2024年高中数学专题4-7重难点题型培优精讲对数函数教师版新人教A版必修第一册

专题4.7对数函数1．对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y=(a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+).(2)推断一个函数是对数函数的依据：

①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).

​​​​​​​例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.2．对数函数的图象与性质对数函数y=(a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示：3．底数a对对数函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系确定了对数函数图象的“升降”.

当a>1时，对数函数的图象“上升”;

当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.

(2)函数y=与y=(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称.

(3)底数的大小确定了图象相对位置的凹凸：

无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数慢慢变大.

①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴;

②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.4．反函数比较幂值大小的方法：【题型1对数（型）函数的定义域与值域】【方法点拨】依据对数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】（2024·广东·高一阶段练习）函数y＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是（

A．[0,53) B．[1,5【解题思路】依据对数函数、根式的性质列不等式求函数定义域.【解答过程】由题设，{x>0lg所以函数定义域为[1,5故选：B.【变式1-1】（2024·浙江·高二学业考试）函数fx=logA．-∞,0 B．2,+∞ C．【解题思路】依据对数的真数大于零，得到一元二次不等式，即可求解.【解答过程】解：由题可知x2-2x>0，即x故函数fx=log故选：D.【变式1-2】（2024·山西运城·高二期末）已知函数fx=lgx2A．0,+∞ B．0,1 C．lg2,1【解题思路】首先求出x2【解答过程】因为x∈-1,3，所以x故选：D.【变式1-3】（2024·全国·高三专题练习）函数y=ln(A．R B．(1,+∞) C．[1,+【解题思路】由y=lnx的值域为R可得y【解答过程】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y则y=ln(故选：A.【题型2对数式的大小比较】【方法点拨】比较对数值的大小，主要依据对数函数的单调性，同底时可干脆利用相应的对数函数比较大小；不同底时，可借助中间量进行比较.【例2】（2024·黑龙江·高三开学考试）已知a=log32，b=log52，c=A．a<b<c B．b【解题思路】依据对数恒等式，运算法则以及对数函数的单调性即可推断．【解答过程】因为c=3a-1=13×3log3故选：B．【变式2-1】（2024·陕西·高三阶段练习（文））已知a=40.1，b=logA．a>c>b B．a【解题思路】依据指数函数、对数函数的单调性分别求出a，b，c的取值范围，即可求解.【解答过程】因为a=0=logc=所以a>故选：B.【变式2-2】（2024·河南·高三阶段练习（理））若a=0.50.3，b=logA．a>bC．b>a【解题思路】依据指数函数、对数函数的性质推断即可.【解答过程】因为0<a=0.50.3<所以b<故选：D.【变式2-3】（2024·贵州·高三阶段练习（理））设a=log53，b=log0.30.2，c=A．a<cC．b<c【解题思路】依据指对数的性质推断大小关系即可.【解答过程】由b=所以c<故选：D.【题型3解对数不等式】【方法点拨】对数不等式的三种考查类型：(1)形如m>n的不等式，借助y=x的单调性求解.(2)形如m>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b=)，再借助y=x的单调性求解.(3)形如>(f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.【例3】（2024·全国·高一课时练习）已知函数f(x)=log4(xA．72,4【解题思路】依据f（3）=0，可得方程f(3)=log4(3-【解答过程】由题意得，f(3)=log4所以fx=log因为f(2x-即log4(2x-7)故不等式f(2x-故选：A.【变式3-1】（2024·云南楚雄·高二期末）已知函数fx的图象与gx=log14xA．0,+∞ B．0,1 C．0,1【解题思路】由fx与gx关于x轴对称得到fx【解答过程】已知函数fx的图象与gx=所以fx又fx=log所以0<3x<2x故选：B.【变式3-2】（2024·四川自贡·高一期末）已知fx是定义在R上的奇函数，在区间0,+∞上为增函数，则不等式flogA．-∞,1 B．1,+∞ C．【解题思路】由奇函数知f(0)=0，再结合单调性及flog1【解答过程】由题意知：f(0)=0，又fx在区间0,+∞上为增函数，当x当x<0时，f(x)<0，由flog故选：C.【变式3-3】（2024·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0]上单调递增，且A．0,1100 B．1100,+【解题思路】利用函数为奇函数，将不等式转化为f(【解答过程】因为函数f(所以f(-x)=-所以不等式f(lgx即f(又因为f(x)所以f(所以lgx解得x>100故选：D.【题型4对数函数的图象及应用】【方法点拨】①对数函数图象的识别：对于所给函数解析式，探讨函数的单调性、特殊值等，利用解除法，得出正确的函数图象.②对数函数图象的应用：对于与对数函数、对数型函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而利用对数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】（2024·广东·高三阶段练习）函数y=lg(x+1)A． B．C． D．【解题思路】由函数y=lgx的图象与x轴的交点是(1,0)结合函数的平移变换得函数y=lg【解答过程】由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0)，即函数y故选：A.【变式4-1】（2024·浙江·高一期中）函数y=lg|A． B．C． D．【解题思路】求解函数的零点，依据解除法推断即可【解答过程】求lg|x+1|=0可得x+1=1或x+1=故选：A.【变式4-2】（2024·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数y=logax，y=logbx，y=logcx，A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【解题思路】依据对数函数的图象性质即可求解.【解答过程】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点0，1作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，明显b>a>1>故选：C．【变式4-3】（2024·全国·高一课时练习）已知函数fx=logax-b（a>0且A．a>0，b<-1C．0<a<1，b<-【解题思路】依据函数图象及对数函数的性质可求解.【解答过程】因为函数fx=又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=1+b又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以-故选：D.【题型5对数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助对数函数的图象和性质来探讨对数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2024·陕西·高三阶段练习（文））已知函数fx=logax+2(1)当a=2时，求f(2)是否存在实数a，使得fx在-1,3【解题思路】（1）先求出函数的定义域，再利用换元法求解函数的单调区间，（2）令t=-x2-x+2，则由-1≤x≤【解答过程】（1）由题意可得x+2>0,1-x>0,解得-2<x当a=2时，f令t=-x2-对称轴为x=则函数t=-x2-因为y=所以fx在-2,-（2）fx令t=因为-1所以t=-x+当0<a<1时，fx在-则loga1116=2，即当a>1时，fx在-1,则loga94=2，即综上，a的值为114或3【变式5-1】（2024·甘肃·高三阶段练习（文））已知函数fx(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【解题思路】（1）令3-（2）依据复合函数单调性的推断方法可确定fx的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得μ【解答过程】（1）由3-2x-x2>0（2）令μ=-x2-2x又fμ=log∴fx的单调递增区间为-1,1∵μ≤-∴fx的值域为【变式5-2】（2024·海南·高一期末）已知函数fx(1)求fx(2)设函数gx=log4m+2x+4，若不等式【解题思路】（1）首先确定fx的定义域，将其整理为f（2）依据对数函数单调性可将恒成立不等式转化为x2+mx+1≥【解答过程】(1)由x+1>03-x>0得：-1<xfx令tx=-x-12又y=由复合函数单调性可知：fx的单调递增区间为-1,1，单调递减区间为由单调性可知：fx(2)∵fx≤gx即-x2+2x+3∴m令hx=-x+1x，则∴hxmax=h1=【变式5-3】（2024·江苏·高三开学考试）已知函数f((1)若m=1，求函数f(2)若函数f(x)(3)若函数f(x)在区间-∞【解题思路】（1）由对数的性质有x2（2）由题设(0,+∞)是y=x2（3）首先依据二次函数、对数函数的性质推断复合函数的单调区间，再由已知区间的单调性有m2≥1【解答过程】（1）由题设，x2-x-1>0所以函数定义域为(-（2）由函数f(x)的值域为R，则(0,+所以Δ=m2（3）由t=x2-mx-m所以f(x)在(又f(x)在(-∞【题型6对数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题动身，建立对数（型）函数模型，借助对数函数的图象和性质进行解题，留意要满足实际条件.【例6】（2024·全国·高一专题练习）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，探讨中发觉V与log3Q100成正比，且当Q＝900时，V（1）求出V关于Q的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量的单位数．【解题思路】（1）依据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.【解答过程】解：（1）设V＝k·log3Q100∵当Q＝900时，V＝1，∴1＝k·log3900100∴k＝12，∴V关于Q的函数解析式为V（2）令V＝1.5，则1.5=12log即一条鲑鱼的游速是1.5m/s时耗氧量为2700个单位．【变式6-1】（2024·全国·高一课时练习）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的志向状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m参考数据：ln230≈5.4(1)当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T【解题思路】（1）运用代入法干脆求解即可；（2）依据题意列出不等式，结合对数的运算性质和已知题中所给的参考数据进行求解即可.【解答过程】(1)当总质比为230时，v=2000即A型火箭的最大速度为10800m(2)A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，所以A型火箭的喷流相对速度为2000×1.5=3000m由题意得：3000⇒ln因为1.648<e0.5<1.649即44.496<T<44.523，所以不小于【变式6-2】（2024·全国·高二课时练习）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发觉候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100-lgx(1)若x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位.(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍.【解题思路】（1）将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x【解答过程】（1）将x0=5，v=0代入函数v因为lg5≈0.70，所以log3x答：候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为466个单位.（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x1.3=1两式相减可得：12=12log答：此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.【变式6-3】（2024·全国·高一课时练习）学校激励学生课余时间主动参加体育熬炼，每天能用于熬炼的课余时间有90分钟，现须要制定一个课余熬炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天熬炼时间x（单位：分）的函数关系，要求及图示如下：（1）函数是区间[0,90]上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有三个函数模型①y=②y=k⋅1.2(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再依据所给信息求出函数的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少须要熬炼多少分钟.（注：2≈【解题思路】（1）依据图像和函数性质