高中数学《空间几何体》训练30题（含解析）

高中数学《空间几何体》专题训练30题(含解析)

1.四棱锥P-ABC3中，侧面皿>为等边三角形且垂直于底面ABC"JAB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°.

(1)证明：直线BC//平面P4O;

(2)若口PCD面积为2甘，求四棱锥P-ABC。的体积.

【答案】(I)见解析(II)473

【解析】

【分析】

试题分析：证明线面平有两种思路，一是寻求线线平行，二是寻求面面平行；取AO中点M,由于平面PAD为

等边三角形，则R0LA。，利用面面垂直的性质定理可推出加，底面ABCD,设8C=x,表示相关的长度,

利用AP8的面积为2/，求出四棱锥的体积.

试题解析：

(1)在平面/5CD内，因为/痴。=4/。=90°，所以廿。//41>.

又BC(Z平面PAD^ADu平面PADy故BC〃平面PAD.

(2)取/D的中点.，连接

由3底别及9皿WC=90,

得四边形dBCAf为正方形，则CM_L4D..

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面E4£>n平面ABCD»AD，

所以尸M_LAD,PMJ.底面ABCD.

因为CMu底面45CD，所以PM_LCM.

设EC・*，则CM=&CD=®PM=币^收=PD=2x取CD的中点N，连接JW，则上MJ_CD.

所以网=空工，

因为APCD的面积为W7，所以Lajcx曰叵=W7，

22

解得工・-2(舍去)，x-2.

于是AB=BC=2»AD=4,PM=2^.

所以四棱锥P-HBCD的体积V=-x^2+4)x2百=啦

32

【详解】

2.如图四边形A8CZ)为菱形，G为AC与8。交点，8后_1平而:8,

(I)证明：平面AECJ■平面8EO；

(H)若NA8C=120。，AEYEC,三棱锥E-ACE>的体积为如，求该三棱锥的侧面积.

3

【答案】(1)见解析(2)3+2出

【解析】

【分析】

(1)由四边形A8C。为菱形知ACLBC,由BE，平面ABC。知AC_LBE,由线面垂直判定定理知ACJ_平面

BED,由面面垂直的判定定理知平面AEC_L平面BE。；

(2)设AB=x,通过解直角三角形将4G、GC、G8、G。用x表示出来，在RfAAEC中，用x表示EG,在RtAEBG

试卷第2页，共34页

中，用x表示EB,根据条件三棱锥E-ACD的体积为远求出x,即可求出三棱锥E-ACZ)的侧面积.

3

【详解】

(1)因为四边形A8CD为菱形，所以AC_L8O,

因为平面A5CD,所以ACJ_BE,故AC_L平面BED

又ACu平面AEC,所以平面AEC_L平面BE。

(2)设AB=x,在菱形ABC。中，由NABC=120。，nJWAG^GC=—x,GB=GD=-.

22

因为AEJ_EC,所以在RrAAEC中，可得EG=^x.

2

连接EG,由BE_L平面ABC。，知4E8G为直角三角形，可得BE=迂x.

2

由已知得，三棱锥E-ACD的体积/ACO=LLAC-G»BE="X3=YI故x=2

从而可得AE=EC=ED=娓.

所以Z1E4C的面积为3,Z1E4O的面积与/ECD的面积均为非.

故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2遥.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能

力.

3.如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面

PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.

p

（I）证明：G是AB的中点；

（ID在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积.

4

【答案】（I）见解析；（II）作图见解析，体积为I.

【解析】

【详解】

试题分析：证明A8_LPG.由=可得G是A8的中点.（II）在平面内，过点E作尸8的平行线交P4于

点F,尸即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得。E=2,PE=2五在

114

等腰直角三角形EFP中，可得£F=P尸=2.四面体PDEF的体积V=；x：x2x2x2=；.

323

试题解析：（I）因为P在平面ABC内的正投影为。，所以A8LPD

B

因为。在平面R4B内的正投影为E,所以A3L0E.

所以ABJ_平面PE。，故43_LPG.

又由已知可得，PA=PB,从而G是A8的中点.

（11）在平面P48内，过点E作尸B的平行线交R4于点F,尸即为E在平面PAC内的正投影.

理由如下：由已知可得PBLPC,又EF//PB,所以EFLPA,所，PC,因此EF_L平面P4C,即点尸

为E在平面P4C内的正投影.

连结CG,因为「在平面ABC内的正投影为£）,所以。是正三角形ABC的中心.

2

由（I）知，G是AB的中点，所以。在CG上，故CD=§CG.

由题设可得PC_L平面R4B,DEI.平面B4B,所以。〃尸C,

试卷第4页，共34页

21

因此PE=-PG,DE=-PC.

33

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=26.

在等腰直角三角形中，可得EF=PF=2.

114

所以四面体PDEF的体积

323

【考点】

线面位置关系及几何体体积的计算

【名师点睛】

文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线

线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整

或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.

4.如图，四棱锥P-ABC中，B4_L平面ABC。，AD//BC,AB=4D=AC=3,PA=BC=4,用为线段A。

上一点，AM^2MD,N为PC的中点.

（I）证明MTV，平面PAB；

（II）求四面体N-BCM的体积.

【答案】（I）证明见解析；（II）1x/5.

【解析】

【详解】

试题分析：（1）取尸B的中点7,然后结合条件中的数据证明四边形4WNT为平行四边形，从而得到MN||AT,

由此结合线面平行的判断定理可证;（II）由条件可知四面体N-BCM的高，即点N到底面的距离为棱R4的一半,

由此可顺利求得结果.

试题解析：（I）由已知得dM=|/D=2,取3尸的中点T,连接由N为PC中点知？N〃3C,

TN=-BC=2.

2

又ADHBC，故柄平行且等于㈤/，四边形4MNT为平行四边形，于是MN//4T.

因为47u平面Ed3，MYa平面43,所以MW〃平面史曲.

（H）因为力平面幺BCD，N为P。的中点，

所以N到平面幺5CD的距离为

2

取3c的中点E，连结4E.由3=4C=3得a£_L5C，AE7AB»_BE”=M

由幺M15c得M到3C的距离为在，故S.BCM=gx4x后=2日

所以四面体N—3CM的体积%­=：,凡如“><券=竽・

【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位

线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在

底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解.

5.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲

率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2乃与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做

多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率

之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为2万-3X三=》，

故其总曲率为4万.

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2,证明：这类多面体的总曲率是常数.

试卷第6页，共34页

【答案】(1)47；(2)证明见解析.

【解析】

(1)四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.(2)设顶点数、棱数、

面数分别为“、/、机,设第i个面的棱数为玉，所以%+々+…+/=2/,按照公式计算总曲率即可.

【详解】

(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.

可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四

棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.

所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，

则其总曲率为：2万x5-(4万+2乃)=4万.

(2)设顶点数、棱数、面数分别为〃、/、〃:，所以有"-/+〃?=2

设第i个面的棱数为七，所以%+%+…+x,“=2/

所以总曲率为：

2兀n—%[(%—2)+(x,—2)+•••+一2)]

=2兀“一兀(21—2〃»

=2乃(〃一/+??7)=47

所以这类多面体的总曲率是常数.

【点睛】

本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键.

6.如图，长方体AB8-ABCQ中,AB=16,BC=10,A4,=8,点E,尸分别在上，4'=。尸=4,过点

E,尸的平面“与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

Dt

AB

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）:

（2）求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.

97

【答案】（1）见解析；（2）］或J

【解析】

【分析】

（1）分别在A8,CD上取H,G,使AH=0G=10；（2）长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，可求得其体积比

值为］9或今7

【详解】

（1）交线围成的正方形尸如图:

（2）作EM±AB,垂足为M,则加=44,=8,即=12,硒=幺4=8,因为EHGF是正方形，所以

EH=EF=BC=10,

于是MH=y/EHi-EM2=6,AH=10,HB=6.

因为长方体被平面a分成两个高为10的直棱柱，其底面积之比为9：7,

97

所以其体积比值为'（g也正确）.

考点：本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.

7.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥尸-A4G2,下部分的形状是正四棱

柱ABCO-A始GA（如图所示），并要求正四棱柱的高。。是正四棱锥的高产《的4倍.

试卷第8页，共34页

（1）若48=6九=2九则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为65，则当PQ为多少时，仓库的容积最大？

【答案】（1）312（2）POt=2^3

【解析】

【详解】

试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解：（2）先根据体积关系建立函数解析式,

V=%%/（36/7-町（0Vzz<6）,然后利用导数求其最值・

试题解析：解：（1）由POi=2知OOI=4POI=8.

因为AiBi=AB=6,

所以正四棱锥P-AiBQDi的体积％=；YB；Pa=；x62x2=24（m3）;

正四棱柱ABCD-ABCD的体积唳勿公。。1=62x8=288（m3）.

所以仓库的容积V=V侏+V栏=24+288=312（m3）.

（2）设AiBi=a（m）,POi=h（m）,则0<h<6,OOi=4h.连结OiBi.

因为在RtA?。©中，a85+POj=PB;，

所以（华）2+外=36,即/=2（36-的.

于是仓库的容积K=%+%=a2-4//+1a2./j=ya2/i=y（36/?-/z3）（0</j<6）,

从而卜'=,（36-36）=26（12-/12）.

令H=0,得〃=2后或h=-20（舍）.

当0<〃<2g时，V'>0,V是单调增函数；

当2白<〃<6时，V'<0,V是单调减函数.

故人=2行时，V取得极大值，也是最大值.

因此，当尸Q=2Gm时，仓库的容积最大.

【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积

【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语

言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的

最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.

8.已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2K.

（1）求圆锥的底面积；

（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.

、,9

【答案】（1）3）；（2）《兀,

8

【解析】

（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；

（2）圆柱的高。&=〃，OD=r,再由△AQA-AAOB求出九八的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二

次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.

【详解】

解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

B'

2rtR

设OB=R,在半圆。4中，AB=26,弧长BB'=2岳，

这是圆锥的底面周长，所以2乃R=26乃，

试卷第10页，共34页

所以R=6，

故圆锥的底面积为臬椎=兀N=3乃；

(2)设圆柱的高。。1=刀，OD=r,

在QAAOB中，AO7AB2-OB。=3,

△AO|A~AAOB,所以出=也，

AOOB

l3-hrl

BP=，h=3-\J3r,

SIa柱厕面积=2兀rh=2^r(3->/3r)=-2^(r2-岛),

所以，当厂=立，人=］时，圆柱的侧面积最大，

22

9

此时%1柱

o

【点睛】

关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.

9.己知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，半径为2.

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设尸0=4,。4、0B是底面半径，且NAO8=90。，M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与。8所

成的角的大小.

【答案】（1）皿;（2）arccos立.

36

【解析】

【分析】

（1）由圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.

（2）以0为原点，0A为x轴，0B为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM

与OB所成的角.

【详解】

(1)•••圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，半径为2,圆锥的母线长为4,

圆锥的体积V=-x7txr2x/?=-x7tx22x-J42-22

33

二8扃

3

(2)VPO=4,0A,08是底面半径，且NAO8=90。，

M为线段A8的中点，

...以。为原点，为x轴，OB为y轴，OP为z轴，

建立空间直角坐标系，

P(0,0,4),A(2,0,0),8(0,2,0),

0(0,0,0),

PM=(l,l,-4),丽=(0,2,0),

设异面直线PM与OB所成的角为。，

则…阿/2=0

、西网V18-26'

.Aa

・・6-arccos——・

6

.,.异面直线PM与08所成的角的为arccos—.

6

【点睛】

求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其

一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答

案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.

10.如图，在四棱锥P—A8C。中，四边形ABCD为正方形，PA_L平面ABC。，PA^AB,M是PC上一点.

试卷第12页，共34页

A/

H

（1）若8M_LPC,求证：PC_L平面MB。；

（2）若“为PC的中点，且A8=2,求三棱锥M-88的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【详解】

试题分析：（1）易证得PC_L8£＞和PCLBM,从而得证；

（2）由乙-BCD=g匕＞_38=gxgSgcD.PA即可得解.

试题解析：

（1）证明：连接AC,由PAL平面ABC。，BD0平面ABCD得BD上PA,

又BO_LAC,PAr>AC=A,

：.8。_L平面PAC,得PCA.BD,

又PCIBM,BDcBC=B,

PC_L平面MBD

（2）解：由M为尸C的中点得

1111112

V

M-BCD=TVP-0CD=TXZ^CD,^=-X-X-X2X2X2=--

乙乙j乙j乙j

11.将棱长为2的正方体ABCD-^QD,截去三棱锥仅-ACD后得到如图所示几何体，。为AG的中点.

K

(1)求证：OBII平面ACDt.

(2)求几何体ACBMR的体积.

【答案】(1)见解析；(2)4.

【解析】

(1)取AC中点为。一连接O。,，BR,0R,推导出四边形Q3。。为平行四边形，可得出BO//QR,再由线

面平行的判定可得0BH平面ACD,.

1144

⑵由正方体ABCD-ABCQ的棱长为2,求得九34i=8,幺小=§X5x2x2x2=3,1口

再由体积作差可得几何体ACBMR的体积.

【详解】

(1)取AC中点为。一连接。。、B、D、、0.D,.

在正方形AfCQ中，为AG的中点，为的中点.

在正方体ABC。-44GA中，

•••A4,〃CG且AA=CC1,.•.四边形A4CC为平行四边形，且AC=AG，

•••。、O1分别为AG、AC的中点，••.AOJ/AQ且4O1=A。，

所以，四边形440。为平行四边形，••.oq〃AA且。。=①，

•••明”BB1且A4,=8瓦，OOt//BBt且。«=BB],

试卷第14页，共34页

所以，四边形。。田用为平行四边形，.1OiB//。用且。出=0B1,

•••O为耳。的中点，.且。2=。出，则四边形。出。。为平行四边形,

OBHOR,

又8。0平面ACq,ORu平面AC%,因此，OB〃平面ACR；

(2)•.•正方体48a的棱长为2,

•1/—93—RVIIccc4

,*yABCD-ABCDi一乙一°，vl^-ACD—X-x2x2x2=—.

lll323

4204

又匕ICBiAA-VABC-GRA用一匕-8cBi-%-瓦G凸，且匕8(?-GRAB]=VABCD-AAGA-%-ACD=8-5=~»而匕一5cBl=1Gq=Q

AC珞/、幼=—3-2x-3=4.

【点睛】

本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档

题.

x=3-----1

12.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为「(，为参数).在以原点。为极点，X轴正半轴

"+名

2

为极轴的极坐标系中，圆C的方程为0=2近sin。.

(1)写出直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程;

⑵若点P坐标为(3,百)，圆C与直线/交于A8两点，求|尸4|+|尸例的值.

【答案】(1)X2+O-A/5)2=5⑵3&

【解析】

【详解】

试题分析：⑴由加减消元得直线/的普通方程，由"sin")，,+/得圆C的直角坐标方程；⑵把直线1

的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|h|+|l2|=ti+t2,再根据韦达定理可得结

果

试题解析：解：(I)由《得直线1的普通方程为x+y-3-后。

又由P=2粕sin8得p2=2j^psin0,化为直角坐标方程为x?+(y-“)2=5；

(II)把直线1的参数方程代入圆C的直角坐标方程,

得（3-苧t）2+（苧t）2=5,即t2-3b+4=0

设t1,t2是上述方程的两实数根，

所以tl+t2=3«

又直线1过点P（3,相）,A、B两点对应的参数分别为口，t2,

所以|PA|+|PB|=|ti|+|t2|=ti+t2=3«.

13.如图，某几何体的下部分是长、宽均为8,高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求:

___________k

AB

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）256；（2）240.

【解析】

（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可;（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面

积，继而求长方体的表面积，求和即可.

【详解】

连接AG，4。交于点。，取BC的中点E,连接PO,OE,PE

久方-y/c

AB

(1)唳方体=8x8x3=192

=—x8x8x3=64

3

%=192+64=256

(2)"0=3,OE=4

试卷第16页，共34页

-*•PE^yJPCf+OE2=5

S四棱椎恻=4x5x8x5=80

s长方体=4x8x3+8x8=160

S&=80+160=240

【点睛】

易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.

14.如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABC£>是直角梯形4J//3C,ABLBC,AB=AD=l,BC=2,

P8J_平面A8C3,PB=\.

(I)求证：CD±PD；

(II)求四棱锥P-43co的表面积.

【答案】(I)见解析；(II)口+近+6.

2

【解析】

【分析】

(I)在梯形ABCD中，易求得CDLBD,又由P8_L平面ABC。，得PBLCD,利用线面垂直的判定定理，即

可得到C£>J_平面P8D,即可得到CD_LPD.

(II)由(I)求得名.。二,，进而根据平面ABCO,得到APA2AP8AMCD,

APCD都为直角三角形，分别求得梯初18cp的面积，即可求解.

【详解】

(I)在梯形A8C7)中，易求CD=母,BD=6,PD=区PA=6.,

BC=2,;.CDA.BD.

P8_L平面，ABCD,:.PBLCD,

又PBcBD=B,:.CD±平面PBD,

又尸£>u平面..8_L，.

(II)由(I)知SMC。=；x&xG=乎.

又-.DAHBC,BC，A仇尸8，平面ABCD,

AAPAD,MBA,"CD都为直角三角形.

SAPAD=，SNAB=T，S“BC=1，所以，S梯形A«:O=5'

••・四棱锥P—ABC。的表面积为巫+农+〃+l+3=6+艰+6.

22222

【点睛】

本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，及几何体的表面积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定

定理与性质定理，以及准确计算几何体中每个面的面积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运

算能力，属于基础题.

15.如图，圆锥尸。的底面直径和高均是“，过尸0的中点。作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆

柱，

P

(1)求圆柱的表面积；

(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.

【答案】(1)"a/；⑵弓5/.

896

【解析】

【分析】

(1)设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为/,求得『和/的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的

面积公式，即可求解；

(2)利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积.

【详解】

(1)设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为/,

因为过尸。的中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，

可得/=(,且圆柱母线长厂=会圆锥母线长/=。^j=手”，

试卷第18页，共34页

所以圆柱的表面积为：S芯=2乃r"+2%，7'=2乃(@]+27r----=-7ra2

“428

(2)剩下几何体的体积y=，/厂2.。尸-；3T2.00，=%.(3].幺=±_%.

33⑴⑷296

16.在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为g的圆柱，求圆柱的表面积.

【解析】

【分析】

由已知中底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为石的圆柱，可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表

面积公式，即可得到答案.

【详解】

解：设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为厂，表面积为S,

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为VIE=26，

则圆柱的上底面为中截面，可得r=l,

2s底=2n,S侧=25i,

.­.S=(2+2>/3)7t.

【点睛】

本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键.

17.已知一圆锥的母线长为10C7M,底面圆半径为6CVW.

(1)求圆锥的高；

(2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.

【答案】(1)8(2)36万

【解析】

【分析】

(1)圆锥的母线长、底面圆半径以及圆锥的高满足勾股定理，由题意即可求出结果；

(2)先设圆锥内切球半径为J由题意可得(10-6)2+/=(8-厂)2,求出r,再由球的表面积公式即可得出结果.

【详解】

(1)据题意知，圆锥的高=Ji。?—6。=8(c〃?)

(2)据(1)求解知，圆锥的高为8c〃z,

设圆锥内切球的半径为「，

三角形在，由勾股定理可得(10-6)2+/=(8-r)2,

所以r=3cm

所以所求球的表面积S=4夕2=4万x3?=364。叫.

【点睛】

本题主要考查简单几何体的计算公式，属于基础题型.

18.四边形ABC£>是圆柱。。的轴截面，E为底面圆周上的一点，AE=2#),BE=4,AD=5.

(1)求证：6E1平面ADE;

(2)求圆柱的表面积.

【答案】(1)见证明；(2)48万

【解析】

【分析】

(1)根据线面垂直的判定定理，即可证明8£_L平面A£>£；

(2)先求出圆柱底面圆的半径，进而可根据圆柱的表面积公式，求出结果.

【详解】

(1)证明：：平面A8C。是圆柱。。的轴截面,

试卷第20页，共34页

，A£>_L平面ABE,平面ABE,ADIBE,

又E为底面圆周上一点，AB为直径，，AEJ_BE,

又ADcAEuA,3E_L平面43E

(2)在AAfiE中

•：AE=2加，BE=4,.*•AB=>]AE2+BE2=6-

底面圆的半径r=3,又；AO=5

圆柱侧面积为2万x3x5=30万，

上下两底面面积为万><32x2=18万，

.♦.圆柱的表面积为30万+18=48万.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，以及圆柱的表面积公式，需要考生熟记线面垂直的判定定理以及几何体的表

面积公式，属于基础题型.

19.已知四棱锥卜-488的底面是面积为16的正方形A8CC,侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为2布，

计算它的高和侧面三角形底边上的高.

【答案】四棱锥的高为6,侧面三角形底边上的高为2J证.

【解析】

由题意：底面是面积为16的正方形，侧面是全等的等腰三角形，说明该几何体是正四棱锥.由正四棱锥的性质

即可求解.

【详解】

如下图所示:

作仞为四棱锥y-ABCD的高，

作QM_LBC于点M,

则M为BC的中点.

连接。8,则VOJ_OM,VOA-OB.

・••底面正方形A8C£>的面积为16,

BC=4,BM=CM=2.

则OB7BM。+OM?=e+2?=20.又VB=2旧，

在RSVOB中，由勾股定理，可得

VO=yJVB2-OB2=7(2>/H)2-(2>/2)2=6.

在RtAVOM中，由勾股定理，可得

VM=yjvo-+OM2=>/62+22=25/10，

即四棱锥的高为6,侧面三角形底边上的高为2a.

【点睛】

本题考查了正四棱锥的性质的运用以及计算能力.属于基础题.关键是根据已知判定为正棱锥，根据正棱锥的性

质求出高和斜高.

20.在三棱锥尸-ABC中，AMC和APBC是边长为灰的等边三角形，AB=2,O,。分别是AB,PB的中点.

(1)求证：OD//平面PAC；

试卷第22页，共34页

（2）求证:。PJ■平面ABC；

（3）求三棱锥O-ABC的体积.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

【分析】

⑴由三角形中位线定理，得出OD//PA,结合线面平行的判定定理，可得8〃平面以C；（2）等腰和等

腰△C48中，证出PO=OC=1,而PC=&，由勾股定理的逆定理，得POJLOC,结合P0LA8,可得PO_L

平面ABC；（3）由（2）易知P。是三棱锥P-ABC的高，算出等腰AABC的面积，再结合锥体体积公式，可得三棱

锥尸—ABC的体积.

【详解】

(l)vO,。分别为AB,尸8的中点，.•.O£>〃B4

又P4u平面以C,OD(z平面布C

.•.OD〃平面PAC.

(2)如图,连接0c

,:AC=CB=五，。为A3中点，AB=2,

:.OC1AB,JlOC=^AC2-(^AB)2=1.

同理，POA.AB,PO=1.

又PC=0，

:.PC2=2=OC2+PO2,得NPOC=90」.

:.POLOC.

•••OC、ABa平面ABC,ABr\OC=O,

.•.R9_L平面ABC.

(3);PO_L平面ABC,。为PB的中点，

结合0P=1,得棱锥ABC的高为万，

体积为%TBC=；SJBCOP=；X；X2X1X1=]

【点睛】

本题给出特殊三棱锥，求证线面平行、线面垂直并求锥体体积，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体

体积公式等知识，属于中档题.

21.如图，在以A、B、C、。、E、产为顶点的五面体中，面A8CD是等腰梯形，AB//CD,面是矩形，

平面/WF£；_L平面ABC。，BC=CD=AE=a,ZDAB=60.

(1)求证：平面比尸_L平面ADE;

(2)若三棱锥B-£>CF的体积为且，求。的值.

12

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)由面面垂直的性质定理得出AEJ•平面ABCD,可得出再推导出3£>_LA£>，利用线面垂直的判

定定理得出BD±平面ADE,然后利用面面垂直的判定定理可得出平面或衣，平面ADE;

(2)推导出3/_L平面ABC。，计算出△BCD的面积，然后利用锥体体积公式可求得三棱锥F-8C。的体积，

进而得解.

【详解】

(1)因为四边形43正是矩形，故E4_L/1B,

又平面平面A8CD，平面ABFEA平面A8C£>=AB,AEu平面ASFE,

所以AE_L平面ABC。，又8£>u面ABCQ,所以AE_L8£>,

试卷第24页，共34页

在等腰梯形ABCD中，ZDAB=60,AADC=ABCD=\20),

因BC=C£>,故NBDC=30°,ZADB=120-30=90,即ADJ.BD，

又AEnAO=A,故BOJ_平面

Q8。u平面BDF,所以平面BDFJ_平面ADE;

22

(2)△BCD的面积为SBCI)=-asin120=—a

-.■AE//FB,平面ABC。，所以，8尸，平面ABCD,

IZ1V32636.，

VD-BCF=VF-BCD=^'~^a'a=~\2a=石"，故a=L

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用三棱锥体积求参数，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

22.在锐角A48C中，角A,3,C所对的边分别为a,6,c,已知〃=近，6=3,近sin8+sinA=2后.

(1)求角A的大小;

(2)求AABC的面积.

【答案】⑴4=不⑵5AApc=¥•

【解析】

【详解】

试题分析：(1)先由正弦定理求得sinB与sinA的关系，然后结合已知等式求得sinA的值，从而求得A的值；(2)

先由余弦定理求得c的值，从而由cosB的范围取舍c的值，进而由面积公式求解.

试题解析：(1)在A4BC中，由正弦定理一0一=一竺，得巫=即/sinB=3sinA.

sinAsin8sinAsinB

又因为V7sin8+sin4=2G，所以sinA=

2

因为AMC为锐角三角形，所以A=1.

(2)在AABC中，由余弦定理COSA="-+L-'「,得二Z,即/-3c+2=0.解得c=l或c=2.

2bc26c

2

当c=l时，因为cos""'，-1=_也<0,所以角8为钝角，不符合题意，舍去.当c=2时，因为

2ac14

=;也>0,又b>c,b>a=B>C,B>A,所以AA5c为锐角三角形，符合题意.所以AABC的

2ac14

而壬口C1IA1QOG3出

卸枳S=—bcsinA=—x3x2x——=-----.

2222

考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式.

23.如图，菱形A8CO的边长为6,ZBAD=60°fACc&)=O,将菱形A8CO沿对角线AC折起，得到三棱锥

8—ACQ,点M是棱8c的中点，DM=3叵.

(1)求证：0M||平面ABD.

(2)求证：平面ABC_1"平面MD。.

(3)求三棱锥/-A3D的体积.

【答案】⑴证明见解析；(2)证明见解析；⑶竽.

【解析】

【详解】

分析：(1)由题可知O、M分别为AC、8c中点，所以OM〃AB,得0Mli平面A8D

(2)由已知条件结合勾股定理得,又因为四边形ABCD为菱形得。。J.AC,所以OO_L平面A8C,

证得平面ABC±平面MDO.

(3)由三棱锥M-AB。的体积等于三棱锥。-的体积，从而得三棱锥M-ABO的体积

V=-3SttAABBMBD=—2

详解：(1)证明：•••点0是菱形A8C3的对角线交点,

，。是AC的中点,

又：点M是棱8c的中点,

；.0M是AABC的中位线，OM\\AB,

。必仁平面AB。，ABu平面

.•.0M||平面ABD.

(2)证明：由题意0M=0£>=3,

DM=3叵,

：.ZD0M=90°,0D10M,

又•••菱形ABC。中，ODLAC,

OMryAC=O,

：.8_L平面ABC,

。£><=平面加。。,

平面ABC1平面MD0.

(3)•••三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥A8M的体积由(2)知ODL平面ABC,

8=3是三棱锥ABM的高,

试卷第26页，共34页

SAAI1M冈BMxsinl20o=gx6x3x#=竽,

•_1c9G

,*V=~SMMXOD=•

点睛：(1)线面平行常用证明方法:

①线面平行定义：直线与平面没有公共点.

②线面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行.

③面面平行的基本性质：两平面平行，其中一平面中的任意一条直线均平行于另一平面.

(2)面面垂直常用证明方法:

①定义法：两个平面的二面角是直二面角:

②面面垂直的判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直;

③如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直.

(3)三棱锥体积计算方法:

①直接应用体积公式求体积.这类问题的特征是:三棱锥的底面积与高为已知或可求.

②转换底面求体积，一般选择侧面或与棱垂直的截面为底面.这类问题的特征是:三棱锥中存在侧棱与侧面

垂直，或与某一棱垂直的截面的面积可求.

③转换棱锥求体积，主要从两个方面考虑：一是等体积棱锥图形的转化；另一是各种距离之间的转化.此类

问题的主要特征是:在题目给出的空间图形中，已知或能求出所求棱锥的一对对棱的长度、所成角和距离.

24.如图1,在边长为4的菱形ABCD中，ZBAD=60,DE，AB子点E,将沿折起到A4QE的位置,

使AOJ.QC,如图2.

(1)求证：平面BC£>E；

(2)求二面角E-AB-C的余弦值;

FP

(3)判断在线段EB上是否存在一点P,使平面平面ABC?若存在，求出为的值；若不存在，说明理

rD

由.

【答案】(1)详见解析；(2)五；(3)

不存在.

7

【解析】