高考数学二轮复习 第1部分 重点强化 2 数列 第3讲 等差数列、等比数列教学案 理-人教版高三全册数学教学案

第3讲等差数列、等比数列

考纲要求真题统计命题规律锁定题型

2017年I卷T/

分析近五年全国卷发现高

了解数列的概念及几种简单的2017年DI卷T/

考命题有以下规律：

表示方法（列表、图象、通项公1.等差、等比数列的基本运算

2016年I卷T3；1.以等差（比）数列为载体

式），理解等差、等比数列的概2.等差、等比数列的基本性质

2014年I卷%;考查基本量的运算及相应

念，掌握等差、等比数列的通项3.等差、等比数列的判定与

2014年n卷%；数列的性质.

公式和前n项和公式，能利用数

2.以递推关系为载体考查

列知识解决相应问题.2013年I卷T7；

等差（比）数列的证明.

2013年D卷£

题型1等差、等比数列的基本运算

（对应学生用书第8页）

■核心知识储备.........................................................

1.等差数列的通项公式及前〃项和公式

劣=2+（77-1）d;

nai+annn~\

Sn=2=nai-i2d.

2.等比数列的通项公式及前〃项和公式

一劭1—q"a—a■

一1一1（，力1）•

Sn1—（71—（7

■典题试解寻法.........................................................

【典题1】（考查等比数列的基本量运算）设等比数列｛aj的前〃项和为S,若£_尸5,2

=—119S+i=21,则/=（）

A.3B.4C.5D.6

［解析］V5^1=5,£=-11,£+1=21,

又S尸—一•

11,

%+1=4（―2）=32,

••3,1-―—19nr—5.

［答案］C

【典题2］（考查等差（比）数列的通项与求和）（2016•全国I卷）已知｛劣｝是公

差为3的等差数列，数列伍｝满足方=1,bz=^,anbn+i-\-bn+i=nbn.^

0W和饵：航

⑴求｛aj的通项公式;

⑵求伍｝的前〃项和.

【导学号：07804019］

［解］⑴由已知，a族+-=庆,bi=\,&=,1,得ai=2.

所以数列｛aj是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为a=3〃一1.

（2）由（1）知anbn+1+bn+1=nb„,

得fo,+i=y,

因此｛4｝是首项为1,公比为g的等比数列.

记仇｝的前A项和为S„,

31

则S=

2X30-

［类题通法］

在等差比数列问题中最基本的量是首项国和公差d公比0，在解题时往往根

据已知条件建立关于这两个量的方程组，从而求出这两个量，其他问题也就会迎刃而

解.这就是解决等差、等比数列问题的基本量的方法，这其中蕴含着方程的思想.

提醒：应用等比数列前〃项和公式时，务必注意公比g的取值范围.

■对点即时训练.........................................................

1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问

题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3

升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第

3节，第8节竹子的容积之和为（）

17f7f113f109f

A.升B.5升C.高~升D.w升

o2bo33

A［自上而下依次设各节竹子的容积分别为出，及，…，39,依题意有

f31+22+53+34=3、3417

，因为3z~\~as=SiH-,3T~\~ag=2as,故a?+as+as=—+「=「.

[a7+a+a9—423b

选A.]

2.已知数列｛a〃｝为等差数列，其中a?+a3=8,&=3氏.

(1)求数列｛&｝的通项公式；

(2)数列｛4｝中，&=1,环=2,从数列｛%｝中取出第4项记为c.，若｛以｝是等比数歹!J,

求伍｝的前〃项和.

[解](1)设等差数列｛aj的公差为d,

2a1+3d—8

依题意有

ai+4d=3ai+3d

解得a=1,d=2,

从而｛aj的通项公式为a〃=2〃-1,AGN*.

(2)Ci=abi=ai=1,Cz=a友=a?=3,

从而等比数列｛©｝的公比为3,

因此以=1X3"T=3〃T.

另一方面，C"=abn=2b"—\,

所以24—1=3-

因止匕bn=-o-•

记伉｝的前〃项和为S„,

1+3』…+3〃T+〃3"+2〃一1

则Sn=2=4

■题型强化集训.........................................................

(见专题限时集训T1、丁5、ThT12ST13)

题型2等差、等比数列的基本性质

(对应学生用书第9页)

■核心知识储备.........................................................

1.若〃，n,p,<?eN*,m+n=p+q,则在等差数列中arba^ao+a。，在等比数列中，aja“

dp•aq.

2.若｛aj,｛4｝均是等差数列，S是｛a0｝的前〃项和，则｛以&+A如，仍为等差数列，其

中m,A为常数.

3.若｛4｝,｛〃｝均是等比数列,则｛。a｝（cWO）,｛|a|｝,｛an•b„\,｛侬疝J（勿为常数，语0）,

｛圜，仍为等比数列.

4.（1）等比数列2二—1）中连续孑项的和成等比数列，即匾&「Sk,&-S2k,…成等比数

歹U,其公比为广

（2）等差数列中连续孑项的和成等差数列，即即一£,—一而，…成等差数列,

公差为段&

5.若4小，5门分别为等差数列｛a｝,伍｝的前2〃一1项的和，则/=和.

bn

■典题试解寻法.........................................................

【典题1】（考查等比数列的性质）（2017•福州五校二模联考）在等比数列｛2｝中，as,als

是方程Y—7x+12=0的两根，则皿的值为（）

.39

A.2y［3B.4

C.±2y/2D.±4

［解析］as,ax是方程x~—7x+12=0的两根，.a3al5=12,a3+ai5=7,为

@a2

等比数列，又为，25问号，**•590,・\@9=7&口15=_<39=2y/"^.

故选A.

［答案］A

【典题2】（考查等差数列的性质）（2017•湘中名校联考）若｛a｝是等差数列，首项a>0,

^2016+^2017>0,/016•/017V0,则使前〃项和S>0成立的最大正整数〃是（）

A.2016B.2017

C.4032D.4033

［解析］因为&>0,016+石2017>0,3,2106*H2017V0,所以d<0,石2016>0,石2017V0,

「厂「4032&+20324032ai015+52017、n「4033%+a033

所以£032=2=2>。，£033=2

=4033a2oi7<O,所以使前刀项和S>0成立的最大正整数刀是4032,故选C.

［答案］C

【典题3】（考查数列的单调性与最值）（2017•洛阳一模）等比数列｛a｝的首项为芯公比为

前A项和为S,则当“GN*时，S—J的最大值与最小值之和为（）

【导学号：07804020）

7

12

5

6

3

2

［解析］依题意得，「.当n为奇数时，S=l+亍随着n

的增大而减小，1VS=1+<WS=*•随着S的增大而增大，0VS—《噂；当

1311

力为偶数时，S=1—亍随着力的增大而增大，I=SWS=1—亍VI,s—8随着S的

增大而增大，一9<0.因此s—J的最大值与最小值分别为'!、一卷，其最大

12bnbnO12

5731

值与最小值之和为访=诵=初选C.

［答案］C

［类题通法］

1.应用数列性质解题,关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些

特点入手选择恰当的性质进行求解.

2.数列中项的最值的求法常有以下两种：

⑴根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数/•（〃）=%,利用求解函数最值

的方法（多利用函数的单调性）进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限

制.

⑵转化为关于n的不等式组求解，若求数列｛aj的最大项，则可解不等式组

aWan-1,

若求数列｛a｝的最小项，则可解不等式组，求出〃的取

品2&?+1；&jWa+l,

值范围之后，再确定取得最值的项.

■对点即时训练.........................................................

1.已知等比数列｛a｝,且［十金=广N16—、dx,则为（&+2注+金）的值为（）

D.16兀

2

D[因为a6+<38=—/dx=­X兀X4=4",所以为（&+2a6+备）=a&+2436a8

2

+@1=@看+2为备+31=（a+a）2=16兀,故选D.]

2.设等差数列｛a0｝的前〃项和为S,且满足以>0,S16<0,则以，--2中最大的项

<318283乃15

为（）

【导学号：07804021]

A&

A.—

C.-D.-

「Ic1551+<31515X258、Cc16己1+石16劣+@9,—

C[由515=-----------------------------=---=15as>0,516=------------------------------=16X—<0,可

得a>0,a9<0,K0,故S最大为国.又水0,所以｛aj单调递减，因为前8项中S递

增，所以S最大且为取最小正值时,有最大值，即三最大，故选C.]

为念

■题型强化集训........................................................

（见专题限时集训丁3、丁6、TB、T10）

题型3等差、等比数列的判定与证明

（对应学生用书第10页）

■核心知识储备........................................................

数列｛aj是等差数列或等比数列的证明方法：

（1）证明数列｛aj是等差数列的两种基本方法

①利用定义，证明a+—a”（〃eN*）为同一常数；

②利用中项性质，即证明2a〃=a〃-i+a0+i（A22）.

（2）证明数列｛&｝是等比数列的两种基本方法

①利用定义，证明出^"GN*）为同一常数；

3，n

②利用等比中项，即证明成=a—1a+1（刀22）.

■典题试解寻法........................................................

【典题】（2014•全国I卷）已知数列｛2｝的前〃项和为Sn,4=1,aW0,品品+1=45—1,

其中几为常数.

（1）证明：&7+2-a=几

(2)是否存在儿使得｛a｝为等差数列？并说明理由.

［解］(1)证明：由题设知劣为+1=XS—1,a+la+2=XS+l—1,两式相减得2+1(品

+2-a》=几4+1,

由于a+1W0,

所以a+2—3，n=4.

(2)由题设知a=1,ai%=几Si—1,

可得&=4一1.

由⑴知,d3=4+1.

令2&=a+&,解得4=4.

故为+2—a=4,由此可得｛的-｝是首项为1,公差为4的等差数列，d.2n—\~~4/73.

｛酒｝是首项为3,公差为4的等差数列，曲=4〃T.

所以an=2n—1,Hn+i—an=2,

因此存在a=4,

使得数列｛a｝为等差数列.

［类题通法］

1判断一个数列是等差比数列，也可以利用通项公式及前〃项和公式，但不

能作为证明方法.

2^1=9和A=气_14+1(兀、2)都是数列｛aj为等比数列的必要不充分条

n

件，判断时还要看各项是否为零.

■对点即时训练.........................................................

已知数列｛a｝的前〃项和为Sn,2=2,2S=(〃+1)2为一数列｛4｝满足61=1,

bnbn+\4*2

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)是否存在正实数A,使得｛4｝为等比数列？并说明理由.

［解］(1)由2Sn=(〃+1)2为一//劣+1,

得到2Sn-\=nan-\—(n—lYdn,

所以2an=(刀+1)2为一a+1—〃24］+(〃-1)2a，

所以2a=a+］+a一,所以数列｛a｝为等差数列，

因为2s=(1+1)%—&,所以4=8一%,

所以52=4,所以4=/一2=4—2=2,

所以品=2+2(〃-1)=2〃.

(2)存在，因为bnbn+\=A♦2a=A・4",61=1,

所以坊瓦=44，所以坊=44，所以4+14+2=几•4/1,

所以转手=4,所以4+2=44,所以左=44=4,

若伍｝为等比数列，贝网友）2=左•"，所以161=4X1,所以A=1.

■题型强化集训.......................................................

（见专题限时集训丁2、丁7、Tll>T14）

三年真题I验收复习效果

（对应学生用书第11页）

1.（2017•全国I卷）记S为等差数列｛a｝的前〃项和.若为+a5=24,&=

48,则｛a.｝的公差为（）

码上扫一扫

A.1B.2看精彩做课

C.4D.8

C[设｛a｝的公差为&则

[a+念=24,

由I

[&=48,

国+3d+&+4d=24,

得|।6X57解得d=4.

62+-20=48,

故选C.]

2.（2017•全国HI卷）等差数列｛2｝的首项为1,公差不为0.若a,a,戊成

等比数列，则｛a｝前6项的和为（）

【导学号：07804022]看精彩微课

A.-24B.-3

C.3D.8

A[由已知条件可得包=1,d70,

由啬=〃2a可得（1+2◎2=（1+中（1+5中，解得d=-2,

叱」.6X5X-2

所以&=6X1+-------------------=—24.

故选A.]

3.（2017•全国II卷）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍

巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：

码F扫—石

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2看精彩微课

倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏

C.5盏D.9盏

B[设塔的顶层的灯数为如七层塔的总灯数为S,公比为0,则由题意知5=381,

q=2,

a\1—qa\1-27,„,

S=]]n=381j解传ZI=4=3,

1—qi-2

故选B.]

4.（2015•全国H卷）已知等比数列｛品｝满足a=3,@+a+a=21,则&+a+&=（）

A.21B.42

C.63D.84

B［设数列｛aj的公比为《

1=3,&+&+a=21,

・・・3+3/+3/=21,

：A+q+q=7,解得/=2或/=-3（舍去）.

••・8+a+&=02（&+&3+念）=2X21=42.故选B.］

-

5.（2016•全国I卷）设等比数列｛a｝满足国+&=10,/+2=5,H

的最大值为____.