2024年高中数学专题6-3重难点题型培优精讲平面向量的运算教师版新人教A版必修第二册

专题6.3平面对量的运算1．向量的加法运算(1)向量加法的定义及两个重要法则(2)多个向量相加为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最终一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.2．向量加法的运算律(1)交换律：；(2)结合律：.3．向量的减法运算(1)相反向量我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法.(3)向量减法的三角形法则如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义.4．向量的数乘运算(1)向量的数乘的定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；

②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反.(2)向量的数乘的运算律设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③(+)=+.

特殊地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-.

(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于随意向量,，以及随意实数,,，恒有()=.5．向量共线定理(1)向量共线定理向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=.

(2)向量共线定理的应用——求参

一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可.【题型1向量的加减法运算】【方法点拨】向量的加减法运算有如下方法：(1)利用相反向量统一成加法(相当于向量求和)；(2)运用减法公式-=(正用或逆用均可)；(3)运用帮助点法，利用向量的定义将全部向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题.【例1】（2024春·北京丰台·高一期末）AB-AD+A．BC B．CB C．BD D．DB【解题思路】依据向量的加法和减法运算即可求解.【解答过程】因为AB-故选：B.【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）化简AC-BD+A．0 B．DA C．BC D．AB【解题思路】利用向量的线性运算干脆求解.【解答过程】AC===BC故选：C.【变式1-2】（2024·广东·高三学业考试）在四边形ABCD中，给出下列四个结论，其中确定正确的是（

）A．AB+BCC．AB+AD【解题思路】由向量加法的三角形法则可推断AD，由向量减法的运算法则可推断B，由向量加法的平行四边形法则可推断C.【解答过程】依据三角形法则可得AB+依据向量减法的运算法则可得AB-四边形ABCD不愿定是平行四边形，所以不愿定有AB+依据三角形法则可得BC+故选：D.【变式1-3】（2024春·广西南宁·高二开学考试）下列化简结果错误的是（

）A．AB+BCC．OA-OD【解题思路】依据向量加减法运算法则计算即可【解答过程】对A，原式=AC对B，原式=AB对C，原式=OA对D，原式=AB故选：D．【题型2三角形（平行四边形）法则的应用】【方法点拨】依据向量加减法的几何意义，将对应向量表示出来即可.【例2】（2024秋·四川·高三开学考试）如图，向量b-a等于（A．e1-3e2 B．【解题思路】依据向量的减法法则可得选项．【解答过程】由向量的减法得b-故选：A．【变式2-1】（2024·高一课时练习）如图，向量a-b等于（A．-e1C．e1-【解题思路】依据向量线性运算法则，结合图像即可求解.【解答过程】a-b等于向量b的终点指向向量分解后易知a-故选：A.【变式2-2】（2024秋·安徽芜湖·高一期中）如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a=λeA．-4 B．-【解题思路】依据图象求得正确答案.【解答过程】由图象可知a=故选：D.【变式2-3】（2024秋·湖南衡阳·高一期末）如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则A．2a+C．-3a【解题思路】由向量加减法运算法则，得到所求向量为DC，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.【解答过程】由题意，得AB-故选：C.【题型3向量的线性运算】【方法点拨】向量的数乘运算类似于实数运算，遵循括号内的运算优先的原则，将相同的向量看作“同类项”进行合并.要留意向量的数乘所得结果仍是向量，同时要在理解其几何意义的基础上，娴熟运用运算律.【例3】（2024春·新疆喀什·高一阶段练习）3aA．5a B．5b C．-【解题思路】依据向量运算加减法的运算公式，即可求解.【解答过程】依据向量运算公式可知，3a故选：B.【变式3-1】（2024·高一课时练习）已知a=2e，b=-3e，A．18e B．-3e C．【解题思路】由向量的运算可得答案.【解答过程】3a故选：A.【变式3-2】（2024·全国·高三专题练习）32a-A．4a+3b B．4a【解题思路】由平面对量的线性运算方法即可求得答案.【解答过程】由题意，32故选：B.【变式3-3】（2024·高一课时练习）a+2b+2A．2a B．3a C．-【解题思路】利用向量的线性运算求解即可.【解答过程】依题意得：a+2故选：B.【题型4用已知向量表示相关向量】【方法点拨】用已知向量来表示其他向量是解向量相关问题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质，如三角形的中位线定理，相像三角形对应边成比例等，把未知向量转化为与已知向量有干脆关系的向量进行求解.【例4】（2024·高一课时练习）如图，▱ABCD中，AB=a，AD=b，点E是AC的三等分点(A．13a-23b【解题思路】依据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.【解答过程】DE故选：B.【变式4-1】（2024·高一课时练习）在四边形ABCD中，设AB=a，AD=A．-a+C．a+b【解题思路】依据向量加法、减法的运算求得DC.【解答过程】DC=故选：D.【变式4-2】（2024·新疆·统考三模）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA=a，OB=b，则A．a+bC．b-a【解题思路】依据给定条件利用平面对量的减法运算列式作答.【解答过程】在平行四边形ABCD中，依题意，OC=-OA所以BC=故选：D.【变式4-3】（2024秋·甘肃武威·高一期中）如图，向量AB=a，AC=b，CD=A．a+b+c B．a【解题思路】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.【解答过程】BD=故选：C.【题型5向量共线定理的应用】【方法点拨】向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数，使得=，则向量与非零向量共线.解题过程中，须要把两向量用共同的已知向量来表示，进而相互表示，由此推断共线.【例5】（2024·高一课时练习）已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若PA+PB=A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上【解题思路】由向量的运算可得CA=【解答过程】∵PA+∴PB-∴CB=即CA=故点P在边AC所在的直线上.故选：D.【变式5-1】（2024·高一课时练习）P是△ABC所在平面内一点，CB=λPA+A．△ABC内部 B．在直线ACC．在直线AB上 D．在直线BC上【解题思路】依据共线定理可知即PC与PA共线，从而可确定P点确定在AC边所在直线上．【解答过程】∵∴PB∴-∴PC//PA，即PC∴P点确定在AC边所在直线上.故选：B．【变式5-2】（2024春·湖南长沙·高二阶段练习）已知a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【解题思路】依据给定条件，求出BD,【解答过程】a，b为不共线的非零向量，AB=a+5b，则BD=BC+因1-2≠58，则AB与BC不共线，A因AB=BD，即AB→与BD→共线，且有公共点B，则A，因-23≠8-3，则BC与CD不共线，因-13≠13-3，则AC与CD不共线，故选：B.【变式5-3】（2024春·上海·高二专题练习）O是平面上确定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP＝OA+λ(AB+ACA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解题思路】取线段BC的中点E，则AB+AC=2AE．动点P满足：OP=【解答过程】取线段BC的中点E，则AB+动点P满足：OP=OA+则OP则AP=2则直线AP确定通过△ABC的重心．故选：C．【题型6向量线性运算在三角形中的运用】【方法点拨】结合具体条件，利用向量的线性运算，进行转化求解即可.【例6】（2024春·北京大兴·高三期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的珍宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若AG=xAB+yA．25 B．4【解题思路】利用平面对量线性运算法则以及平面对量基本定理，将AG用AB,BC表示出来，求出x，【解答过程】由题意可得AG=因为EFGH是平行四边形，所以AG=-CE，所以AG因为AG=xAB则2x故选:D.【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）2024年是中国共产党建党100周年，“红星闪闪放光彩”，国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特殊美丽的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ESA．5+12 B．5-1【解题思路】依据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．【解答过程】五角星中，ES=RC，则ES-由于AT则λ=故选：D.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）庄重美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个特殊美丽的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且PTAT＝5-1A．BPB．CQC．ESD．AT【解题思路】利用平面对量的概念、平面对量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【解答过程】解：在如图所示的正五角星中