2025版高考数学一轮总复习素养提升第4章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式第1课时三角函数公式的基本应用

帮助角公式的应用应用1求值(2024·浙江)若3sinα－sinβ＝eq\r(10)，α＋β＝eq\f(π,2)，则sinα＝eq\f(3\r(10),10)，cos2β＝eq\f(4,5).[解析]三角函数的恒等变换(理性思维)因为α＋β＝eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,2)－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝3sinα－cosα＝eq\r(10)sin(α－φ)＝eq\r(10)，其中sinφ＝eq\f(\r(10),10)，cosφ＝eq\f(3\r(10),10).所以α－φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以α＝eq\f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cosφ＝eq\f(3\r(10),10)，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－eq\r(10)＝－eq\f(\r(10),10)，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).应用2求最值1．(2017·全国Ⅱ)函数f(x)＝2cosx＋sinx的最大值为eq\r(5).[分析]干脆利用帮助角公式化为Asin(ωx＋φ)．[解析]f(x)＝eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx·\f(2\r(5),5)＋sinx·\f(\r(5),5)))＝eq\r(5)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cosφ＝\f(\r(5),5)，sinφ＝\f(2\r(5),5)))，明显f(x)的最大值为eq\r(5).2．函数f(x)＝2eq\r(3)sinx·cosx－2sin2x的值域为[－3,1].[分析]高次的先用二倍角余弦公式降次，然后再用帮助角公式化为Asin(ωx＋φ)．[解析]f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1.明显f(x)max＝1，f(x)min＝－3.故f(x)的值域为[－3,1]．应用3求单调区间函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx(x∈[0，π])的单调递减区间为(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]函数f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).由2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，得kπ＋eq\f(π,6)≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z.∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，可得单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，故选B．名师点拨：用帮助角公式变形三角函数式时：1．遇两角和或差的三角函数，要先绽开再重组；2．遇高次时，要先降幂；3．熟记以下常用结论：(1)sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4)))；(2)eq\r(3)sinα±cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,6)))；(3)sinα±eq\r(3)cosα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,3))).【变式训练】1．(2024·湖南浏阳一中期中)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝(C)A．－eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)[解析]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，即eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(3,2)cosα＝－eq\f(\r(3),3)∴eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝－eq\f(1,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，故选C．2．(2024·北京，14)若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为eq\f(π,2)(取值满足φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可).[解析]本题考查三角恒等变换及帮助角公式的应用．f(x)＝sin(x＋φ)＋cosx＝sinxcosφ＋cosxsinφ＋cosx＝cosφsinx＋(sinφ＋1)cosx＝eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)·sin(x＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(sinφ＋1,cosφ)))，由f(x)的最大值为2，所以eq\r(cos2φ＋sinφ＋12)＝2，化简可得sinφ＝1，则φ可为eq\f(π,2)，其取值满足φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)即可．3．已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x，则f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的增区间为(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))[解析]f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a