高中数学 1-1-3同步练习 新人教B版选修2-2

课后强化作业

一、选择题

1.已知曲线/=1/一2上一点41，一|）,则过点P的切线的倾斜角为（）

A.30°

B.45°

C.135°

D.165°

［答案］B

［解析］•••尸%-2,

'1

2x+△x92—

X•△x+~

=lim---------

ALOAX

.♦.点《1，一习处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°.故选B.

2.如果曲线y=F（x）在点（刘，f（加））处的切线方程为x+2广-3=0,那么（）

A.f（Ab）＞0

B.f（ADXO

C.f（旗）=0

D.f（加）不存在

［答案］B

［解析］切线x+2y—3=0的斜率仁一；，即/（加=一90.故选B.

3.下列说法正确的是（）

A.若£（场）不存在，则曲线y=f（x）在点（施，『（扬））处就没有切线

B.若曲线y=f（x）在点（加，丹域）处有切线，则/（施）必存在

C.若F（加不存在，则曲线尸/"（X）在点（施，H*。））处的切线斜率不存在

D.若曲线y=F（x）在点（x。，“刘））处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

［答案］C

［解析］根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C

正确.故选C.

4.（2010•新课标全国卷文，4）曲线尸2x+l在点（1,0）处的切线方程为（）

A.y=x—\

B.y=~x~l

C.y=2x—2

D.y=~2x~2

［答案］A

［解析］本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在

曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题.

由题可知，点（1,0）在曲线—2x+l上，求导可得了=3/-2,所以在点（1,0）处

的切线的斜率4=1,切线过点（1,0）,根据直线的点斜式可得过点（1,0）的曲线尸f―2*+

1的切线方程为y=x-l,故选A.

5.曲线尸:在点A1,1）处的切线方程是（）

A.x+y+2=0

B.x+y—2=0

C.y_l=_］（Ll）

1/、

D.y—l=Rx—l）

［答案］B

1-Ax

1+AA--1

1+Ax

［解析］斜率a=!现=lim———=-l.

A,r-0AA-0

所以切线方程为y—1=—1X（/—1）.故选B.

f—f—9v

6.设F（x）为可导函数，且满足！-----z-----------=-1,则过曲线尸Ax）上

-2LOLX

点（1,Hl））处的切线斜率为（）

A.2

B.-1

C.1

D.—2

［答案］B

［解析］根据导数的定义知/（1）=一1.故选B.

7.已知曲线y=2a*+i过点（正，3）,则该曲线在该点的切线方程是（）

A.y=-4%—1

B.尸4xT

C.y=4x+8

D.尸4x或尸4x—4

［答案］B

［解析］由3=2a（F）?+l得a=l或8=一1（舍）.

又V|E=4,所以切线方程为y—3=4（x—1）,即y=4x—1.故选B.

4

8.（2010•辽宁文，12）已知点P在曲线上，。为曲线在点〃处的切线的倾斜

e十1

角，则。的取值范围是（）

A.［0,—）

B.咛,y）

C.（f,攀1

3n、

D.r［―,Ji）

［答案］D

［解析］考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式

,4e

4e4e4

/.tan%=

7+~e'2+23+1e*+C+2

e

\'e>0：.e+\22（当且仅当x=0时取等号）

e

/.，+二+224,

e

4/

：.0<——:——WL

笛+一:+2

e

；・-l^tana<0,

・.・aG[0,n),

r3、

/.aG[-n,JI).

故选D.

9.+1的图象与直线尸x相切，则a=()

1

8-

1

A.-

BC.4

1

2-

D.1

［答案］B

［解析］/=2ax,设切点为(xo,㈤，则2axo=L

._±

・"L2目

•切点在直线y=x上，♦•・丹=/

代入尸a9+1得上=±+1

/.a=；.故选B.

10.曲线y=V+x—2在点汽处的切线平行于直线y=4x—1,则点R的坐标是()

A.(1,0)

B.(-1,-4)

C.(1,0)或(一1,-4)

D.(0,1)或(4,1)

［答案］C

［解析］设入(新，㈤，

"/、,.f刖+XX—fXo„।,

则F(加=!段内=3痴2+1=4,

所以旅=土1.因此R(1,O)或(-1,-4).故选C.

二、填空题

11.曲线y=f—3x在点尸处的切线平行于x轴，则点夕的坐标为.

［答案］修T)

［解析］""y'=2x—3,令y'=0,得x=5，

q

代入曲线方程y=f-3x得y=--

12.抛物线尸f在点一处的切线平行于直线y=4x-5,则点尸的坐标为

［答案］⑵4)

［解析］Lin,/=lim叶-T=2x,

Ax-oAXALOAX

令2x=4,；.x=2,即在点⑵4)处的切线平行于直线y=4x—5.

13.曲线/1(x)：/在点A处的切线的斜率为3,则该曲线在点A处的切线方程为

［答案］3x—y—2=0或3*—y+2=0

［解析］设点/(刘，笳，贝!1。=/(h)=3总=3.

••Ab—±1.

...切点的坐标为(1,1)或(一1,-1).

...所求的切线方程为y-l=3(x—1)或＞+l=3(x+l),即3x—y—2=0或3x—y+2=

14.过点P(—1,2)且与曲线y=3/-4x+2在点M(l,1)处的切线平行的直线方程是

［答案］2x-y+4=0

［解析］y'=6x—4,

.•./0=2.所求直线的斜率为2,所以所求直线的方程为y—2=2(x+l),即2x-y

+4=0.

三、解答题

15.已知曲线y=2f上的点(1,2),求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程.

f+Ax—f

［解析］因为产(D=lim----------=4,

△A-0△X

所以过点(1,2)的切线的斜率为4.

设过点(1,2)与过该点的切线垂直的直线的斜率为4,则44=—1,-

所以所求直线方程为y-2=—"(xT)，

即x+4y-9=0.

16.求曲线在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

［解析］因为，(3)=lim—-------=27,

AX-0△X

所以在点(3,27)处的切线方程为y—27=27(入-3),

即尸27x-54.

此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0),(0,-54),

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=：X2X54=54.

17.试求过点Ml,1)且与曲线相切的直线方程.

△yx+Ax'+1-f—1

［解析］

Ax△x

3xx2+3X2AX+*

=3xAx+3x+(Ax)l

lim-^-=3x,因此yr=3/

ALO△X

设过（1,1）点的切线与y=H+i相切于点火施，第+i）,据导数的几何意义，函数在点

P处的切线的斜率为"=3言①，过（1,1）点的切线的斜率4=②,由①=②得，3'=

8照一:1

用I,解之得照=0或加所以4=0或4=?,因此尸f+l过点欣1,1）的切线方程

照—1N4

有两条，分别为7-1=7（*-1）和p=l,即27才一49—23=0和尸L

18.已知曲线y=f—l与y=f+l在照点的切线互相垂直，求胸的值.

［解析］函数y=x-l在加处