苏教版八年级数学暑假第09讲勾股定理逆定理及简单应用练习(学生版+解析)

第09讲勾股定理逆定理及简单应用【学习目标】1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【基础知识】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【考点剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小题）1．（真题•邗江区期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定2．（真题•镇江期末）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm3．（真题•沛县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．4．（真题•惠山区校级期末）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、65．（2022春•姜堰区期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画个直角三角形．6．（2022春•泗阳县期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周长大cm．7．（2022春•高港区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面积．二．勾股数（共3小题）8．（真题•溧阳市期末）在下列各数中，不是勾股数的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，419．（真题•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；10．（2022春•清江浦区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．三．勾股定理的应用（共6小题）11．（真题•沛县期末）如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动m．12．（真题•句容市期末）有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm13．（2022春•启东市期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．14．（真题•苏州期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．15．（2022春•东湖区期中）如图，货船和快艇分别从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．16．（真题•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（真题•梁溪区校级期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，132．（2022春•启东市校级月考）下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，13．（真题•锡山区期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m4．（真题•溧阳市期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米5．（真题•赣榆区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.556．（真题•六合区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺二．填空题（共9小题）7．（真题•仪征市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是．8．（真题•无锡期末）若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为．9．（真题•惠山区校级期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为尺．10．（真题•海门市期末）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）11．（真题•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．12．（真题•溧阳市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝．13．（真题•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为时，此三角形为直角三角形．14．（真题•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．15．（真题•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为米．三．解答题（共9小题）16．（真题•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．17．（真题•朝阳区期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．18．（真题•淮安区期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．19．（真题•姜堰区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．20．（真题•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．21．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．22．（真题•仪征市期末）小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝30米，∠A＝60°，BC＝40米，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出四边形ABCD的周长．你同意小明的说法吗？若同意，请求出四边形ABCD的周长；若不同意，请说明理由．23．（真题•阜宁县期末）阜宁市民广场要对如图所示的一块空地进行草坪绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，绿化草坪价格150元/米2．求这块地草坪绿化的价钱．24．（真题•高邮市期末）图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．（1）两轮中心AB之间的距离为dm；（2）若OF的长度为dm，支点F到底部DO的距离为5dm，试求∠FOD的度数．第09讲勾股定理逆定理及简单应用【学习目标】1.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.【基础知识】一．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．二．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…三．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【考点剖析】一．勾股定理的逆定理（共7小题）1．（真题•邗江区期末）在△ABC中，若AC2﹣BC2＝AB2，则（）A．∠A＝90° B．∠B＝90° C．∠C＝90° D．不能确定【分析】由勾股逆定理即可得到答案．【解答】解：∵AC2﹣BC2＝AB2，∴AC2＝BC2+AB2，∴∠B＝90°．故选：B．【点评】本题主要考查了勾股逆定理，解决本题的关键是熟悉三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．（真题•镇江期末）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm C．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．（真题•沛县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．【分析】先根据勾股定理求出AC2，BC2以及AB2的值，再根据勾股定理的逆定理得出结论即可．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：由题可得，AC2＝22+42＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．（真题•惠山区校级期末）以下列各组数为边长的三角形中，不能构成直角三角形的一组是（）A．6、8、10 B．5、12、13 C．8、15、17 D．4、5、6【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，故此选项不符合题意；B、52+122＝132，故是直角三角形，故此选项不符合题意；C、82+152＝172，故是直角三角形，故此选项不符合题意；D、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5．（2022春•姜堰区期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，共可以画3个直角三角形．【分析】根据题意画出图形，再找到其中的直角三角形即可得到结论．【解答】解：如图，一共可以画9个三角形，其中△ABE，△BCE，△CDE是直角三角形，共可以画3个直角三角形．故答案为：3．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况．6．（2022春•泗阳县期中）如图，△ABC中，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，AD是△ABC的中线，则△ABD的周长比△ACD的周长大2cm．【分析】根据中线的定义可得BD＝CD，然后求出△ABD的周长与△ACD的周长的差为AB﹣AC，从而得解．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝AB﹣AC，∵AB＝8cm，AC＝6cm，∴△ABD的周长﹣△ACD的周长＝8﹣6＝2（cm）．故△ABD的周长比△ACD的周长大2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了三角形的中线，求出两个三角形的周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．7．（2022春•高港区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝BC＝5，CD＝7，AD＝1．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求△ABD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解；（2）过D点作DE⊥BC于E，根据勾股定理和三角形面积公式即可求得△ABD的面积．【解答】（1）证明：连接AC，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵AB＝BC＝5，∴AC2＝AB2+BC2＝52+52＝25+25＝50，∵CD＝7，AD＝1，∴CD2+AD2＝72+12＝49+1＝50，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，即∠ADC＝90°；（2）解：过D点作DE⊥BC于E，设BE＝x，则CE＝5﹣x，DE，则AB•BCAD•CDAB•BEBC•DE，即5×51×75x5，解得x1，x2（不合题意舍去），则△ABD的面积为52．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．二．勾股数（共3小题）8．（真题•溧阳市期末）在下列各数中，不是勾股数的是（）A．5，12，13 B．8，12，15 C．8，15，17 D．9，40，41【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A．52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；B．82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；C．82+152＝172，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；D．92+402＝412，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．9．（真题•靖江市期中）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、60、61；【分析】分析所给四组的勾股数：第一个数n是连续的奇数，第二个数为，第三个数比第二个数大1，由此可得答案．【解答】解：第一组：3，4，5＝4+1；第二组：5，12，13＝12+1；•••，最后一组为：11，60，61．故答案为：11，60，61．【点评】本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及关系式进行猜想、计算即可．10．（2022春•清江浦区校级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m2334…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b461224…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．【分析】（1）计算出a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判断即可；（2）根据给出的数据总结即可；（3）分别计算出a2、b2、c2，根据勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，a＝5、b＝4、c＝3，∵32+42＝52，∴a、b、c的值能为直角三角形三边的长；（2）观察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2；故答案为：m2+n2，2mn，m2﹣n2；（3）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．三．勾股定理的应用（共6小题）11．（真题•沛县期末）如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上滑动2m，则梯子底端B向左滑动2m．【分析】根据题意画出图形，根据题意两次运用勾股定理即可解答．【解答】解：如图所示：由题意可得，AC＝6m，AB＝10m，则BC8（m），A′C＝6+2＝8（m），A′B′＝10m，故B′C6（m），则梯子底端B向左滑动：BC﹣B′C′＝8﹣6＝2（m）．故答案为：2．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．12．（真题•句容市期末）有5cm，13cm两根木条，现想找一根木条组成直角三角形，则下列木条长度适合的是（）A．8cm B．12cm C．18cm D．20cm【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵52+132，132﹣52＝122，∴木条长度适合的是12cm，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．（2022春•启东市期中）如图是一块四边形绿地的示意图，其中AB＝24，BC＝15，CD＝20，DA＝7，∠C＝90°．求此绿地ABCD的面积．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再由勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，则四边形ABCD的面积＝直角△BCD的面积+直角△ABD的面积．【解答】解：连接BD．如图所示：∵∠C＝90°，BC＝15cm，CD＝20cm，∴BD25（cm）；在△ABD中，∵BD＝25cm，AB＝24cm，DA＝7cm，∴242+72＝252，即AB2+AD2＝BD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCDAB•ADBC•CD24×715×20＝84+150＝234（cm2）；即绿地ABCD的面积为234cm2．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，正确分割四边形ABCD的面积是解题关键．14．（真题•苏州期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．【分析】设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，在在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得x＝2.5故滑道AC的长度为2.5m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．15．（2022春•东湖区期中）如图，货船和快艇分别从码头A同时出发．其中，货船沿着北偏西54°方向以15海里/小时的速度匀速航行，快艇沿着北偏东36°方向以36海里/小时的速度航行．1小时后，两船分别到达B、C点，求B、C两点之间的距离．【分析】根据方向角得出∠BAC的度数，再利用勾股定理得出BC的长．【解答】解：由题意可得：∠BAC＝54°+36°＝90°，AB＝15海里，AC＝36海里，则BC39（海里），答：B、C两点之间的距离为39海里．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出AB，AC的长是解题关键．16．（真题•新吴区期末）如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，ACAB＝8cm，CD＝6cm；根据勾股定理，得：AD10（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；故橡皮筋被拉长了4cm．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（真题•梁溪区校级期末）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）A．1，3，4 B．，，2 C．，， D．5，12，13【分析】根据勾股定理的逆定理是解决本题的关键．【解答】解：A．根据勾股定理的逆定理，12+32＝10≠42，那么以1、3和4为边长的线段不能构成直角三角形，故A不符合题意．B．根据勾股定理的逆定理，，那么以、和2为边长的线段不能构成直角三角形，故B不符合题意．C．根据勾股定理的逆定理，，那么以、和为边长的线段不能构成直角三角形，故C不符合题意．D．根据勾股定理的逆定理，52+122＝169＝132，那么以5、12和13为边长的线段能构成直角三角形，故D符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．2．（2022春•启东市校级月考）下列各组数不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．0.6，0.8，1【分析】根据勾股数的定义求解即可．【解答】解：A．∵32+42＝52，且3，4，5是正整数，∴3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；B．∵52+122＝132，且5，12，13是正整数，∴5，12，13是勾股数，此选项不符合题意；C．∵72+242＝252，且7，24，25是正整数，∴7，24，25是勾股数，此选项不符合题意；D．∵0.62+0.82＝12，但0.6，0.8，1不是整数，∴0.6，0.8，1不是勾股数，此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，例如：0.6，0.8，1满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…3．（真题•锡山区期末）如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB（m），∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′（m），∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故选：B．【点评】此题考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．4．（真题•溧阳市期中）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端7米，消防车的云梯最大升长为25米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A．16米 B．20米 C．24米 D．25米【分析】由题意可知消防车的云梯长、地面、建筑物高构成一直角三角形，斜边为消防车的云梯长，根据勾股定理就可求出高度．【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，AB＝25米，BC＝7米，由勾股定理可得，AC24（米）．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确将实际问题转化为勾股定理是解决问题的关键．5．（真题•赣榆区期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．6．（真题•六合区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为14尺，则B'C＝7尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可．【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2∴72+（x﹣1）2＝x2，解得x＝25，∴这根芦苇长25尺，∴水的深度是25﹣1＝24（尺），故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．二．填空题（共9小题）7．（真题•仪征市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是6．【分析】先作辅助线DE⊥AB，然后根据角平分线的性质即可得到DE＝DC，再根据三角形的面积公式即可计算出△ABD的面积．【解答】解：作DE⊥AB于点E，如图所示，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝DC，∵CD＝2，∴DE＝2，∵AB＝6，∴S△ABD6，故答案为：6．【点评】本题考查角平分线的性质、直角三角形，三角形的面积，解答本题的关键是作出合适的辅助线，求出DE的长．8．（真题•无锡期末）若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的中线为5．【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质进行计算即可．【解答】解：∵62+82＝100，102＝100，∴62+82＝102，∴这个三角形是直角三角形，∴最长边上的中线长为10＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．9．（真题•惠山区校级期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（BC＝8）处时而绳索用尽．则木柱长为尺．【分析】设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【解答】解：设木柱长为x尺，根据题意得：AB2+BC2＝AC2，则x2+82＝（x+3）2，解得：x，答：木柱长为尺．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．（真题•海门市期末）一根竹子高一丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则折断处离地面的高度是4.55尺．（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．）【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：1丈＝10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2解得：x＝4.55．答：折断处离地面的高度为4.55尺．故答案为：4.55．【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．11．（真题•泗县期末）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高7.5米．【分析】首先设树的高度为x米，用x表示BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，再利用勾股定理就可求出树的高度．【解答】解：设树的高度为x米．∵两只猴子所经过的距离相等，BC+AC＝15，∴BD＝x﹣5，AD＝20﹣x，在Rt△ACD中根据勾股定理得，CD2+AC2＝AD2，x2+100＝（20﹣x）2，x＝7.5，故答案为：7.5．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用，设出未知数x，用x表示有关的线段是解题关键．12．（真题•溧阳市期末）已知△ABC中，AB＝5，BC＝8，BC边上的中线AD＝3，则AC＝5．【分析】根据中线定义可得BD＝4，再根据勾股定理逆定理可得∠ADB＝90°，然后根据勾股定理可得AC．【解答】解：∵AD为中线，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∵32+42＝52，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AC5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．13．（真题•靖江市期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为或5时，此三角形为直角三角形．【分析】由题意，需分类讨论，再根据勾股定理的逆定理解决此题．【解答】解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得x；②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．综上，x或5．故答案为：或5．【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及分类讨论的思想是解决本题的关键．14．（真题•朝阳区校级期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理和逆定理证明∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝12+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（真题•姜堰区期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为1.6米．【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米，在Rt△ADE中，AD＝1.5米米，由勾股定理得：AE0.9（米），∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），∴CD＝BE＝1.6米，故答案为：1.6．【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．三．解答题（共9小题）16．（真题•大丰区期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．【解答】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，∵杯子的直径为20cm，∴杯子半径为10cm，∴x2+102＝（x+2）2，即x2+100＝x2+4x+4，解得：x＝24，24+2＝26（cm）．答：小木棍长26cm．【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．17．（真题•朝阳区期末）如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC．经测得AB＝9cm，BC＝12cm，CD＝8cm，AD＝17cm．（1）求A、C两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．【分析】（1）由勾股定理可直接求得结论；（2）根据勾股定理逆定理证得∠ACD＝90°，由于四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．【解答】解：（1）连接AC，如图．在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm，∴AC15．即A、C两点之间的距离为15cm；（2）∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACDAB•BCAC•CD9×1215×8＝54+60＝114（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．18．（真题•淮安区期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河流的宽度AB．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．【解答】解：由题意知，AB⊥BC，AC＝75m．BC＝45m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB60（米）．答：该河流的宽度AB为60米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出勾股定理这一数学模型，准确画出示意图是解决问题的关键．19．（真题•姜堰区期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AC上一点，且CD＝6cm，BD＝8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）由BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．【解答】解：（1）∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BC2＝BD2+CD2．∴△BDC为直角三角形；（2）设AB＝xcm，∵等腰△ABC，∴AB＝AC＝x，∵AB2＝AD2+BD2，即x2＝（x﹣8）2+62，∴x，∴△ABC的周长＝2AB+BCcm）．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．20．（真题•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵DE⊥A