高中数学-直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1直线的倾斜角与斜率教学设计

教学设计

一、教材分析

直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重

要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的

起点。有着开启全章的作用。

学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础

上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解

决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习

圆锥曲线方程、导数等知识做好知识上的必要准备，又能为今后灵活

的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标

法”与数形结合思想方法。

二、学情分析

1、知识结构

经过高中一年多的学习，学生已具备了直角坐标系、平面向量及三角

函数的知识，为倾斜角和斜率的概念打下了基础，而且学生对数学概

念及思维方法的认识水平有了较大提高，但不同层次的学生之间仍存

在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上。在

新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上

路”，让学生主动参与探究过程.。

2、情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思

考问题、发现问题的能力。在学生的探索活动中，主动通过设疑、质

疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣。

三、教学目标

知识与技能目标：

1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围.

2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式

3.掌握倾斜角与斜率之间的关系。

过程与方法目标：

让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从

不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力.

情感态度与价值观目标：

在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和

评价，实现共同探究、教学相长的教学情境.同时培养独立思考等良

好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神.通过计算机辅

助教学，展现动态数学，使学生体会数形结合的美感；

四、教学重难点

重点：直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式，斜

率与倾斜角之间的关系。

难点：斜率概念的推导，斜率与倾斜角之间的关系。

五、教学方法与教学手段

教学方法：通过情境教学法，生活中的实例引入本节课，然后通过问

题驱动法引导学生小组合作探究，最后多媒体技术（几何动画）进一

步加深对问题的理解。

教学手段：板书、多媒体课件、几何画板、投影

六、教学过程

一、课题引入：

教师引导语：在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、论证、

度量计算的等方法来研究几何图形的形状、大小和位置。但是现实生

活中，比如行星的运动、平面抛体的运动等，需要进行精确的代数刻

画，所以我们就开始这一张解析几何的学习。今天，我们先来研究第

一节，直线的倾斜角与斜率。

设计意图：通过现实生活中的例子让学生初步了解几何问题代数化思

想，激发学习兴趣、引出今天的课题。

二、探究新知

（一）创设情境，问题引导

直线在生活中随处可见，图片上的斜拉索就在一条条直线上，请同学

们思考以下几个问题：

探究一：

问题1:确定一条直线的几何要素是什么（全体学生共同回答）

教师问：通过昨天的预习，那还有没有别的方法来确定一条直线的位

置呢?

问题2：如果已知一点还需附加什么条件，才能确定直线？（全体

学生共同回答）

设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和

一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要要素。

追问：观察坐标系中的直线束，有什么特点？

问题3：如何表示方向？（全体学生共同回答）

教师：给出直线倾斜角的定义，强调x轴正向与直线向上的方向。

设计意图：让学生通过观察过同一点的不同位置的直线，并强调以直

角坐标系为参照系，探究区分不同位置直线的方法，引导学生感受在

直角坐标系中利用直线的倾斜角刻画直线方向的合理性。

练习1：下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，违背了定

义中的哪一条？

学生回答

设计意图：使学生加深对倾斜角定义的理解，使学生能准确找的直线

的倾斜角的位置。

问题4：学习了倾斜角，倾斜角的取值范围是什么呢？

课件上展示4条直线，分别找出倾斜角，紧接着追问：平行于x轴的

直线倾斜角该如何表示？

学生会发现表示不出来，所以给出：当直线1与x轴平行或重合时,

它的倾斜角为0°O进一步通过动画展示，得到倾斜角的取值范围

设计意图：借助信息技术的直观，引导学生了解直线在坐标系中倾斜

角取值的各种情况。

（二）结合实例，小组讨论

师：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（学生回答）

给出生活中实例：

探究二：

师：下面利用向量来进一步研究直线上的两点与倾斜角之间的关系。

问题1：已知直线C经过0（0,0）,尸（逐1）两点，直线j的

倾斜角〃与。、尸两点的坐标有什么关系？

问题2：已知直线上经过PS-1,1）0）两点，直

线曲倾斜角。与P’Pz两点的坐标有什么关系？

问题3：对于平面上的任意两点是否都成立呢？

小组讨论，合作探究

讨论结束，小组利用投影，展示探究成果，教师进一步补充，完善推

导过程，给出直线斜率的概念，并得出直线的方向向量与斜率的关系。

设计意图：通过对特殊问题一般化，得到倾斜角的正切值，即斜率的

计算公式，并通过师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的

刻画直线方向的代数表达，这种形式能直接参与代数运算，实现用代

数方法处理几何问题的目的。

练习2：已知直线的倾斜角，求对应的斜率k：

(1)a=0。；(2)a=30°；

(3)a=135°；(4)a=120°.

练习3：已知直线的斜率，求对应的倾斜角

⑴4=0

(2)A=

(3)A=-。

(4)女=一昱

3

(学生口答)

设计意图：熟练掌握倾斜角与斜率的关系式，复习特殊角的三角函数

值。

(三)小组讨论，合作探究

探究三：倾斜角口变化时，斜率k如何变化？(小组讨论)

讨论结束，小组回答。

师生活动：引导学生通过正切函数的概念及其单调性回答，可以画出

正切函数的图像，帮助学生理解其中的变化情况和特殊点的取值。

设计意图：结合正切函数的图像，帮助学生认识随着倾斜角的变化,

斜率的变化情况，理解斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率

的概念有更清晰的认识。

(几何画板)通过直观的动画演示，使学生进一步理解倾斜角与斜率

的关系。

三、例题讲解

例1：已知点A(3,2)B(-4,1)C(O,-1)求直线AB,BC,CA的斜率,

并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角

(教师板演解题过程，提醒学生注意书写形式)

变式练习1：已知A(4,2)、B(-8,2)、C(O,-1),求直线AB、BC、CA

的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角？

(学生来黑板做题，教师指正)

例2：m为何值时，

(1)经过A(-m,6),B(1,3m)两点的直线的斜率是12?

(2)经过A(m,2),B(-m,-2m-1)两点的直线的倾斜角是60°?

(教师板演解题过程)

变式练习2：

过A(洗？+2,洗2-3),B(3-w-mz,2m)两点的

直线间倾斜角为45。，求附的值？

(学生来黑板做题，教师指正)

设计意图：通过教师讲解，学生板演，掌握本节课的重点。为今后相

关问题的解决奠定基础。

四、例题升华，加深理解

例1：已知点A⑶2)B(-4,1)C(O,-1)求直线AB,BC,CA的斜

率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角

思考：过点C的直线/与线段AB有公共点，求/的斜率k的取值

范围

(学生课下进一步探究)

设计意图：进一步理解斜率与倾斜角之间的关系，也是本节课的一

个难点。

五、课堂小结

引导学生总结本节课的知识点以及学到的思想方法

1、倾斜角的定义及其范围

2、斜率的定义及斜率与倾斜角的相互转化

3、斜率变化与倾斜角变化的关系

4、掌握数形结合的、归纳类比以及从特殊到一般的思想方法

设计意图：通过本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生

反思与整理的意识，让学生对倾斜角、斜率两个概念的发现-探究的

过程与方法有清晰的认识。

六、课后作业

1.巩固新知：学案“达标检测”

2.能力提升：同步训练相应章节

3.自主探究：思考题

设计意图：不同层次的作业满足不同层次的学生需求。

结束语：通过这一节和同学们共同探究直线的倾斜角与斜率，体验了

认识事物的一般规律：从特殊到一般的过程。生活中数学无处不在,

几何图形就存在于我们身边的建筑物中，希望同学们有一双善于发现

的眼睛，感受数学的美妙，生活的美好！

2.1直线的倾斜角与斜率

学情分析

1、知识结构

经过高中一年多的学习，学生已具备了直角坐标系、平面向量及三角

函数的知识，为倾斜角和斜率的概念打下了基础，而且学生对数学概

念及思维方法的认识水平有了较大提高，但不同层次的学生之间仍存

在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上。在

新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生思维的“上

路”，让学生主动参与探究过程。

2、情感结构

随着年龄的增大，阅历的丰富，高中学生自主意识的增强，有独立思

考问题、发现问题的能力。在学生的探索活动中，主动通过设疑、质

疑、提示等启发示手段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣。

2.1直线的倾斜角与斜率

效果分析

通过本节课的学习，我认为达到的效果有以下几条：

1、通过问题情境的设置，大部分学生能够掌握倾斜角和斜率的

概念，并能解决基础的练习。

2、借助现代教育各种技术与媒体，创设师生，生生之间心灵沟

通与交流的空间，小组合作探究，创设愉快学习的氛围，增强学生的

学习兴趣，使教与学形成共鸣达到共振。

3、通过当堂测试，及时了解学生问题所在。

2.1直线的倾斜角与斜率

教材分析

教材的地位和作用

直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，是直线的重

要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维的

起点。有着开启全章的作用。

学生在原有的对直线有关性质和平面向量相关知识理解的基础

上，重新以坐标化的方式来研究直线的相关性质；突出用代数方面解

决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义，它既能为进一步学习

圆锥曲线方程、导数等知识做好知识上的必要准备，又能为今后灵活

的应用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。

从倾斜角到斜率实现了解析几何代数化的过程，初步渗透“坐标

法”与数形结合思想方法。

教学目标

知识与技能目标：

1.掌握直线的倾斜角的概念，知道直线的倾斜角的范围.

2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式

3.掌握倾斜角与斜率之间的关系。

过程与方法目标：

让学生从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从

不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。

情感态度与价值观目标：

在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和

评价，实现共同探究、教学相长的教学情境.同时培养独立思考等良

好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

教学重点

直线倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式，斜率与倾

斜角之间的关系。

教学难点

斜率概念的推导，斜率与倾斜角之间的关系。

2.1直线的倾斜角与斜率评测练习

评测练习

1.已知直线L，〃13的斜率分别为K&，右

如图所示，贝！J()

A.ky<k2<kyC.k3<k2<k]

B.ky<%<k.,D.kx<k3<k2

3兀

2、若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角为彳，则y=()。

A.-1B.-5