2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)1.3空间向量及其运算的坐标表示-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

空间向量及其运算的坐标表示1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)2空间向量的直角坐标运算律①若a=(则aλaa||b⇒a⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中，AB⑤两点间的距离公式:若A(则|或d【题型一】空间向量坐标运算【典题1】已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a(1)a,b,c；(2)【典题2】已知空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面内，则实数λ=．巩固练习1(★)空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，则|AB|2(★)已知向量a=(2,−1,3),b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t3(★)若向量a=(7,λ,8),b=(1,−1,2),c=(2,3,1)，且4(★★)已知AB=(2,−1,3),AC=(−1,4,−2),AD=(5,−6,λ)，若A,B,C,D【题型二】建立空间坐标系处理几何问题【典题1】△ABC的三个顶点分别是A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，则AC【典题2】如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(32,12,0)，点D在平面yOz上，且【典题3】如图，直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∠ABC=2π3，平面α内一动点P满足∠PAB=π3巩固练习1(★)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1=60°，BC1交2(★★)已知点A(1,−2,11)、B(4,2,3)，C(6,−1,4)，则△ABC中角C的大小是．3(★★)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(−2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为4(★★★)已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在点P，使得I1=I2 C．对任意的点P，有I1>I2 5(★★★)如图，已知点P在正方体ABCD－A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC=60°．设D'P=λD'B，则λ的值为6(★★★)三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上移动，且满足BP≤空间向量及其运算的坐标表示1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.(2)空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系O−xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)2空间向量的直角坐标运算律①若a=(则aλaa||b⇒a⊥②若Ax1,③模长公式若a=(a1④夹角公式cos<∆ABC中，AB⑤两点间的距离公式:若A(则|或d【题型一】空间向量坐标运算【典题1】已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a(1)a,b,c；(2)【解析】(1)∵a//b，∴故a=(2,4,1),又因为b⊥c，所以b⋅c=0故c=(2)由(1)可得a+设向量a+c与b+则cos⁡θ=【典题2】已知空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)在同一平面内，则实数λ=．【解析】∵空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、C(0,2,1)、D(1,0,λ)∴AD即(－1,1,λ－1)=m(－1,3,2)+n(－2,3,0)=(－m－2n,3m+3n,2m)，∴−m−2n=−13m+3n=1巩固练习1(★)空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3，2)，若|AO|=1，则【答案】2【解析】∵空间点A(x，y，z)，O(0，0，0)，B(2，3∴A是以O为球心，1∵B(2，∴|AB|的最小值为：|OB|－||OA|=3－1=22(★)已知向量a=(2,−1,3),b=(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t【答案】(−【解析】∵向量a=(2,−1,3),∴&a⋅b=−8−2+3t<0∴实数t的取值范围为(−∞3(★)若向量a=(7,λ,8),b=(1,−1,2),c=(2,3,1)，且【答案】3【解析】向量a=(7,λ,8),b=(1,−1,2),所以存在两个实数x、y使得a=x即7=x+2yλ=−x+3y8=2x+y，解得x=3y=24(★★)已知AB=(2,−1,3),AC=(−1,4,−2),AD=(5,−6,λ)，若A,B,C,D【答案】8【解析】∵A,B,C,D四点共面，∴存在实数m,n，使得AD=m∴&2m−n=5&−m+4n=−6&3m−2n=λ【题型二】建立空间坐标系处理几何问题【典题1】△ABC的三个顶点分别是A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，则AC【解析】方法一要求高BD，则只需求点D坐标，可采取待定系数法.设点D(x、y、z)，则BD=x−5,y+6,z−2，AD由垂足D满足的条件BD∙∴BD∴|BD方法二等积法(思考：因为三个点A、B、C确定了，则可求出∆ABC的面积SABC，继而可求高BD=∵A(1,−1,2)，B(5,−6,2)，C(1,3,−1)，∴cosA=AC∴S∵SABC=【点拨】我们利用空间向量的知识也是可以求出几何中常见的量：线段长度(两点距离公式)、角度(数量积)、面积等.【典题2】如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(32,12,0)，点D在平面yOz上，且【解析】∵点D在平面yoz上，∴点D的横坐标为0过点D作DH⊥BC，依题意易得DH=4sin30°sin即点D的竖坐标为z=3，纵坐标为∴|AD|=(【点拨】①在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是：(1)根据题意求出各线段长度，比如CD、BD；(2)确定空间点坐标的意义，比如点D的竖坐标与点D到平面xOy的距离有关；(3)把空间问题平面化；(4)留意D坐标的正负.②两点间的距离公式:若A(x则|AB【典题3】如图，直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∠ABC=2π3，平面α内一动点P满足∠PAB=π【解析】(题中垂直关系较多，较容易建系描出各点坐标，进而数量积OP⋅∵平面OAC⊥平面α，∴作AO'⊥OC，则AO'⊥平面α，过O'在平面α内作OC的垂线O'X，如图建立空间直角坐标系O'－XYZ，∵∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∴BC=AB=OB=2，∠ABO=O'A=3，O'B=1，OO'=1，O'C=3则O(0,−1,0)，A(0,0,3)，B(0,1,0)，设P(x,y,0)，(点P是动点，在坐标系中引入变量x，y，再由限制条件∠PAB=π3得到x，则AP=(x,y,−3)∴AP∵∠PAB=∴AP∴y+3=x2+∴OP又∵x∴y≥−1，(点P是有固定轨迹的，即y是有范围的，讨论函数性质也要优先讨论定义域)∴当y=−1时，OP∙CP的最小值为∴OP故答案为[0,+∞)．【点拨】①由平面OAC⊥平面α可想到建立空间直角坐标系的方法，根据∆OAC已知条件可求其他角、边的大小，从而得到各点的坐标；②而OP⋅CP由点③从数量积坐标运算的角度得AP⋅AB=y+3，从数量积的定义AP⋅AB④由坐标运算易求OP∙CP最小值化为⑤本题若想用非坐标的方法解答：OP∙而得不到点P的轨迹，较难求出BP2巩固练习1(★)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C是边长为2菱形，∠CBB1=60°，BC1交【答案】(−3【解析】三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BBC1交B1C于点O，AO⊥侧面如图建立空间直角坐标系O－xyz，过A1作A1E⊥平面BCC1B1则B1E∥OC1，∴点A1的坐标为(−故选：B．2(★★)已知点A(1,−2,11)、B(4,2,3)，C(6,−1,4)，则△ABC中角C的大小是．【答案】90°【解析】∵A(1,－2,11)、B(4,2,3)，C(6,－1,4)，∴|AC→|BC又∵∴CA可得cos∵∠ACB∈(0°,180°)∴∠ACB=90°故答案为90°3(★★)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,5,2)，C(−2,3,6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为【答案】65【解析】AB∴AB|AB|=2∴cos∴sin∠BAC=1−co∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S=|AB故答案为：654(★★★)已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=2，A．存在点P，使得I1=I2 C．对任意的点P，有I1>I2 【答案】C【解析】如图所示建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B(0,0,2)所以AB=(−4,0,0)，AP=(x−4,y,z−2)，AC1=(−4,3,−2)因为满足B1P=1，所以x2+y2∴I∴I∴II1－I2=－4(x－4)－3y=16－4x－3y>0I1－II2－I故选：C．5(★★★)如图，已知点P在正方体ABCD－A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC=60°．设D'P=λD'B，则λ的值为【答案】2【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD'为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点P在正方体ABCD－A'B'C'D'的对角线BD'上，且∠PDA=60°，∵D'P→=λ则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D'(0,0,1)，B(1,1,0)，P(λ,λ,1－λ)，∴DP→=(λ,λ,1－λ)∴cos<DC由0<λ<1，解得λ=2故选：C．6(★★★)三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上移动，且满足BP≤【答案】[【解