2024年初升高数学衔接讲义专题01数与式的运算练习(学生版+解析)

专题01数与式的运算专题专题综述课程要求初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)，掌握运算性质，能够区别与的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂知识精讲知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三数和平方公式；(4)两数和立方公式；(5)两数差立方公式．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3(如图)，满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|+2|=3的解为；(2)解不等式：|－2|＜6；(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；(4)解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简a【能力提升】已知方程组x+y=5+a4x−y=10−6a的解x(1)求a的取值范围；(2)化简：2a+2−2高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】(1)计算：(2)化简：【变式训练】计算：(1)(2)【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：(1)50x的值；(2)2x的值；(3)20x的值．(结果用含a、b的代数式表示)高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．(1);(2)【变式训练】小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式＝＝＝．她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．【能力提升】先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．【变式训练】化简：÷(4x－y)【能力提升】已知：，则的值等于多少？对点精练对点精练

1．下列运算正确的是()A．＝ B．C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x32．下列计算结果正确的是()A． B．C．÷= D．3．若式子有意义，则下列说法正确的是()A．且 B． C． D．4．计算的结果是()A．3 B．0 C． D．5．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是()A． B． C．或 D．2或66．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是()A． B． C． D．7．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为()．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，48．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)()．A． B． C． D．9．与最接近的整数是()A．3 B．4 C．5 D．610．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为()A． B． C． D．11．若，则分式______﹒12．若分式的值为零，则的值为_______．13．已知整数a满足，则分式的值为________．14．计算的结果等于_________．15．计算__．16．化简：___________17．化简的结果为____．18．若有理数x，y，z满足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．19．已知，则的最小值为__．20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．21．(1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中．22．计算：．23．已知a，b，c满足，请回答下列问题：(1)直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．(2)a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．24．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：(1)_______．(2)找出所有符合条件的整数x，使成立，并说明理由(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．25．(1)已知，求代数式的值；(2)化简：．26．先化简，再求值：，其中．27．如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．(1)嘉嘉认为污染的数为，计算“”的结果；(2)若，淇淇认为存在一个整数，可以使得“”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．28．(1)计算：(2)先化简再求值：，其中．29．已知，求代数式的值．30．计算：(1)(2)(3)(4)专题01数与式的运算专题专题综述课程要求初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对“实数”、“整式”等内容的延伸和补充，对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最后一章，是式的变形的终结章.当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)，掌握运算性质，能够区别与的异同.通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质，掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质.课程要求课程要求《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有顺序性，知道字母表示数的基本代数思想2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式，掌握了不超过三步的数的混合运算4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了解了整数指数幂的含义《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打基础，会运算字母代表数的式子2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技巧3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比较，会把整数指数幂的运算及其性质推广到分数指数幂知识精讲知识精讲高中必备知识点1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．高中必备知识点2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：(1)平方差公式；(2)完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：(1)立方和公式；(2)立方差公式；(3)三数和平方公式；(4)两数和立方公式；(5)两数差立方公式．高中必备知识点3：二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义高中必备知识点4：分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：；．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．典例剖析典例剖析高中必备知识点1：绝对值【典型例题】阅读下列材料：我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即=，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为表示在数轴上数与数对应的点之间的距离；例1解方程||=2．因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程||=2的解为．例2解不等式|－1|＞2．在数轴上找出|－1|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为－1或3，所以方程|－1|=2的解为=－1或=3，因此不等式|－1|＞2的解集为＜－1或＞3．例3解方程|－1|+|+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和－2对应的点的距离之和等于5的点对应的的值．因为在数轴上1和－2对应的点的距离为3(如图)，满足方程的对应的点在1的右边或－2的左边．若对应的点在1的右边，可得=2；若对应的点在－2的左边，可得=－3，因此方程|－1|+|+2|=5的解是=2或=－3．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程|+2|=3的解为；(2)解不等式：|－2|＜6；(3)解不等式：|－3|+|+4|≥9；(4)解方程:|-2|+|+2|+|-5|=15.答案:(1)或x=－5；(2)－4＜x＜8；(3)x≥或x≤－5；(4)或.解析：(1)由已知可得x+2=3或x+2=-3解得或x=－5．(2)在数轴上找出|－2|=6的解．∵在数轴上到2对应的点的距离等于6的点对应的数为－4或8，∴方程|－2|=6的解为x=－4或x=8，∴不等式|－2|＜6的解集为－4＜x＜8．(3)在数轴上找出|－3|+|+4|=9的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到3和－4对应的点的距离之和等于15的点对应的x的值．∵在数轴上3和－4对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在3的右边或－4的左边．若对应的点在3的右边，可得x=4；若对应的点在－4的左边，可得x=－5，∴方程|－3|+|+4|=9的解是x=或x=－5，∴不等式|－3|+|+4|≥9的解集为x≥或x≤－5．(4)在数轴上找出|-2|+|+2|+|-5|=15的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和－2和5对应的点的距离之和等于9的点对应的x的值．∵在数轴上-2和5对应的点的距离为7，∴满足方程的x对应的点在-2的左边或5的右边．若对应的点在5的右边，可得；若对应的点在－2的左边，可得，∴方程|-2|+|+2|+|-5|=15的解是或.【变式训练】实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简a答案:a-2b解析：解：由数轴知：a＜0，b>0，|a|＞|b|，

所以b-a>0，a-b＜0

原式=|a|-(b-a)-(b-a)

=-a-b+a-b+a

=a-2b【能力提升】已知方程组x+y=5+a4x−y=10−6a的解x(1)求a的取值范围；(2)化简：2a+2−2答案:(1)−1<a<3；(2)4a解析：(1)x+y=5+a①4x−y=10−6a②，①+②得：5x=15−5a，即x=3−a，代入①得：y=2+2a，根据题意得：xy=(3−a)(2+2a)>0，解得−1<a<3；(2)∵−1<a<3，∴当−1<a<3时，2a+2高中必备知识点2：乘法公式【典型例题】(1)计算：(2)化简：答案:(1)3(2)4ab-8b2解析：解：(1)原式=4+1+(-8)÷4=5-2=3(2)原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab-4b2=4ab-8b2【变式训练】计算：(1)(2)答案:(1)8(2)－6x+13解析：(1)原式=1+16-9=8；(2)原式=x2-6x+9-(x2-4)=x2-6x+9-x2+4=-6x+13.【能力提升】已知10x＝a，5x＝b，求：(1)50x的值；(2)2x的值；(3)20x的值．(结果用含a、b的代数式表示)答案:(1)ab;(2);(3).解析：解：(1)50x＝10x×5x＝ab；(2)2x＝；(3)20x＝．高中必备知识点3：二次根式【典型例题】计算下面各题．(1);(2)答案:(1);(2)解析：(1)()×﹣6＝3﹣6﹣3＝﹣6；(2)+2﹣﹣4＝2+2﹣﹣4＝﹣2．【变式训练】小颖计算时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式＝＝＝．她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程．答案:不正确，见解析解析：解：不正确，正确解答过程为：原式＝÷＝═.【能力提升】先化简，再求值：(-)÷，其中a=+，b=-．答案:；．解析：解：(-)÷====，当a=+，b=-时，原式===．高中必备知识点4：分式【典型例题】先化简，再求值，其中x满足x2+x﹣1＝0．答案:,1.解析：解：原式＝∴原式＝1.【变式训练】化简：÷(4x－y)答案:解析：÷(4x－y)==.【能力提升】已知：，则的值等于多少？答案:.解析：解：∵，∴a-b=-2ab，则对点精练对点精练

1．下列运算正确的是()A．＝ B．C．3x3﹣5x3＝﹣2 D．8x3÷4x＝2x3答案:A解：A，，正确．B，，不正确．C，3x3﹣5x3＝﹣2x3，不正确．D，8x3÷4x＝2x2，不正确．故选：A．

2．下列计算结果正确的是()A． B．C．÷= D．答案:A∵，∴选项A计算正确；∵，∴选项B计算错误；∵÷=，∴选项C计算错误；∵不是同类项，无法计算，∴选项D计算错误；故选A

3．若式子有意义，则下列说法正确的是()A．且 B． C． D．答案:C解：由题意可知：∴故选：C

4．计算的结果是()A．3 B．0 C． D．答案:A解：===3．故选A．

5．若，，且的绝对值与相反数相等，则的值是()A． B． C．或 D．2或6答案:C解：∵，，∴，，∵的绝对值与相反数相等，∴＜0，∴，，或，故选：C．

6．设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是()A． B． C． D．答案:C解：∵，∴a，c异号，∵，∴，，又∵，∴，又∵表示到，，三点的距离的和，当在时距离最小，即最小，最小值是与之间的距离，即．故选：C．

7．如果，，是非零有理数，那么的所有可能的值为()．A．，，0，2，4 B．，，2，4C．0 D．，0，4答案:D①a、b、c均是正数，原式==；②a、b、c均是负数，原式==；③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式==；④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式==；故选D．

8．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)()．A． B． C． D．答案:C由图中规律知，前(n-1)行的数据个数为2+4+6+…+2(n-1)＝n(n-1)，∴第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数的被开方数是：n(n-1)+n-3＝n2-3，∴第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是：故选：C．

9．与最接近的整数是()A．3 B．4 C．5 D．6答案:B解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故选：B．

10．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为()A． B． C． D．答案:B∴a的小数部分为，∴b的小数部分为，∴，故选：B．

11．若，则分式______﹒答案:解：两边都乘，得：①②将①代入②得：故答案为：﹒

12．若分式的值为零，则的值为_______．答案:解：∵分式的值为零，∴且，解方程得，，；解不等式得，，∴故答案为：．

13．已知整数a满足，则分式的值为________．答案:==，由题意且，所以且且，又∵整数a满足，∴，当时，原式=，故答案为：．

14．计算的结果等于_________．答案:解：．故答案为：．

15．计算__．答案:3解：原式．故答案为：3．

16．化简：___________答案:解：要使该二次根式有意义，则有

故答案为：．

17．化简的结果为____．答案:解：原式．故答案为：．

18．若有理数x，y，z满足(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)＝36，则x+2y+3z的最小值是_____．答案:﹣8解：当x＜﹣1时，|x+1|+|x﹣2|＝﹣(x+1)﹣(x﹣2)＝﹣2x+1＞3，当﹣1≤x≤2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1﹣(x﹣2)＝3，当x＞2时，|x+1|+|x﹣2|＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，同理可得：|y﹣1|+|y﹣3|≥2，|z﹣3|+|z+3|≥6，所以(|x+1|+|x﹣2|)(|y﹣1|+|y﹣3|)(|z﹣3|+|z+3|)≥3×2×6＝36，所以|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣1|+|y﹣3|＝2，|z﹣3|+|z+3|＝6，所以﹣1≤x≤2，1≤y≤3，﹣3≤z≤3，∴x+2y+3z的最大值为：2+2×3+3×3＝17，x+2y+3z的最小值为：﹣1+2×1+3×(﹣3)＝﹣8．故答案为：﹣8．

19．已知，则的最小值为__．答案:．，，可理解为在数轴上，数的对应的点到和1两点的距离之和；可理解为在数轴上，数的对应的点到和5两点的距离之和，当，的最小值为3；当时，的最小值为6，的范围为，的范围为，当，时，的值最小，最小值为．故答案为：．

20．已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则x+y的最小值是_____．答案:解：∴，∴，，∴的最小值为，故答案为：．

21．(1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中．答案:(1)；(2)；5解：(1)原式．(2)原式，．当时，原式．

22．计算：．答案:解：原式．

23．已知a，b，c满足，请回答下列问题：(1)直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．(2)a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．答案:(1)-3，1，5，数轴见解析；(2)①2；②1秒或3秒解：(1)∵，∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，∴a=-3，b=1，c=5，数轴表示如下：(2)①由题意可得：1.5秒后，点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，