正态分布的教学设计

2．4正态分布教学目标：知识目标：理解并掌握〔标准〕正态分布和正态曲线的概念，意义及性质，能简单应用。能力目标：能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力，培养学生数形结合等数学思想方法。情感、态度与价值观：通过数学中一系列的探究过程，使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生进取的意识和科学精神。教学重点：正态分布曲线的性质、正态曲线的特点及其所表示的意义。教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最根本、最重要的一种分布。内容分析：1．这节课是学生在必修三中已经学习过统计的知识根底之上来进行学习的。学生已经知道当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布.但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口.正态分布在统计学中是最根本、最重要的一种分布.2．课本中首先通过高尔顿板实验向学生演示了小球落下的规律，画出频率直发图，发现随着实验重复次数的增加，频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线。接着给出正态曲线的定义，引出正态分布的概念。课本中还谈到正态曲线的由来及其实际生活中的应用。3．正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成：，〔σ＞0〕由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为.4．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值.从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.5．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的根本特征.6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质.教学过程：学生探究过程：上节课，给全班学生布置了一道作业：即让每个学生在计算机课上搜索正态分布的由来及其相关的知识。具体做法如下：将全班学生按座位分成了四个小组，每个小组有一个小组长，小组长在上课之前将各个小组成员查到的资料做总结，写成报告稿的形式。上课之前老师先让每位小组长将调查的情况同全班同学分享。老师再作总结，其内容如下：一、正态分布的由来正态分布是最重要的一种概率分布。正态分布概率是由法国数学家和天文学家棣莫弗于1733年首次提出的。但由于德国数学家高斯最先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布。高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的创造权归之于他，也是出于这一工作。高斯是一个伟大的数学家。重要的奉献不胜枚举。现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。这传达了一种想法：在高斯的一切科学奉献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。二、讲解新课复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．创设情境：给学生演示高尔顿板实验：这个实验是英国科学家高尔顿设计的。具体操作如下：自上端放入一小球，任其自由下落，在下落过程中小球碰到钉子从左边落下的概率记为P，从右边落下的概率记为1-P，碰到下一排钉子时，也是如此。最后落入底板中的某个格。因此任意放入一个球，小球最后落入某个格子内事先是难以确定的，但是实验证明，如果放入大量球的话那么其最后呈现的曲线总是雷同的，也就是说落入格中的小球的频率趋向稳定。下面我们来验证一下：给学生演示动画，让学生更直观地看到小球动态的落入情况，提高了学生的学习兴趣。演示完动画后，给5分钟时间让学生之间进行合作交流总结实验结果有什么共同特征？最后老师进行点评。它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．三、探求新知一般地，如果对于任何实数，随机变量X满足,那么称X的分布为正态分布〔normaldistribution)．正态分布完全由参数和确定经验说明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．正态分布的应用：在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标〔如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等〕；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2．正态分布〕是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布思考：观察上图，结合的解析式及概率的性质，你能说说正态曲线的特点吗？正态曲线的性质：〔1〕曲线在轴的上方，与轴不相交.〔2〕曲线是单峰的，它关于直线=μ对称〔由得〕〔3〕曲线在=μ处到达峰值〔4〕曲线与轴之间的面积为1四、用计算机〔几何画板〕研究正态曲线随着和变化而变化的特点通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.如以下图所示请一个学生上讲台演示，其它学生在下面观察图像的变化趋势。上下拖动点A，观察参数的变化及图像的变化趋势上下拖动点B，观察参数的变化及图像的变化趋势同桌之间互相讨论，得出结论：〔5〕当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿X轴平移〔6〕当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。五、特殊区间的概率：假设~，那么对于任何实数，为图中阴影局部的面积，对于固定的和a而言，该面积随着的减少而变化，这说明越小，X落在区间的概率越大，即X集中在周围概率越大。特别有：上述结果可用以下图表示：可以看到，正态总体几乎总取值于区间之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。在实际应用中就只考虑这个区间，称为原那么.六、讲解范例：例1．给出以下三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ.〔１〕〔２〕〔３〕答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2