21题10分，22、23题各12分）16．（10分）（1）计算：|﹣3|+4cos45°﹣（﹣1）2023；（2）先化简，再求值：，其中．17．（6分）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF，求证：四边形BEDF是平行四边形．19．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．（1）如图①若手机显示AC＝AD＝1.7m，∠CAD＝60°，请确定此时被测量者的身高CD的长；（2）如图②若手机显示AC＝4m，AD＝5m，∠CAD＝53°（结果保留根号）（，，）20．（9分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，m＝，n＝；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．21．（10分）如图，在菱形ABCD中，CH⊥AB于H，AC于点E，F，连接EF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：△CEF∽△CAD；（3）若AB＝10，AC＝12，求tan∠CFE．22．（12分）如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm（1）如图1，以AB的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，求出抛物线对应的函数表达式；（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，请说出切割方案，如果不能；（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号），，．23．（12分）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中（0，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2，∠AOB＝30°，D、E两点同时从原点O出发个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动．连接DE，将△OEF沿直线DE折叠得到△O'EF．设D，E两点的运动时间为t秒．（Ⅰ）求点A的坐标及∠OED的度数；（Ⅱ）若折叠后△O'EF与△AOB重叠部分的面积为S．①当折叠后△O'EF与△AOB重叠部分的图形为三角形时，请写出S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；②当重叠部分面积最大时，若△OEO'绕点E旋转，得到△PEQ，O'的对应点分别为P，Q，连接AP，求△APQ面积的最大值（直接写出结果即可）．

2024年广东省珠海市香洲区文园中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.）1．（3分）2024的倒数是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：2024的倒数是；故选：C．2．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．科克曲线 B．笛卡尔心形图 C．希尔伯特曲线 D．斐波那契螺旋线【解答】解：A、既是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、既不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．（2a）3＝6a3 B．a2•a3＝a6 C．a8÷a2＝a6 D．a5+a5＝a10【解答】解：A、（2a）3＝687，故A不符合题意；B、a2•a3＝a6，故B不符合题意；C、a8÷a2＝a2，故C符合题意；D、a5+a5＝3a5，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：它的主视图是：．故选：C．5．（3分）若一元二次方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．2 B．±2 C．±4 D．±2【解答】解：根据题意得Δ＝m2﹣4×8×4＝0，解得m＝±5，故选：C．6．（3分）箱子内装有53颗白球及2颗红球，小芬打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球再放回的方式抽53次球．若箱子内每颗球被抽到的机会相等，则第53次抽球时，小芬抽到红球的几率为何？（）A． B． C． D．【解答】解：∵一个盒子内装有大小、形状相同的53+2＝55个球，白球53个，∴小芬抽到红球的概率是：＝．故选：D．7．（3分）国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，它是全球性数学科学学术会议，该会标取自于我国数学家赵爽注解《周髀算经》中的弦图．与该弦图有着密切关系的数学文化是（）A．无理数的发现 B．圆周率的估算 C．勾股定理的证明 D．黄金分割比【解答】解：与该弦图有着密切关系的数学文化是勾股定理的证明．故选：C．8．（3分）当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，气球内气体体积V应满足的条件是（）A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于【解答】解：∵函数图象是双曲线的一条分支，且过点（1.6，∴k＝8.6×60＝96，则，∴，∴．故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，⊙O与AB，BC分别切于点D，C（）A．50 B．40 C．30 D．20【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠B＝∠A＝×（180°﹣100°）＝40°，∵⊙O与AB，BC分别切于点D，C，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，∴6∠BCD+40°＝180°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝100°﹣70°＝30°，故选：C．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，以下结论正确的是（）x…﹣10123…y…30﹣1m3…A．抛物线y＝ax2+bx+c的开口向下 B．当x＜3时，y随x增大而增大 C．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2 D．方程ax2+bx+c＝0的根为0和2【解答】解：由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝1，∴顶点坐标为（6，﹣1），故选项A错误；当1＜x＜8时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，不符合题意；当y＞0时，x的取值范围是x＜0或x＞7，不符合题意；方程ax2+bx+c＝0的根为8和2，故选项D正确；故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．）11．（3分）分解因式：a2﹣3a＝a（a﹣3）．【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣2）．12．（3分）不等式组的解集为﹣1＜x≤．【解答】解：解不等式x+1＞0，得x＞﹣3，解不等式1﹣3≥5x，得x，故原不等式组的解集为：﹣8＜x≤．故答案为：﹣8＜x≤．13．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，则DE＝3．【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∴BC＝＝8，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故答案为：3．14．（3分）如图，正方形ABCD的边AB＝2，点E、F为正方形边的中点，则长为π．【解答】解：∵正方形ABCD的边AB＝2，点E，∴EG＝EF＝EH＝2，BE＝CE＝7，∴cos∠BEG＝cos∠CEH＝＝，∴∠BEG＝∠CEH＝60°，∴∠GEH＝60°，∴长为＝π．故答案为：π．15．（3分）在平面直角坐标系中，如果存在一点P（a，b），满足ab＝﹣1的图象上负倒数点的个数为3个．【解答】解：设点P（a，b）是函数y＝x﹣6（x≥0）上的“负倒数点”，则ab＝﹣7．即a（a﹣6）＝﹣1．解得：a＝4+2或6﹣2．∴b＝2﹣2或6+2．设点P（a，b）是函数y＝﹣x﹣8（x＜0）上的“负倒数点”，则a（﹣a﹣6）＝﹣8．解得：a＝﹣3﹣或﹣3+，不合题意．∴a＝﹣7﹣．∴b＝﹣3+．综上，函数y＝．故答案为：5．三、解答题（共75分，16题每小题10分，17题6分，18、19题各8分，20题9分，21题10分，22、23题各12分）16．（10分）（1）计算：|﹣3|+4cos45°﹣（﹣1）2023；（2）先化简，再求值：，其中．【解答】解：（1）原式＝3+4×﹣（﹣1）＝2+2+6＝4+2；（2）原式＝÷＝•＝，把x＝﹣2代入得：原式＝＝＝．17．（6分）2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A【解答】解：设B款吉祥物的单价为x元，则A款吉祥物的单价为（x+20）元，根据题意得：＝，解得：x＝20，经检验，x＝20是所列方程的解，∴x+20＝20+20＝40．答：A款吉祥物的单价为40元，B款吉祥物的单价为20元．18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）问所作的图形中，连接BF，求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】（1）解：如图，DF为所作；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥DC．∴∠BAE＝∠DCF．∵BE⊥AC，DF⊥AC．∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∠BEF＝∠DFE＝90°．∴BE∥DF．在△BAE和△DCF中，，∴△BAE≌△DCF（AAS）．∴BE＝DF．∵BE＝DF，BE∥DF．∴四边形BEDF是平行四边形．19．（8分）智能手机如果安装了一款测量软件“SmartMeasure”后，就可以测量物高、宽度和面积等．如图，打开软件后将手机摄像头的屏幕准星对准脚部按键，即可测量出人体的高度．其数学原理如图②所示，测量者AB与被测量者CD都垂直于地面BC．（1）如图①若手机显示AC＝AD＝1.7m，∠CAD＝60°，请确定此时被测量者的身高CD的长；（2）如图②若手机显示AC＝4m，AD＝5m，∠CAD＝53°（结果保留根号）（，，）【解答】解：（1）∵AC＝AD＝1.7m，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AC＝6.7m，答：此时测试者的身高CD长为1.5m；（2）过点D作DH⊥AC于H，在Rt△ADH中，，，∵AC＝6m，∴CH＝AC﹣AH＝1（m），∴，∴被测量物CD的高是．20．（9分）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A、B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息：抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，81，84，86，87，87，89，97，98，98，98，100．抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝15，m＝88，n＝98；（2）5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【解答】解：（1）由题意得，a%＝1﹣10%﹣45%﹣，即a＝15；把A款设备的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是87，故中位数m＝；在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多．故答案为：15；88；（2）600×15%＝90（名），答：估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数大约为90名；（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎，理由如下：因为两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高．21．（10分）如图，在菱形ABCD中，CH⊥AB于H，AC于点E，F，连接EF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：△CEF∽△CAD；（3）若AB＝10，AC＝12，求tan∠CFE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠DCH＝∠CHB，∵CH⊥AB，∴∠DCH＝∠CHB＝90°，即DC⊥CO，又∵C是⊙O的半径的外端点，∴CD是⊙O的切线．（2）证明：连接FH，如图所示，∵，∴∠CEF＝∠CHF，∵CH为⊙O直径，∴∠CFH＝90°，∠CHF+∠FCH＝90°，∵CH⊥AB，则∠CHA＝90°，∴∠CAH+∠FCH＝90°，∴∠CAH＝∠CHF＝∠CEF，又∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠DCA＝∠CAH，∠CAD＝∠ACB，∴∠DCA＝∠CEF，∠CAD＝∠FCE，∴△CEF∽△CAD．（3）解：连接BD交AC于点G，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，，，AB＝BC＝10，∴，∴DB＝7BG＝16，∴菱形ABCD的面积，∴，∴，在Rt△CHB中，，∵第（2）问已证∠CAH＝∠CHF＝∠CEF，又∵∠FCE＝∠BCA，∴△CFE∽△CBA，∴∠CFE＝∠CBA，∴．22．（12分）如图1所示是某家具厂的抛物线木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm（1）如图1，以AB的中点O为原点，水平向右为x轴正方向，求出抛物线对应的函数表达式；（2）工人师傅现需要一块边长为7dm的正方形木板，为了切割方便，要求一边在底部边缘AB上，请说出切割方案，如果不能；（3）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；（4）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请直接写出拼接后的矩形的长边长（结果保留根号），，．【解答】解：（1）以AB的中点为坐标原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系根据已知可得，抛物线顶点坐标为（0，A（﹣6，B（6，设抛物线解析式为y＝ax2+9，把B（70＝36a+9，解得a＝﹣，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+9；（2）不能满足工人的需求，理由如下：在OB上取C，使OC＝，过C作CD⊥x轴交抛物线于D在y＝﹣x2+9中，令x＝×（）4+9＝，∴D（，），∵＜7，∴当CF＝7dm时，矩形的宽CD不到6dm，∴不能满足工人的需求；（3）设满足条件的矩形为四边形HGNM，如图：设M（m，﹣m2+9），由抛物线的对称性可知H（﹣m，﹣m2+9），∴矩形的周长C矩形HGNM＝8（2m﹣m2+9）＝﹣（m﹣4）2+26，∵﹣＜6，∴当m＝4时，C矩形HGNM取最大值，最大值为26，∴矩形的周长最大为26dm；（4）画出切割方案如下：在y＝﹣x2+9中，令y＝5得x＝±2，∴PQ＝6，在y＝﹣x2+9中，令y＝2得x＝±2，∴RS＝2，在y＝﹣x2+9中，令y＝7得x＝±2，∴TW＝2，在yy＝﹣x2+9中，令y＝5得x＝±2，∴KI＝4，若XY＝3，在y＝﹣x7+9中，令x＝﹣1得y＝，∵﹣8＝，∴以XY为长的矩形宽是，∴拼接后的矩形的长边长为（4+2+5．23．（12分）如图，将一个直角三角形纸片AOB，放置在平面直角坐标系中（0，0），点B在y轴的正半轴上，OA＝2，∠AOB＝30°，D、E两点同时从原点O出发个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动．连接DE，将△OEF沿直线DE折叠得到△O'EF．设D，E两点的运动时间为t秒．（Ⅰ）求点A的坐标