绝对值-第4讲课件

第四讲绝对值

一、基础知识

・绝对值的定义与性质（注意它的非负性）

定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的

绝对值是零。

a(〃>0)

绝对值的定义用公式表示为：问=°(4=0)

-Q(〃<0)

性质：

①非负性：②[ab|=|a||b[；③|与=回（b，0）；

b|b|

@|a|2=|a2|=a2；⑤|a+b|a|+|b|；@||a|-|b||<|a-b|<|a|+1b|.

・绝对值的几何意义

一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

①）1al表示a点到。点的距离

②）|。一闿表示a点到b点的距离

③）|。+目表示a点到-b点的距离

・分类讨论思想（零点分段法）

利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。

例设。是有理数，求。+时的值

二、例题

第一部分定义和性质

例1.若a,b为有理数，那么，下列判断中：

（1）若|a|=b,则一定有a=b；（2）若|a||b|,则一定有a>b；⑶若Ia|>b,则一定有[a[[b]（4）

若|a|=b,则一定有。2=（_匕）2。正确的是。（填序号）

解：⑷

例2.已知|a|=l,|b|=2,|c|=3,且a〉b〉c,那么a+b-c=.

（北京市“迎春杯”竞赛题）

（2）已知a、b、c、d是有理数，|a-b|W9,|c-d|W16,且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|d-c|=.

（第14届“希望杯”邀请赛试题）

思路点拨⑴由已知条件求出a、b、c的值，注意条件a>b>c的约束；2或0；（2）若注意到9+16=25

这一条件，结合绝对值的性质。问题可获解.-7

例3.如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=O,那么二CL+-h土+'c一+」c丝ih上c的所有可能的值为

|a||b||c||abc\

().

A.0B.1或一1C.2或一2D.0或一2

(2003年山东省竞赛题)

思路点拨根据a、b的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键.A

例4.已知lab-21与|b-l|互为相反数，试求代数式

1111”

ab(a+b)(b+l)(a+2)0+2)(a+20020+2Q

思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值.上20山03

2004

例5.已知m、n为整数，且,2-2|+|加一4=1,那么7篦+"的值为多少？

解：2或3或5或6

例6.已知|X]-1|+|々—21+1%一31+"­+1无2002-2002|+|%2003-2003|=0,求代数式

2为-2*2_24-----2X20°+2*20，的值。

解:6

第二部分几何意义

例7.已知xW2,求卜—3卜上+2|的最大值与最小值

解:当2时，取最大值为5；当x=2时，取最小值为-3

例8.设a<6<c,求y=上一同+,一4+上一4的最小值

例9.T§,a<b<c,求y=,—。|+,一4+归一。|的最小值

解：c-a

例10.已知y=上一。|+卜+19|+上一。一96|,如果19<a<96,a<x<96,那么y的最大值是

多少？

解：当x=96时,y取最大值211

例11.已知a为有理数，那么代数式忆-1|+辰-2|+1-3|+1-4|的取值有没有最小值?如果有，试求

出这个最小值；如果没有，请说明理由.

思路点拨a在有理数范围变化，a-1、a-2、a-3、a-4的值的符号也在变化，解本例的关键是

把各式的绝对值符号去掉,为此要对a的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值.

解：当a=2时，最小值为4。

第三部分化简(零点分段法、讨论思想)

例12.化简

(1)|2x-l|；

(2)|x-l|-|x-3|；

(3)||x-l|-2|+|x+l|.

思路点拨（1）就2x—l00,2x—l〈0两种情形去掉绝对值符号；（2）将零点1,3（使x-l=O,

3-x=0的值）在同一数轴上表示出来，就x〈l,lWx<3,x》3三种情况进行讨论;⑶由|x+l|=0,|x-l|-2=0

得x=T,x=l,x=3.

—2x—2(%<—1)

2x-l(x>=—)4-2x(x<1)

22x+2(—1<=x<1)

解：（1）原式=,1(2)原式=<2(1<=x<3)(3)原式=.

4<1<=x<3)

l-2x(x<-)2x-4(x>=3)

22x-2(x>=3)

例13.化简|上一1卜2卜上+1|

—2%—2,(jv<—1)

2x+2,(―1«x<1)

解:原式=<

4,(13)

2x-2,(x>3)

例14.若—化简,+2|+,一斗

解：4

第四部分解方程

例15.解方程1、|4工+3|=21+9

2>|x-|3x+2||=4

解：1,x=3或x=-2；2,x=l或x=-1.5

例16.解下列方程

1>||4x+8|-3x|=5

2>|x+3|-|3x-2|=5x+8

八13

解：1,无解；2,x=---

3

三、练习题

若|x—y+3|与归+y—1999|互为相反数，求廿包

1.的值

解：-1000

2.a与b互为相反数，且|a-b|=上那么“一—+》

5a+cib+1

4

解:

25

3.已知|a|二5,|b|=3,且|a—b|二b-a,那么a+b=.

解：-2或-8

4.已知a是任意有理数，贝UI-a|-a的值是（）.

A.必大于零B.必小于零C.必不大于零D.必不小于零

解：D

5.若x〈-2,则11-|l+x||=；若|a|=-a,则|aTHa-2|=。

解：-2-x；-1

6.已知5x—4W3—4x,求|x+3］的最大值与最小值

732

解：当x<3时，取最大值为4；当％=—时，取最小值为----

99

7.已知（a+〃）2+M+5|=Z?+5,且|2a—6—1|=0,那么ab=

解：—

9

8.已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理数a,1,-1,那么|a+l|表示（）.

A.A、B两点的距离B.A、C两点的距离

C.A、B两点到原点的距离之和D.A、C两点到原点的距离之和

（第15届江苏省竞赛题）

解：D

9.设a<Z?<c<d,求丁=上一同+上一4+,一。|+上一4的最小值

解：（d-a）+（c-b）

10.解方程|2x+3|—|x-1|=4x~3

解：零点分段法，x=7/3

11.化简|x+5|+|2x—3|

—3x—2,（%〈—5）

3

解：原式%+&（—5V%<5）

3

3x+2（x>-）

12.化简：

（1）|3x-2|+|2x+3|；（2）||x_l|_3|+|3x+l|.

—4-x—3(x<—2)

-2x+1(—2<=x<——)

—5x—1(%〈—1.5)

2

解：（1）原式=<—x+5(—1.5<=x<—）；（2）原式二<4x+3(——<=x<1)

「“2、2x+5(l<=x<4)

5%+1(%>=一)

[34x-3(x>=4)

补充题

13.设a+b+c=O,abc>0,则竺£+包@+生a的值是（）

1«11加M

A.-3B.1C.3或-1D.一个与p有关的代数式

（第11届“希望杯”邀请赛试题）

解：B

14.若a、b、c为整数,且|a-ba+1c-a|99=1,求|c-a|+|a-b|+1b-c|的值.

解：2

15.已知xWl,试求卜―2|—卜+2|的最大值和最小值

解：当xW-2时，有最大值4；当了22时，有最小值-4

16.（同步，P120）（第10届，希望杯）已知0WaW4,那么|a—21+13—a|的最大值等于（）

A1B5C8D3

分析用“零点分段”去掉绝对值符号，然后推断.

（5-2a（0<a<2）,

解|a-2|+|3-a|={l（2<a<3）,

（2a—5（3<a<4）.

当a=0时，有最大值5,故选B.

说明本题还可以利用数轴，由绝对值的意义推知.

17.若有理数x、y满足2002(x—1)2+|x-12y+l|=0,则必+/=

18.若|a+b+l|与（a-b+l）?互为相反数，则a与b的大小关系是（）.

A.a>bB.a=bC.a<bD.a》b

解：C

第五部分杂题

19.若2x+|4-5x|+|l-3x|+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值.

分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零,

即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有

I4-5xI=4-5x且Il-3xI=3x-l.故x应满足的条件是

4-5x>0,

'3x-l>0.

1广一4

解之得

35此时

原式=2x+(4-5x)-(l-3x)+4

=7.

20.求满足|a-b|+ab=l的非负整数对(a,b)的值.

(全国初中联赛题)

.[\a-b\=l[\a-b\=O

解：(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1)提不：<or\

ab=O\ab=1

21.设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且aWbWc,贝1a-b|+1b-c|+1c-a|

可能取得的最大值是.

(第15届江苏省竞赛题)

解：16

22.使代数式包土U的值为正整数的x值是().

4%

A