备考2025届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破1构造法在解决函数导数问题中的应用命题点1利用导数运算构造函数

突破1构造法在解决函数、导数问题中的应用命题点1利用导数运算构造函数角度1利用f（x）与x构造例1[全国卷Ⅱ]设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（A）A.（－∞，－1）∪（0，1） B.（－1，0）∪（1，＋∞）C.（－∞，－1）∪（－1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞）解析令F（x）＝f（x）x，（依据条件xf'（x）－f（x）＜0构造函数F（x因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶函数，由于F'（x）＝xf'(x）－f（x）x2，当x＞0时，xf'（x所以F（x）＝f（x）x在（依据图象的对称性，得F（x）＝f（x）x在（－∞由f（－1）＝0，f（1）＝0，知F（－1）＝0，F（1）＝0.由f（x）＞0，得x<0，F（x）<0或x>0，F（x）>0，解得x＜－1或0＜x＜1，即使得f（x）＞0方法技巧形式构造函数xf'（x）＋nf（x）g（x）＝xnf（x）xf'（x）－nf（x）g（x）＝f角度2利用f（x）与ex构造例2已知定义在R上的函数f（x）满意2f（x）＋f'（x）＞0，且有f（12）＝1e，则f（x）＞1e2xA.（0，12） B.（12，C.（0，2） D.（0，＋∞）解析由题意，构造函数F（x）＝f（x）·e2x，则F'（x）＝f'（x）·e2x＋2f（x）e2x＝e2x[f'（x）＋2f（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.f（x）＞1e2x⇔e2xf（x）＞1⇔F（x）＞1，∵F（12）＝f（12）·e＝1，∴F（x）＞1⇔F（x）＞F（12）⇔x＞12，即f（x）＞方法技巧形式构造函数f'（x）＋nf（x）g（x）＝enx·f（x）f'（x）－nf（x）g（x）＝f角度3利用f（x）与sinx，cosx构造例3[2024湖南省长沙麓山国际试验学校期中]若定义在[0，π2）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（0）＝0，f'（x）cosx＋f（x）sinx＜0，则下列不等关系中正确的是（CA.f（π6）＜62f（π4） B.f（lnC.f（π6）＞3f（π3） D.f（π4）＜2f解析令g（x）＝f（x）cosx，x∈[0，π2），则g'（x）＝f'(x）cosx＋f（x）sinxcos2x，因为f'（x）cosx＋f（x）sinx＜0，所以g'（x）＜0在[0，π2）上恒成立，因此函数g（x）＝f（x）cosx在f（0）＝0，所以g（0）＝f（0）cos0＝0，所以g（x）＝f（x）cosx≤0在[0，π2）上恒成立，因为0＝ln1＜lnπ3＜lne＝1＜π2，所以f（lnπ3）＜0，故B错；又g（π6）＞g（π3），所以f（π6）cosπ6＞f（π3）即f（π4）＞2f（π3），故D错误.方法技巧由f（x）与sinx，cosx相结合构造可导函数的几种常见形式：（1）F（x）＝f（x）sinx，则F'（x）＝f'（x）sinx＋f（x）cosx；（2）F（x）＝f（x）sinx，则F'（（3）F（x）＝f（x）cosx，则F'（x）＝f'（x）cosx－f（x）sinx；（4）F（x）＝f（x）cosx，则F'（训练1（1）[2024安徽合肥第六中学5月月考]已知函数f（x）满意f（x）＋f（－x）＝0，且当x∈（－∞，0）时，f（x）＋xf'（x）＜0成立.若a＝20.6·f（20.6），b＝ln2·f（ln2），c＝log218·f（log218），则a，b，c的大小关系是（DA.a＞b＞c B.c＞b＞aC.a＞c＞b D.c＞a＞b解析因为函数f（x）满意f（x）＋f（－x）＝0，所以f（x）是奇函数.不妨令g（x）＝x·f（x），则g（－x）＝－x·f（－x）＝x·f（x）＝g（x），所以g（x）是偶函数.g'（x）＝f（x）＋xf'（x），因为当x∈（－∞，0）时，f（x）＋xf'（x）＜0成立，所以g（x）在（－∞，0）上单调递减，又g（x）是偶函数，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增.a＝g（20.6），b＝g（ln2），c＝g（log218）＝g（－log21因为2＞20.6＞1，0＜ln2＜1，－log218＝－（－3）＝3＞2所以ln2＜20.6＜－log218，所以c＞a＞b.故选（2）[2024广西柳州模拟]设函数y＝f（x），x∈R的导函数为f'（x），且f（x）为偶函数，f'（x）＞f（x），则不等式成立的是（B）A.f（0）＜e－1f（1）＜e2f（2）B.e3f（3）＜f（0）＜e－1f（1）C.e－1f（1）＜f（0）＜e2f（2）D.e2f（2）＜e3f（3）＜f（0）解析设g（x）＝f（x）ex，则g'（x）＝f'(x）－ff（x）为偶函数，则g（1）＝f（1）e＝e－1f（1），g（0）＝f（0）e0＝f（0），g（－2）＝f（－2）e－2＝e2f（2），g（－3）＝f（－3）e－3＝eg（－2）＜g（0）＜g（1），即e3f（3）＜e2f（2）＜f（0）＜e－1f（1）.故选B.（3）[2024山东潍坊4月二模]已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'（x）sinx－f（x）cosx＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（π6）sinx的解集为（0，π6解析