高中数学直线与圆讲义

第七讲直线和圆

一、直线的方程

1.直线的倾斜角与斜率

⑴直线的倾斜角

①定义：当直线/与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线/向上方向之间所成的角a叫做直线/

的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

②倾斜角的范围为［0°,180°）.

例1.直线xcose+J5y—2=0的倾斜角的范围是

例2.过点尸（一5^,1）,。（0,时的直线的倾斜角的范围a杏］,那么加值的范围是

⑵直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母〃表示，即仁tana,倾斜角是

90°的直线斜率不存在.

②过两点的直线的斜率公式

经过两点必），PKxz,㈤（其中必xz）的直线的斜率公式为依%一%

例1.两条直线斜率相等是这两条直线平行的条件.

例2.实数满足3x-2y-5=0（1<x<3）,则上的最大值、最小值分别为

X

例3.已知m属于R,直线I:mx-（m2+1）y=4m.求直线I斜率的取值范围

例4.直线加壮"y—1=0同时过第一.三.四象限的条件是：（）

A./77/7>OB./77/7<OC.rri>Q,/7<0D.欣0,水0

2.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式尸外二〃（X-Xo）不含直线产Xo

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y—x_x—不

两点式不含直线产小（必,X2）和直线y=yi（yi,㈤

必一%出一玉

截距式4+2=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=O(A2+B2一

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

0)

例1.经过点（2,1）且方向向量为工=（一1,、回）的直线的点斜式方程是

例2.若曲线旷=。|l|与y=x+a（a>0）有两个公共点，则。的取值范围是

3.几种特殊直线的方程

⑴过点户（a,份垂直于x轴的直线方程为x=a;过户（a,份垂直于y轴的直线方程为y=b.

（2）已知直线的纵截距为b,可设其方程为y=kx+b.

（3）已知直线的横截距为a,可设其方程为x=my+a.

（4）过原点且斜率是4的直线方程为y=kx.

例1.下列四个命题中的真命题是（）

A.经过定点8（xo,%）的直线都可以用方程"一妙二〃（x-xo）表示

B.经过任意两个不同的点A（必，必）、Pi（xz,力）的直线都可以用方程（y—必）,（xz—%）=（x—必）（外一必）

表示

XV

C.不经过原点的直线都可以用方程一+上=1表示

ab

D.经过定点4（0,6）的直线都可以用方程看公表示

例2.设力、8是x轴上的两点，点户的横坐标为2且|〃|=|阳若直线外的方程为丫一六1=0,则直线外的方程

是（）

A.x^-y—5-0B.2x—y—1=0C.2y—x—4=0D.2x+y-7=0

例3.过点（1,2）且与圆x2+y2=1相切的直线方程为

二.直线的性质

1.过定点

1.方程为丫=卜*+上必过定点（0,b）

2.方程为y=k（x+a），必过定点"a,0）

3.当斜率左存在时，常设其方程为y=Ar（x-Xo）+yo，直线过点（%,%）,当斜率A不存在时，则其方程为x=x0

例1.直线（〃?+2）x-（2机-l）y-（3加-4）=0,不管，〃怎样变化恒过点

三.两条直线位置关系

若直线4：4A+8y+C=0（4,8不全为0）,直线A:4A+8L■G=0（4,8不全为0）,则

1./|〃/2=48-48=0且4&-4c丰0.

2./1_LA\By^—0o

3./,与A重合o4笈-48=0且46-4C=0（或8c=0）.

1.两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线/,,h,其斜率分别为由，kz,则有/,〃/?=年43特别地，当直线h、/z的斜率都不存在时，

八与/2的关系为平行.

⑵两条直线垂直

如果两条直线/“/z的斜率存在，分别设为4,ki,则/」/zO&X左=-1

例1.设直线4:x+my+6=0和4：(m-2)x+3y+2加=0,当m=时4//12；当加=时《±12；

当m时4与4相交；当/%=时4与4重合

例2.已知直线/的方程为3x+4y-12=0,则与/平行，且过点(一1,3)的直线方程是

例3.两条直线ax+y-4=0与x—y—2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是.

例4.已知点q(X],y)是直线/"(x,y)=0上一点，P,(x2,y2)是直线/外一点，则方程

f(x,y)+/(X1,y)+f(x2,y2)=0所表示的直线与I的关系是

2.三种距离

(1)两点间的距离

平面上的两点A(M,yi),Pi(%2,㈤间的距离公式|-X2+Cy—)~

特别地，原点0(0,0)与任一点夕(x,。的距离|华|=Y2+,2

(2)点到直线的距离

点Po(xQ,yo)到直线/:Av+MCO的距离片IBy。+UI

⑶两条平行线的距离

两条平行线Ax+MG=O与而+MGR间的距离।—GI

y/A2+B-

例1求点P=(-1,2)到直线3x=2的距离。

例2已知点A(1,3),B(3,1),0(-1,0),求三角形ABC的面积。

例3求两平行线4：2x+3y—8=0,l2：2x+3y—10=0,求人与的距离•

3.直线系

(1)与直线/A+MUO平行的直线系方程Ax+册，=030；

(2)与直线垂直的直线系方程为Bx-Ay^C=0

⑶过两直线。：句/〃尸5=0,/2：金卢如^所0的交点的直线系方程为4x+8p+G+/(4/8六&)=0.

4.对称问题

1.点关于直线对称

点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知

直线斜率乘积等于7,②两点的中点在已知直线上.

例1.求点A(1,3)关于直线I:x+2y-3=0的对称点A'的坐标.

2.直线关于某点对称的问题

直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我

们往往利用平行直线系去求解.

例2.求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.

例3.已知点M(a,份与点N关于x轴对称，点P与点N关于)，轴对称，点Q与点P关于直线x+y=O对称，则点

Q的坐标为

例4.已知直线6与4的夹角平分线为y=x,若4的方程为ax+by+c=0(ab>0),那么乙的方程是

例5.点A(4,5)关于直线/的对称点为B(—2,7),则/的方程是

例6.已知一束光线通过点A(-3,5),经直线/:3x—4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反

射光线所在直线的方程是

例7.已知AABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y—59=0,NB的平分线所在的方程为x

一4y+10=0,求BC边所在的直线方程

例8.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大，则P的坐标是

例9.已知Aex轴，Be/:y=x,C(2,1),周长的最小值为

四.圆的方程及性质

一.定义及圆的标准方程与一般方程

(1)圆的标准方程为(尸a)>(尸6尸=尸其中圆心为(a,6),半径为r;厂--——

(DEyy/D2+E2-4F

.一J2

(2)圆的一般方程为乂2+/+。户％■后0,圆心坐标,半径为.方程表示圆的充要条件是

6心AF>Q

⑶圆的参数方程：卜：觉'cosg2为参数)，其中圆心为(。功)，半径为「。圆的参数方程的主要

Iy—u।Ysinu

应用是三语换元：x2+y2=r2-x=rcos6,y=rsin。；x2+y2<t

—>x=rcos3,y=rsin6(0<r<〃)。

例1.圆C与圆(X-1)2+丁=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为

例2.圆心在直线2x-y=3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是

例3.已知P(—1,6)是圆卜：'。差勺(。为参数，04。<2万)上的点，则圆的普通方程为_________,P

(y—rsinv

点对应的，值为,过P点的圆的切线方程是

例4.如果直线/将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么/的斜率的取值范围是_

例5.方程x?+y2—x+y+k=0表示一■个圆,则实数k的取值范围为

例6.若M={(x,y)|卜：料sg(。为参数，0<。<乃)},N={(x,y)|y=x+8},若MCN力则b

Iy—Dsinu

的取值范围是

例7.已知圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是()

A.%2+/-4x+6y+8=0Bx2+/-4x+6j-8=0

Cx2+y2-4x-6y=0Dx2+y2-4x+6j=0

例8.与直线x+y-2=0和曲线/+/一12%-12,+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程

是.

例9.(上海卷)圆/+/一2%一1=()关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是()

A.(x+3>+(y—2)2=gB.(x—3尸+。+2尸=g

C.(x+3)2+(y-2)2=2D.(x-3)2+(y+2)2=2

五.点与圆、直线和圆、圆和圆的位置关系

1点(M),R)与圆(xa)2+(广6)2=/的位置关系：

(1)当(AO-S)2+(yO-A)2>r时，点在圆外；

(2)当(G-a)2+(0-6)2=。时，点在圆上;

(3)当(xO-a)2+(jO-£>)2<r2时，点在圆内；

2若圆（片方），（尸6）2=/与*轴相切，则|引二厂；若圆（尸a），（广6）2二/与p轴相切，则|a|二厂.

3.若圆x^-y^Dx^Ey^F^O关于x轴对称，则F=0;

若圆x+y+D^-E^Q关于v轴对称，则氏0;

若圆>+/+，/全尸0关于片x轴对称，则分£

4.点以xo,㈤与圆/+丁+。吠£>+万0的位置关系：

"在圆内Qxo^-y^+Dxo+Eyo+F<.0;

"在圆上=/+办+〃¥（）+Eyo+F=0；

"在圆夕卜=xo+y^+Dxo+国）+F>0.

例1.点P（5a+1,12a）在圆（x—1）2+y2=1的内部，则a的取值范围是

1.直线与圆的位置关系判断方法

⑴几何法：设圆心到直线的距离为&圆半径为〃，若直线与圆相离，则Q>r;若直线与圆相切，则*r;若

直线与圆相交，则"O.

⑵代数法：将直线与圆的方程联立，若D>0,则直线与圆相交若D=0,则直线与圆相切

若DVO,则直线与圆相离.

例1.圆2/+2/=1与直线xsine+y-l=0（eeR,6»H、+Qr,左ez）的位置关系为____

例2.若直线依+处一3=0与圆/+；/+4*-1=0切于点p（_l,2）,则的值____

例3.直线x+2y=0被曲线V+y2—6x—2y—15=0所截得的弦长等于

例4一束光线从点A（—1,1）出发经x轴反射到圆C:（x-2）2+（y-3）2=1上的最短路程是

z2

例5已知例（a,/?）（出?工0）是圆。：X?+）'=r内一点，现有以M为中点的弦所在直线〃?和直线I:ax+by=r,

则

A.mHI,且/与圆相交B./_L/n,且/与圆相交

C.mill,且/与圆相离D./1m,且/与圆相离

例6.已知圆C：X2+（y-1）2=5,直线L：mx-y+l—〃2=0。①求证：对/nwR,直线L与圆C总有两个不同

的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若|A@=J万，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短

时的直线方程.

2.两圆的位置关系

(1)设两圆半径分别为凡NQr),圆心距为d

若两圆相外离，则公切线条数为4：

若两圆相外切，则*8r,公切线条数为3；

若两圆相交，则华r,公切线条数为2;

若两圆内切，则片长乙公切线条数为1;

若两圆内含，则"</?~/•,公切线条数为0.

(2)设两圆G:x+y+a)&E^Fy-G,G:V+V+NA+EHQR,若两圆相交，则两圆的公共弦所在的