基本不等式（第1课时）高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式(第1课时)教学目标素养目标1.理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力.数学运算逻辑推理直观想象数学建模2.通过创设具体情景，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体验成功的乐趣.3.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质.重点：

1.理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求

最值问题；2.理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；难点：

理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式：

a2+b2≥2ab

①不难发现，公式①中，a、b∈R,

当且仅当a=b时等号成立.求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a、b、c∈R)提示：a2+b2≥2abb2+c2≥2bcc2+a2≥2ca当且仅当a=b时，等号成立.

我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.知识点一

基本不等式证法二：探究几何意义ABD

OabC如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD,则OD=＿＿,CD=＿＿＿＿Rt△ACD∽Rt△DCB，几何意义：半径不小于弦长的一半提醒

基本不等式的常见变形:②①和积基本不等式的功能：和积转化知识点二基本不等式与最值已知x,y都是正数,则(1)如果积xy等于定值P,那么当

x＝y

⁠时,和x＋y有最小值

2⁠;(2)如果和x＋y等于定值S,那么当

x＝y

⁠时,积xy有最大值

⁠.x＝y

x＝y

提醒

利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”:①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.因为0＜x＜1,所以1-x＞0,题型一对基本不等式的理解例1

给出下面三个推导过程:其中正确的推导为(

)A.①②B.①③C.②③D.①②③①②③题型二直接应用基本不等式求最值∵x＞0,∴由基本不等式得例2

(1)若x＞0,求y＝4x＋

的最小值;变式

若x＜0,求y＝4x＋

的最大值;∵x＜0,∴-x＞0,(2)设0＜x＜

,求函数y＝4x(3-2x)的最大值.题型三变形应用基本不等式求最值角度一:构造法求最值还有其他方法吗？因为x＞3,所以2x-6＞0,所以构造法求最值的策略

将已知数学表达式变形,构造出符合基本不等式条件的形式(和或积为定值).解题时应对照已知和所求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.角度二:巧用“1”的代换求最值例4已知a＞0,b＞0,且,求a＋b的最小值