2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理题型探究新人教A届选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理题型探究题型一基底的判断1．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．[解析]假设eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程组无解．即不存在实数x，y使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能作为空间的一个基底．[规律方法]判断基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．对点训练❶在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(C)A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)) D.eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))[解析]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))不共面，可以作为空间向量的一个基底．题型二用基底表示空间向量2.如图所示，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，点E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).[分析]eq\x(\a\al(利用图形寻找待求向,量与a，b，c的关系))→eq\x(\a\al(利用向量运,算进行拆分))→eq\x(\a\al(直至向量用,a，b，c表示))[解析]连接BO，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.[规律方法]用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.对点训练❷在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA,\s\up6(→))1＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．[解析](1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，eq\o(D1B,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)c.(2)eq\o(D1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(D1B,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，又eq\o(D1F,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.题型三空间向量基本定理的应用3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．(1)求eq\o(BN,\s\up6(→))的模；(2)求cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉的值．[解析]由已知得|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(CC1,\s\up6(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→)).〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))〉＝90°，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.(1)因为eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|2＝eq\o(BN,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\f(1,4)eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋eq\f(1,4)×22＋12＝3，所以|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(BN,\s\up6(→))|2)＝eq\r(3).(2)因为eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\o(CA1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，所以|eq\o(BA1,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋eq\o(CB,\s\up6(→))2＝12＋22＋12＝6，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|2＝eq\o(CB1,\s\up6(→))2＝(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2)＝eq\o(CB,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＝12＋22＝5，|eq\o(CB1,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(CB1,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))2－eq\o(CB,\s\up6(→))2＝22－12＝3，所以cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(CB1,\s\up6(→)),|\o(BA1,\s\up6(→))||\o(CB1,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(6)×\r(5))＝eq\f(\r(30),10).[规律方法]应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0.(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．对点训练❸如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值．[解析](1)设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\