新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第七章7.37.3.2A级——基础过关练1．有甲、乙两台自动包装机，包装质量分别为随机变量X甲，X乙，已知E(X甲)＝E(X乙)，且D(X甲)>D(X乙)，则()A．甲包装机的质量较好B．乙包装机的质量较好C．甲、乙两台包装机的质量一样好D．甲、乙两台包装机的质量不能比较【答案】B【解析】∵E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)，∴乙包装机的质量更稳定，即质量较好．2．(2024年乌鲁木齐期中)若随机变量X的分布列为X01P0.2m已知随机变量Y＝aX＋b(a，b∈R)且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为()A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5【答案】C【解析】因为0.2＋m＝1，解得m＝0.8，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝0.2×0.8＝0.16.因为Y＝aX＋b(a，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6.3．设随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,2)xy若E(X)＝eq\f(15,8)，则D(X)＝()A．eq\f(33,64) B．eq\f(55,64)C．eq\f(7,32) D．eq\f(9,32)【答案】B【解析】由随机变量分布列的性质，得x＋y＝eq\f(1,2).由E(X)＝eq\f(15,8)，得1×eq\f(1,2)＋2x＋3y＝eq\f(15,8)，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8).∴D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64).4．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1-k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是()A．0和1 B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)p【答案】D【解析】由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X听从两点分布，∴D(X)＝p(1－p).5．(2024年南京模拟)小智参与三次投篮竞赛，投中得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0.5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为()A．eq\f(3,8) B．eq\f(3,4)C．eq\f(3,2) D．3【答案】B【解析】由题意可得ξ＝－3，3，－1，1，其中P(ξ＝－3)＝P(ξ＝3)＝0.53，P(ξ＝－1)＝P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(2,3)(0.5)3＝3×0.53，故随机变量|ξ|的分布列为|ξ|13P6×0.532×0.53故E(|ξ|)＝6×0.53＋3×2×0.53＝1.5，D(|ξ|)＝(1.5－1)2×6×0.53＋(3－1.5)2×2×0.53＝0.75.6．已知随机变量X满意E(1－X)＝5，D(1－X)＝5，则下列说法正确的是()A．E(X)＝－5，D(X)＝5 B．E(X)＝－4，D(X)＝5C．E(X)＝－5，D(X)＝－5 D．E(X)＝－4，D(X)＝－4【答案】B【解析】因为E(aX＋b)＝aE(X)＋b，所以E(1－X)＝E(－X＋1)＝－E(X)＋1＝5，所以E(X)＝－4.因为D(aX＋b)＝a2D(X)，所以D(1－X)＝D(－X＋1)＝(－1)2D(X)＝5，所以D(X)＝5.故选B．7．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1股票甲收益的分布列收益X/元－102概率0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012概率0.30.40.3则下列结论中正确的有()A．D(X)＝1.29B．D(Y)＝0.6C．投资股票甲的期望收益较小D．投资股票甲比投资股票乙的风险高【答案】ABD【解析】甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29；乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6.所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．故选ABD．8．若某事务在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事务在一次试验中发生的概率为________．【答案】0.5【解析】事务在一次试验中发生次数记为X，则X听从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.9．随机变量ξ的分布列如下：ξ0－1xPeq\f(1,2)eq\f(1,3)p若E(ξ)＝eq\f(2,3)，则D(ξ)＝________．【答案】eq\f(5,9)【解析】由eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋p＝1，得p＝eq\f(1,6).又因为E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)x＝eq\f(2,3)，解得x＝2，所以D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,9).10．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：X1－2－1012P0.050.050.80.050.05X2－2－1012P0.10.20.40.20.1依据这两面大钟日走时误差的均值与方差，比较这两面大钟的质量．解：由题意，得E(X1)＝0，E(X2)＝0，故E(X1)＝E(X2).D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，故D(X1)＜D(X2).综上可知，A大钟的质量较好．B级——实力提升练11．(多选)(2024年梅州月考)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满意Y＝3X＋1，则下列结果正确的有()A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝7，D(Y)＝16.2【答案】ACD【解析】由q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，可得q＝0.1，选项A推断正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故选项B推断错误，选项C推断正确；E(Y)＝3E(X)＋1＝3×2＋1＝7，D(Y)＝32D(X)＝32×1.8＝16.2，选项D推断正确．故选ACD．12．(2024年达州期末)一个袋中放有大小、形态均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2) D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)【答案】B【解析】ξ1的可能取值为0，1，2，ξ2的可能取值为0，1.P(ξ1＝0)＝eq\f(4,9)，P(ξ1＝2)＝eq\f(1,9)，P(ξ1＝1)＝1－eq\f(4,9)－eq\f(1,9)＝eq\f(4,9)，故E(ξ1)＝eq\f(2,3)，D(ξ1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(4,9)＝eq\f(4,9).P(ξ2＝0)＝eq\f(2×1,3×2)＝eq\f(1,3)，P(ξ2＝1)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故E(ξ2)＝eq\f(2,3)，D(ξ2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，故E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2).13．已知随机变量ξ的分布列如下，且E(ξ)＝eq\f(7,2)，则实数x＝________，若随机变量η＝2ξ－3，则D(η)＝________．ξ234Pxyeq\f(2,3)【答案】eq\f(1,6)eq\f(7,3)【解析】由分布列的性质可得x＋y＋eq\f(2,3)＝1①，∵E(ξ)＝eq\f(7,2)，∴2x＋3y＋4×eq\f(2,3)＝eq\f(7,2)②.联立①②，解得x＝y＝eq\f(1,6).∴D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－2))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－3))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－4))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,12).∵随机变量η＝2ξ－3，∴D(η)＝22D(ξ)＝4×eq\f(7,12)＝eq\f(7,3).14．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，则打开此门所需试开次数X的方差为________．【答案】2【解析】设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1，2，3，4，5.X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．P(X＝1)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(1,5))·eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,5))·eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,5))·1＝eq\f(1,5)，故随机变量X的概率分布列为X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3，D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝2.15．设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，球除颜色外其余都相同，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数．(1)当a＝1，b＝2，c＝3时，从该盒子中依次任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)当a＝1时，从该盒子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数，若E(η)＝eq\f(5,3)，D(η)＝eq\f(5,9)，求b和c.解：(1)ξ的可能取值为2，3，4，5，6，P(ξ＝2)＝eq\f(6×6,12×12)＝eq\f