2025版高考数学一轮总复习第5章平面向量与复数第2讲平面向量的基本定理及坐标表示提能训练

第2讲平面对量的基本定理及坐标表示A组基础巩固一、单选题1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(B)A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2[解析]由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能相互线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝eq\f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D,2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2共线，不满足题意，故选B.2．已知点A(1,0)，B(2,2)，向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－1)，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(C)A．(1,2) B．(－1，－2)C．(3,1) D．(－3，－1)[解析]依据点A，B的坐标可求出向量eq\o(BA,\s\up6(→))的坐标，然后依据eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))即可求出向量eq\o(AC,\s\up6(→))的坐标.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(－1，－2)＝(3,1)．故选C.3．(2024·陕西汉中月考)已知向a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，则b＝(C)A．(1,2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(－1，－2)[解析]∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故选C.4．(2024·山西晋中市新一双语学校月考)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(B)A．3a＋b B．3a－bC．－a＋3b D．a＋3b[解析]设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝4，,λ＋μ＝2.))解得：λ＝3，μ＝－1，则c＝3a－b故选B.5．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6,8)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)[解析]因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．6．如图所示，若向量e1、e2是一组单位正交向量，则向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(A)A．(3,4) B．(2,4)C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)[解析]以向量a、b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系．可得向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))且b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算性质，即可得到向量2a＋b在平面直角坐标系中的坐标．以向量a、b公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系，∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∵b＝(1,3)，∴2a＋b＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))＋(1,3)＝(3,4)，即2a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)，故选A.7．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为(B)A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)[解析]因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，因为0<C<π，所以C＝eq\f(π,3).故选B.8．(2024·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故选D.二、多选题9．(2024·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是(ABD)A.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b B．eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋bC.eq\o(BM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，故A正确；eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋b，故B正确；eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，故C错误；eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)a＋b，故D正确．10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(ABD)A．－2 B．eq\f(1,2)C．1 D．－1[解析]各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．11．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，则P点的坐标为(BD)A．(－8,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2)))[解析]设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，当eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).同理当eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，可解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2))).故选BD.三、填空题12．已知点A(1,3)，B(4，－1)，写出一个与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量坐标为(6，－8)(答案不唯一).[解析]因为A(1,3)，B(4，－1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))共线的向量的坐标可以是(3λ，－4λ)，λ∈R.13．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为(2,4).[解析]∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．14．(2024·广西贺州联考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，则mn＝7.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.15．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为(0,2).[解析]因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．四、解答题16．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．[解析](1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)解法一：∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).解法二：eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).B组实力提升1．(多选题)设a是已知的平面对量且a≠0，关于向量a的分解，有如下四个命题(向量b，c和a在同一平面内且两两不共线)，则真命题是(AB)A．给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋cB．给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μcC．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μcD．给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc[解析]∵向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，∴b≠0，c≠0，给定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即为所求的向量c，故总存在向量c，使a＝b＋c，故A正确；当向量b，c和a在同一平面内且两两不共线时，向量b，c可作基底，由平面对量基本定理可知结论成立，故B正确；取a＝(4,4)，μ＝2，b＝(1,0)，无论λ取何值，向量λb都平行于x轴，而向量μc的模恒等于2，要使a＝λb＋μc成立，依据平行四边形法则，向量μc的纵坐标确定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故C错误；因为λ和μ为正数，所以λb和μc代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量a不愿定能用两个单位向量的组合表示出来，故不愿定能使a＝λb＋μc成立，故D错误．故选AB.2．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为(B)A.eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)[解析]设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)．所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq\f(2,3).3．(2024·湖北四校调研)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(λ,μ)＝(B)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(2,3)[解析]本题考查向量的线性运算.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，从而求得eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,3)，故选B.4．(2024·豫南九校联考)如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有(B)A.eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)) D．eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))[解析]在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA(图略)，则eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，其终点不在阴影区域内，解除A，同理解除C，D，故选B.5．在△ABC中已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，则点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)).[解析]如图，∵O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0,5)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,3)，∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(0,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(4,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(7,4)))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)