2025届安徽省巢湖市名校九上数学期末监测模拟试题含解析

2025届安徽省巢湖市名校九上数学期末监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．一元二次方程的根为（）A． B． C． D．2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．4．将一元二次方程x2-4x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则n等于（）A．-3 B．1 C．4 D．75．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD＝60°，CD＝2，则阴影部分的面积为（）A． B．π C．2π D．4π6．如图，在中，，则等于（）A． B． C． D．7．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角8．对于反比例函数，下列说法中不正确的是（）A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限C．随的增大而减小D．当时，随的增大而减小9．在中，，，，那么的值等于（）A． B． C． D．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为()A． B． C． D．11．如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．1312．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0 B．+x=2 C．x2+2x=x2﹣1 D．3x2+1=2x+2二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，是⊙的直径，是⊙上一点，的平分线交⊙于，且，则的长为_________．14．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为_____．15．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为_____．16．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．17．如图，已知等边，顶点在双曲线上，点的坐标为（2，0）．过作，交双曲线于点，过作交轴于，得到第二个等边．过作交双曲线于点，过作交轴于点得到第三个等边；以此类推，…，则点的坐标为______，的坐标为______．18．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．20．（8分）如图，中，，以为直径作半圆交于点，点为的中点，连接．（1）求证：是半圆的切线；（2）若，，求的长．21．（8分）因2019年下半年猪肉大涨，某养猪专业户想扩大养猪场地，但为了节省材料，利用一面墙（墙足够长）为一边，用总长为120的材料围成了如图所示①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设的长度为（），矩形区域的面积（）.（1）求与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围.（2）当为何值时，有最大值？最大值是多少？22．（10分）如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，.（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出关于的不等式的解集.23．（10分）如图，三角形是以为底边的等腰三角形，点、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点，点在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.（1）试求、的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点沿线段从到，同时动点沿线段从到都以每秒1个单位的速度运动，问：①当运动过程中能否存在？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位置？②当运动到何处时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？24．（10分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：一口袋装有除颜色外均相同的2个红球1个白球和1个篮球，小刚和小明想通过摸球来决定谁去看电影，同学甲设计了如下的方案：第一次随机从口袋中摸出一球不放回；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一红一白”，则小刚看电影；摸到“一白一蓝”，则小明看电影．同学甲的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；你若认为这个方案不公平，那么请你改变一下规则，设计一个公平的方案．25．（12分）选用合适的方法解下列方程：

（1）x2-7x+10=0（2）3x2-4x-1=0（3）(x＋3)2＝(1－3x)226．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙．请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆与高墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】提公因式，用因式分解法解方程即可．【详解】一元二次方程，提公因式得：，∴或，解得：．故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键．2、D【分析】利用一元二次方程的根的判别式列出不等式即可求出k的取值范围.【详解】解：由题意得=（2k+1）2-4（k2-1）=4k+5＞0解得：k＞-故选D【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键.3、B【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选B．4、B【分析】先把常数项移到方程右侧，两边加上4，利用完全平方公式得到（x-2）2=1，从而得到m=-2，n=1，然后计算m+n即可．【详解】x2-4x+3=0，

x2-4x=-3

x2-4x+4=-3+4，

（x-2）2=1，

即n=1．

故选B．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方（当二次项系数为1时）．5、A【解析】试题解析：连接OD.∵CD⊥AB，故，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∴OC=2，∴S扇形OBD即阴影部分的面积为故选A.点睛：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧.6、D【分析】直接根据正弦的定义解答即可．【详解】在△ACB中，∠C=90°，

，

故选：D．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7、C【解析】试题解析：因为A,B,D给出的角可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；C.有一个的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.故选C.8、C【解析】根据反比例函数的性质用排除法解答，当系数k＞0时，函数图象在第一、三象限，当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，由此进行判断．【详解】A、把点（-2，-1）代入反比例函数y=得-1=-1，本选项正确；

B、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，本选项正确；

C、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内y随x的增大而减小，本选项不正确；

D、当x＜0时，y随x的增大而减小，本选项正确．

故选C．【点睛】考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．9、A【解析】在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，由此可得.【详解】解：如图，.故选：A.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正切，熟练掌握正切的表示是解题的关键.10、D【分析】过点作轴于点，由直角三角形的性质求出长和长即可．【详解】解：过点作轴于点，∵四边形为菱形，，∴，OB⊥AC，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．11、A【分析】由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】∵，∴．又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴．∴1S△AEF=S△ABC．又∵S四边形BCFE=8，∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=1．故选A．12、D【解析】试题分析：一元二次方程的一般式为：a+bx+c=0(a、b、c为常数，且a≠0)，根据定义可得：A选项中a有可能为0，B选项中含有分式，C选项中经过化简后不含二次项，D为一元二次方程.考点：一元二次方程的定义二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】连接OD，由AB是直径，得∠ACB=90°，由角平分线的性质和圆周角定理，得到△AOD是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求出AD的长度.【详解】解：连接OD，如图，∵是⊙的直径，∴∠ACB=90°，AO=DO=，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∴∠AOD=90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴；故答案为：.【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆周角定理进行解题.14、4【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．【详解】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴∠EAC=∠ACD=30°，∴AE=CE．在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=×6=2，根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2）2，解得：x=4，∴EC=4，则S△AEC=EC•AD=4．故答案为4．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．15、﹣1．【解析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【详解】解：∵二次函数y＝x1+4x+a＝（x+1）1﹣4+a，∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣1．故答案为﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．16、3.1或4.32或4.2【解析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD=，∴AD=DP==1.2，∴AP=2AD=3.1，∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；③当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，故答案为3.1或4.32或4.2．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．17、（2，0），（2，0）．【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点Bn的坐标．【详解】解：如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，

OC=OB1+B1C=2+a，A2（2+a，a）．

∵点A2在双曲线上，

∴（2+a）•a=，

解得a=-1，或a=--1（舍去），

∴OB2=OB1+2B1C=2+2-2=2，

∴点B2的坐标为（2，0）；

作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b，

OD=OB2+B2D=2+b，A2（2+b，b）．

∵点A3在双曲线y=（x＞0）上，

∴（2+b）•b=，

解得b=-+，或b=--（舍去），

∴OB3=OB2+2B2D=2-2+2=2，

∴点B3的坐标为（2，0）；

同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；

以此类推…，

∴点Bn的坐标为（2，0），

故答案为（2，0），（2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键．18、点O在⊙P上【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：由勾股定理，得OP＝＝5，d＝r＝5，故点O在⊙P上．故答案为点O在⊙P上.【点睛】此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理可证AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【详解】（1）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

同理可证AB=BC，

∴AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，

∴AC⊥BD，OD=BD=3，

∵∠ADB=30°，

∴cos∠ADB=，

∴AD=．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、解直角三角形．熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．20、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接、，由AB是直径可得，由点是的中点可得，，由OB与OD是半径可得，进而得到，即可求证.（2）有（1）中结论及题意得，可得BC=4，由可得，，可得，AC=2BC=8，AD=AC-DC=6.【详解】解：（1）证明：如图，连接、,是半圆的直径，点是的中点即是半圆的半径是半圆的切线．（2）由（1）可知，，，∵可得∴，∵，∴，AC=2BC=8，∴AD=AC-DC=8-2=6【点睛】本题考查含30°角直角三角形的性质和切线的判定.21、（1）；（2）时，有最大值【分析】（1）根据题意三个区域面积直接求与之间的函数表达式，并根据表示自变量的取值范围即可；（2）由题意对与之间的函数表达式进行配方，即可求的最大值.【详解】解：（1）假设为，由题意三个区域面积相等可得，区域1=区域2，面积法，得，由总长为120，故，得.所以，面积（2），所以当时，为最大值.【点睛】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用．最大值的问题常利用函数的增减性来解答．22、（1）y=-．y=x-1．（1）x＜2．【解析】分析：（1）根据待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的表达式.详解：（1）∵，点A（5，2），点B（2，3），

∴

又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，

∴点C的坐标为（2，-1），点D的坐标为（-1，3）．

∵点在反比例函数y=的图象上，

∴

∴反比例函数的表达式为

将A（5，2）、B（2，-1）代入y=kx+b，

，解得：∴一次函数的表达式为．

（1）将代入，整理得：

∵

∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．

观察图形，可知：当x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，

∴不等式＞kx+b的解集为x＜2．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23、（1），；（2）①当点运动到距离点个单位长度处，有；②当点运动到距离点个单位处时，四边形面积最小，最小值为.【分析】（1）根据一次函数解析式求出A和C的坐标，再由△ABC是等腰三角形可求出点B的坐标，根据平行四边形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法即可得出二次函数的表达式；（2）①设点P运动了t秒，PQ⊥AC，进而求出AP、CQ和AQ的值，再由△APQ∽△CAO，利用对应边成比例可求出t的值，即可得出答案；②将问题化简为△APQ的面积的最大值，根据几何关系列出关于时间的二次函数，根据二次函数的性质，求出函数的最大值，即求出△APQ的面积的最大值，进而求出四边形PDCQ面积的最小值.【详解】解：（1）由，令，得，所以点；令，得，所以点，∵是以为底边的等腰三角形，∴点坐标为，又∵四边形是平行四边形，∴点坐标为，将点、点代入二次函数，可得，解得：，故该二次函数解析式为：.（2）∵，，∴.①设点运动了秒时，，此时，，，∵，∴，，∴，∴，即，解得：.即当点运动到距离点个单位长度处，有.②∵，且，∴当的面积最大时，四边形的面积最小，当动点运动秒时，，，，设底边上的高为，作于点，由可得：，解得：，∴，∴当时，达到最大值，此