2024八年级数学下册第6章反比例函数单元基错含解析新版浙教版

Page1Page1第6章反比例函数（单元基础卷）（满分100分，完卷时间90分钟）考生留意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必需在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、细致选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项。留意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）1．关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的是（）A．必经过点（1，1） B．两个分支分布在其次、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．两个分支关于原点成中心对称【分析】把（1，1）代入得到左边≠右边；k＝4＞0，图象在第一、三象限；依据轴对称的定义沿X轴对折不重合；依据中心对称的定义得到两曲线关于原点对称；依据以上结论推断即可．【解答】解：A、把（1，1）代入得：左边≠右边，故A选项错误；B、k＝4＞0，图象在第一、三象限，故B选项错误；C、沿x轴对折不重合，故C选项错误；D、两曲线关于原点对称，故D选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形等学问点的理解和驾驭，能依据反比例函数的性质进行推断是解此题的关键．2．点A（a，b），B（a﹣1，c）在反比例函数y＝的图象上，且a＞1，则b与c的大小关系为（）A．b＜c B．b＝c C．b＞c D．不能确定【分析】由k＝1＞0，利用反比例函数的性质可得出：当x＞0时，y值x值的增大而减小，由a＞1可得出a＞a﹣1＞0，进而可得出b＜c．【解答】解：∵k＝1＞0，∴当x＞0时，y值x值的增大而减小．又∵a＞1，∴a＞a﹣1＞0，∴b＜c．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，牢记“当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小”是解题的关键．3．下列四个选项中，属于反比例函数的是（）A．y＝3x B．y＝﹣x+3 C．xy＝12 D．y＝kx﹣1【分析】推断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后依据反比例函数的意义去推断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．【解答】解：A．y＝3x是正比例函数，不符合题意；B．y＝﹣x+3是一次函数，不符合题意；C．xy＝12是反比例函数，符合题意；D．y＝kx﹣1不愿定是反比例函数，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查反比例函数的定义，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．4．已知反比例函数的图象经过点（1，3），则这个反比例函数的表达式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣【分析】只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式．【解答】解：设该反比例函数的解析式为：y＝（k≠0）．把（1，3）代入，得3＝，解得k＝3．则该函数解析式为：y＝．故选：B．【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】分别依据a＞0和a＜0探讨直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．【解答】解：当a＞0时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故C错误，B正确；当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过其次、四象限，故A、D错误；故选：B．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象与性质，娴熟驾驭依据待定系数推断图象在坐标系中的位置是解题的关键．6．如图，过点C（1，0）作两条直线，分别交函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＜0）的图象于点A，点B，连接AB．若AB∥x轴，则△ABC的面积是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】连接OA、OB，依据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOD＝＝2，S△BOD＝×|﹣2|＝1，即可求得S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝2+1＝3，依据同底等高的三角形面积相等，得出S△AOB＝S△ABC，即可求得△ABC的面积．【解答】解：连接OA、OB，∵AB∥x轴，C（1，0），∴S△AOB＝S△ABC，∵S△AOD＝＝2，S△BOD＝×|﹣2|＝1，∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝2+1＝3，∴S△ABC＝3，故选：B．【点评】本题考查反比例函数中比例系数k的几何意义，关键是驾驭y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（）A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2【分析】先依据反比例函数的解析式推断出函数图象所在的象限，再依据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2＜0＜x3，∴（x1，y1），（x2，y2）两点在第三象限，点（x3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0＜y3．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标确定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8．已知△ABC为直角三角形，且∠A＝30°，若△ABC的三个顶点均在双曲线y＝（k＞0）上，斜边AB经过坐标原点，且B点的纵坐标比横坐标少3个单位长度，C点的纵坐标与B点横坐标相等，则k＝（）A．4 B． C． D．5【分析】连接OC．证明BC＝OB＝OC，利用轴对称的性质和勾股定理解决问题即可．【解答】解：连接OC．∵反比例函数y＝（k＞0）图象是中心对称图形，∴OB＝OA，∵△ABC为直角三角形，且∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴OC＝OB＝BC，∵反比例函数关于直线y＝x对称，OC＝OB，∴B、C关于直线y＝x对称，∴点C的纵坐标与点B的横坐标相同，∴B（a，b），则C（b，a），∵BC＝OB，∴2（a﹣b）2＝a2+b2，整理得2ab＝（a﹣b）2，∵B点的纵坐标比横坐标少3个单位长，∴a﹣b＝3，∴ab＝，∵点B在双曲线y＝（k＞0）上，∴k＝ab＝．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的性质，含30°角的直角三角形的性质、中心对称轴对称的性质以及勾股定理的应用等学问，解题的关键是学会利用中心对称的性质，轴对称的性质解决问题，属于中考压轴题．9．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＞﹣1 C．k≤1 D．k＜1【分析】依据当x＞0时，y随x的增大而减小得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝中，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴k﹣1＜0，解得k＜1．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．10．如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数y＝的图象交于E、F两点，若△DEF的面积为，则k的值是（）A．1 B．7 C．1或7 D．不能确定【分析】利用对称性可设出E、F的两点坐标，表示出△DEF的面积，可求出k的值．【解答】解：设AF＝a（a＜2），则F（a，2），E（2，a），∴FD＝DE＝2﹣a，∴S△DEF＝DF•DE＝（2﹣a）2＝，解得a＝或（不合题意，舍去），∴k＝1，故选：A．【点评】本题主要考查反比例函数与正方形和三角形面积的运用，表示出E和F的坐标是关键．二、细致填一填（本题有8个小题，每小题2分，共16分。留意细致看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．若函数y＝xm﹣2是y关于x的反比例函数，则m的值为1．【分析】依据反比例函数的定义得出m﹣2＝﹣1，再求出m即可．【解答】解：∵函数y＝xm﹣2是y关于x的反比例函数，∴m﹣2＝﹣1，解得：m＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，留意：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数．12．已知反比例函数y＝的图象经过二、四象限．（1）点P（﹣k，k）在第四象限；（2）若点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5）是反比例函数y＝图象上两点，则a，b，c的大小关系是b＞c＞a（用符号“＞”连接）．【分析】（1）依据反比例函数的图象经过二、四象限可知k＜0，再依据反比例函数的性质进行推断即可；（2）依据反比例函数的图象在二四象限可得点A、B在其次象限，再依据反比例函数的性质可得a﹣b与a﹣c的大小，即可求解．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过二、四象限，∴k＜0，∴﹣k＞0，∴点P（﹣k，k）在第四象限，故答案为：四；（2）∵k＜0，点A（a﹣b，3），B（a﹣c，5），∴反比例函数，y随x的增大而增大，点A、B在其次象限，∴a﹣b＜0，a﹣c＜0，a﹣b＜a﹣c，∴a＜b，a＜c，b＞c，∴b＞c＞a，故答案为：b＞c＞a．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，依据反比例函数的图象推断出k的取值范围是解答此题的关键．13．如图，直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限交于点P，若OP＝，则k的值为4．【分析】依据直线y＝x确定出△POA是等腰直角三角形即可求出P的坐标．【解答】解：作PA⊥x轴于A，∵直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限交于点P，∴∠POA＝45°，∵OP＝，∴OA＝PA＝2，∴P（2，2），∴k＝2×2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标的特征和待定系数法求函数解析式，属于基础题．14．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间t（分）与骑车速度v（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是0.2千米/分．【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而代入数据得出答案．【解答】解：设t＝，当v＝0.15时，t＝20，解得：k＝0.15×20＝3，故t与v的函数表达式为：t＝，∵为了不迟到，需不超过15分钟赶到学校，∴≤15，解得：v≥0.2，∴他骑车的速度至少是0.2千米/分．故答案为：0.2．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．15．如图，已知点A在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC＝2，则k的值为﹣4．【分析】依据反比例函数系数k的几何意义求出三角形OAC的面积即可．【解答】解：连接OA，∵AC⊥y轴，∴AC∥x轴，∴S△AOC＝S△ABC＝2＝|k|，又∵k＜0，∴k＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键．16．如图，矩形OACB的顶点C在反比例函数y＝（x＞0，k1＞0）的图象上，交反比例函数y＝（x＞0，k2＞0）图象于点D、E，EF⊥AO于点F，连接DF，若CB＝3CE，S四边形DCEF＝2，则k1＝9．【分析】设CE＝m，则CB＝3CE＝3m，BE＝2m，EF＝CA＝n，则E（2m，n），C（3m，n），D（3m，），得出CD＝n﹣＝，再依据S四边形DCEF＝2，推出mn＝3，进而求出k1的值．【解答】解：∵CB＝3CE，∴设CE＝m，则CB＝3CE＝3m，BE＝2m，EF＝CA＝n，则E（2m，n），C（3m，n），D（3m，），∴CD＝n﹣＝，∵S四边形DCEF＝2，∴（CD+EF）•CE＝2，∴（+n）•m＝2，∴mn＝3，∴k1＝3mn＝3×3＝9．故答案为9．【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确表示E、C、D的坐标是解题的关键．17．如图，点A，B是双曲线y＝上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S阴影＝2，则S1+S2＝2．【分析】先依据反比例函数系数k的几何意义求出S1+S阴影及S2+S阴影的值，进而可得出S1+S2的值．【解答】解：∵点A，B是双曲线y＝上的点，∴S1+S阴影＝S2+S阴影＝3，∴S1+S2＝6﹣2S阴影＝6﹣4＝2．故答案为2．【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数y＝（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|是解答此题的关键．18．如图所示，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，已知点B的坐标为（2m，﹣m），当x＜2m时，y2的取值范围为y2＜﹣2或y2＞0．【分析】把B点坐标代入一次函数y1＝﹣x+2中便可求得m的值，即可求得的B点坐标，然后依据函数图象当x＜2m时，确定y2＜﹣m和y2＞0．【解答】解：将（2m，﹣m）代入y＝﹣x+2得，﹣m＝﹣2m+2，解得，m＝2．∴点B为（4，﹣2）．当x＜2m时，即x＜4，当0＜x＜4时，y2＜﹣2，当x＜0时，y2＞0，故y2的取值范围是：y2＜﹣2或y2＞0，故答案为y2＜﹣2或y2＞0．【点评】本题主要是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用函数图象求不等式的解集．数形结合是解题的关键．三、全面答一答（本题有6个小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。假如觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）19．如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，点A的坐标为（，3），点C在x轴上，且使△AOC是等边三角形，BC∥OA．（1）求反比例函数的解析式和OC的长；（2）求点B的坐标；（3）求直线BC的函数解析式．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求得m的值；结合等边三角形的性质和勾股定理来求OC的长度；（2）过点B作BE⊥x轴于点E，设CE＝a，则，，把点B的坐标代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值，易得点B的坐标；（3）设直线BC为y＝kx+b，则B、C两点的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得系数的值．【解答】解：（1）点A（，3）在反比例函数的图象上，∴，，∴，．（2）过点B作BE⊥x轴于点E，设CE＝a，则，，∵点B在上，∴，即，解得，∵a＞0，∴，，，∴B的坐标为（，）；（3）设直线BC为y＝kx+b，则，两式相减得，，，∴，∴所求的直线解析式是．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数解析式以及正三角形的性质．解题时，留意函数图象上点的坐标的特征的应用．20．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣3，2），B两点，且OA＝OB．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）将一次函数向上平移，平移后与反比例函数的图象交于C，D两点，若S△AOB＝S△COD，请干脆写出平移后的一次函数解析式．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设直线AB交y轴于C，则M（0，﹣1），依据S△AOB＝S△OMA+S△OMB求解即可；（3）依据题意直线CD∥AB，且与y轴的交点N为（0，1），据此即可求得直线CD的解析式．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，2），∴m＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数为y＝﹣，由题意可知B（2，﹣3），把A，B的坐标代入y＝kx+b，得，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣1，（2）把x＝0代入y＝﹣x﹣1得，y＝﹣1，∴一次函数的图象＝﹣x﹣1与y轴的交点C为（0，﹣1）∴S△AOB＝S△OMA+S△OMB＝×1×3+×1×2＝；（3）由题意可知，直线CD∥AB，且与y轴的交点N为（0，1），∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．娴熟驾驭反比例函数的性质是解题的关键．21．如图，直线y＝ax﹣4（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）只有一个公共点A（1，﹣2）．（1）求k与a的值；（2）在（1）的条件下，假如直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）有两个公共点，干脆写出b的取值范围．【分析】（1）把点A的坐标分别代入直线y＝ax﹣4与双曲线y＝，求出k和a的值即可；（2）将直线y＝ax+b代入y＝，整理得出关于x的一元二次方程，依据根的判别式Δ＞0即可得出结果．【解答】解：（1）∵直线y＝ax﹣4与双曲线y＝只有一个公共点A（1，﹣2），∴，解得：，故k＝﹣2，a＝2；（2）若直线y＝2x+b（a≠0）与双曲线y＝﹣有两个公共点，则方程组有两个不同的解，即2x+b＝﹣有两个不相等的解，整理得：2x2+bx+2＝0，△＝b2﹣16＞0，解得：b＜﹣4，或b＞4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线有两个公共点时，Δ＞0是解决问题（2）的关键．22．我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温起先下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．（1）a＝8，b＝40．（2）干脆写出图中y关于x的函数表达式．（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）由（1）中的计算可干脆得出；（3）分别求出函数值为50时的两个时间，求时间差即可解决问题；（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，算出从开机到第一节课下课的时间差，并利用循环求出对应时间的水温即可．【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从20℃到100℃须要8分钟，设一次函数关系式为：y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20．∴y＝10x+20（0≤x≤8），设反比例函数关系式为：y＝，将（8，100）代入，得k＝800，∴y＝，当y＝20时，代入关系式可得x＝40；故答案为：8；40．（2）由（1）中计算可得，y＝．（3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中，令y＝50，解得x＝3；反比例函数y＝中，令y＝50，解得：x＝16，∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，上午七点到下午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，∴＝40（℃），∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是娴熟驾驭待定系数法确定函数解析式，灵敏运用所学学问解决问题，属于中考常考题型．23．如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A（a，4）和D分别在反比例函数y＝﹣和y＝（m＞0）的图象上．（1）当AB＝BC时，求m的值；（2）连接OA，OD．当OD平分∠AOC时，求△AOD的周长．【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标及OB的长，由矩形的性质结合AB＝BC，可得出CD，OC的长，进而可得出点D的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值；（2）在Rt△ABO中，利用勾股定理可求出OA的长，由角平分线的定义结合平行线的性质可得出∠ADO＝∠AOD，进而可得出DA＝OA＝5，结合OC＝DA﹣OB可求出OC的长，在Rt△OCD中，利用勾股定理可求出OD的长，再利用三角形的周长公式可求出△AOD的周长．【解答】解：（1）当y＝4时，﹣＝4，解得：a＝﹣3，∴OB＝3，点A的坐标为（﹣3，4）．∵四边形ABCD为矩形，AB＝BC，∴AB＝BC＝CD＝4，∴OC＝BC﹣OB＝1，∴点D的坐标为（1，4）．∵点D（1，4）在反比例函数y＝（m＞0）的图象上，∴m＝1×4＝4．（2）在Rt△ABO中，AB＝4，OB＝3，∴OA＝＝5．∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC．∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠DOC，∴∠ADO＝∠AOD，∴DA＝OA＝5，∴OC＝DA﹣OB＝2．在Rt△OCD中，OC＝2，CD＝4，∴OD＝＝2，∴△AOD的周长＝OD+DA+AO＝10+2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用矩形的性质，找出点D的坐标；（2）利用勾股定理及等腰三角形的性质，求出OA，DA，OD的长．24．如图，菱形OABC的边OC在x轴正半轴上，点B的坐标为（8，4）．（1）请求出菱形的边长；（2）若反比例函数y＝经过菱形对角线的交点D，且与边BC交于点E，请求出点E的坐标．【分析】（1）过B作BM⊥x轴于点M，依据B的坐标求出BM＝4，在Rt△BCM中，依据勾股定理得出方程，求出方程的解即可；（2）求出反比例函数解析式，求出直线BC，求出直线BC和反比例函数的交点坐标，即可得出答案．【解答】解：（1）如图，BM⊥x轴于点M，∵点B的坐标为（8，4），OC＝BC，∴CM＝8﹣BC，在Rt△BCM中，BC2＝CM2+BM2，即BC2＝（8﹣BC）2+42，解得，BC＝5，即菱形的边长为5；（2）∵D是OB的中点，∴点D的坐标为：（4，2），∵点D在反比例函数y＝上，∴k＝xy＝4×2＝8，y＝，又∵OC＝5，∴C（5，0），∴可求直线BC为y＝x﹣，令x﹣＝，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），当x＝6时，y＝＝，∴点E的坐标为（6，）．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，菱形的性质，勾股定理等学问点，能根求出两函数的解析式和得出关于OC的方程是解此题的关键．25．如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2OC＝4，反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过点B．（1