2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上8℃记作+8℃，则零下5℃可记作(

)A.5℃ B.0℃ C.−5℃ D.−10℃2.如图，AB/​/CD，AD⊥AC，若∠1=54°，则∠2的度数为(

)A.36°

B.46°

C.54°

D.126°3.下列计算正确的是(

)A.20=2 B.24.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是(

)A.

B.

C.

D.5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，S△ABD=5，则CE=A.5−1

B.3−1

C.6.若直线l1经过(0,4)，l2经过点(2,6)，且l1与l2关于y轴对称，则l1与A.(3,2) B.(2,3) C.(0,4) D.(4,0)7.如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC.若AB=8，CD=2，则CE的长为(

)A.8

B.213

C.38.若抛物线y=x2−2x+m−1(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是A.m>1 B.m≥1 C.1≤m<2 D.m≤2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.比较大小：3______10.(填“>”、“<”或“=”)10.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度.

11.如图，点P是▱ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/​/BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE=2，PF=8，∠ABC=60°，则图中阴影部分面积为______．12.如图，将腰长为4的等腰Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，斜边AB在y轴上，直角边BC的中点D在x轴正半轴上，则过点C的反比例函数的解析式为______．

13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=43，∠B=60°，∠D=120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为______．

三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。14.(本小题5分)

计算：3−27+|15.(本小题5分)

求满足不等式x+1≥6(x−1)−8的正整数解．16.(本小题5分)

解方程：x+1x−1−417.(本小题5分)

已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.请利用尺规作图的方法在边BC上取一点D，使得S△ABD=218.(本小题5分)

在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF．

求证：△ABC是等腰三角形．19.(本小题5分)

某公司今年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，问该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是多少．20.(本小题5分)

小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负．

(1)若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为______；

(2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．21.(本小题6分)

小清和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩依次统计如下(单位：环)：

成绩统计表编号123456789101112小清688978778987小华9626910486829分析数据如下：平均数中位数众数方差小清x8aS小华6.6b6或9S根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述表格中：a=______，b=______，请根据折线统计图判断小清和小华本次射击成绩方差的大小关系是S12______S22(填“>”“<”或“=”)；

(2)求小清成绩的平均数(结果保留一位小数)22.(本小题7分)

为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式.设某人一年内去动物园的次数为x，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示：

甲：按照次数收费，门票每人每次20元；

乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次按一定折扣优惠．

(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y关于x的函数表达式；

(2)洋洋准备利用暑假多次去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．23.(本小题7分)

为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．

(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；

(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)24.(本小题8分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF/​/BC，交AB的延长线于点F，连接BD．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若AC=4，AF=6，求BC的长．25.(本小题8分)

如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5m，OD=75m，AD=12m，AB=9m；

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；

(2)请判断石块能否飞越城墙AB，并说明理由．26.(本小题10分)

【问题提出】

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：

(1)如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为______；

【问题探究】

(2)如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=90°，AB=6，DE=3，EF在直线AC上运动时，求BE+BD的最小值；

【拓展应用】

(3)如图3，是某公园的示意图，AB、AC、BD是三处栅栏，CD是该公园附近的一条道路(宽度不计)，半圆AM及其内部是一个带舞台的广场.已知∠BAC=∠ABD=90°，CD所对的圆心角为120°，AC与CD所在的圆相切于点C，点E、G在AC上，点F、H在BD上，点M在AB上，矩形EFHG是一条河流在该公园内的一段(EF//AB)，其中半圆AM的直径为300m，AB=600m，AC=7003m，河岸EF离AB的距离为2003m，河宽EG为2003m，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥QS，使得PQ、QS与ST之和最短，求出此时EQ参考答案1.C

2.A

3.D

4.B

5.A

6.C

7.B

8.C

9.<

10.45

11.812.y=413.8314.解：3−27+|12−4|−2cos30°

=−3+4−12−2×15.解：x+1≥6(x−1)−8，

∴x+1≥6x−6−8，

∴5x≤15，

∴x≤3，

∴满足不等式的正整数解为：1，2，3．

16.解：方程两边乘以(x+1)(x−1)得：(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，

解这个方程得：x=1，

检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，17.解：如图：点D即为所求．

18.证明：∵D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED=∠CFD=90°，

∵BD=DC，DE=DF，

∴△BDE≌△CDF，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

19.解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．

根据题意得2500(1+x)2=3600，

解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)．

答：该公司20.1421.8

7

<

22.解：(1)根据题意，得甲种购票方式y甲关于x的函数表达式y甲=20x；

设乙种购票方式y乙关于x的函数表达式y乙=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．

将坐标(0,80)和(12,200)代入y乙=kx+b，

得b=8012k+b=200，

解得k=10b=80，

∴y乙=10x+80．

(2)当洋洋去动物园少于8次时，选择甲种购票方式更划算；等于8次时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；多于8次时，选择乙种购票方式更划算．理由如下：

当y甲<y乙时，即20x<10x+80，解得x<8；

当y甲=y乙时，即20x=10x+8023.解：(1)由题意得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，

∴∠CAB=180°−∠NAC−∠BAS=75°，

∵∠ABC=45°，

∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°，

∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；

(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB=32km，∠ABC=45°，

∴AD=AB⋅sin45°=32×22=3(km)，

BD=AB⋅cos45°=32×22=3(km)，

在24.(1)证明：∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

即∠ABC+∠CBD=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠ADB=∠C，

∴∠ABC=∠ADB，

∵BC/​/DF，

∴∠CBD=∠FDB，

∴∠ADB+∠FDB=90°，

即∠ADF=90°，

∴AD⊥DF，

又∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

(2)解：∵AB=AC=4，AF=6，

∴BF=AF−AB=2，

∵∠F=∠F，∠FBD=∠FDA=90°，

∴△FBD∽△FDA，

∴BF：DF=DF：AF，

∴DF2=BF×AF=2×6=12，

∴DF=23，

∵DF是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，

∴AD⊥DF，

∵DF/​/BC，

∴BC⊥AD，

∴BC=2BE，

∵BE/​/DF，

∴△ABE∽△AFD，

∴BEDF=ABAF，

25.解：(1)∵抛物线的顶点坐标是(50,25)，

∴设抛物线的表达式为：y=a(x−50)2+25，

将点C(0,5)代入得：5=a(0−50)2+25，解得：a=−1125，

∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：y=−1125(x−50)2+25．

(2)当x=75时，y=−1125(75−5026.(1)(2)如图所示，连接BE，BD，过点D作DG⊥EF于G，DB′//BC交直线AB于B′，

∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=9°，AB=6，DE=3，

∴∠BAC=∠DEF=45°，DG=DE⋅sin∠DEG=322，

∴DE/​/AB，

∴四边形BEDB′是平行四边形，

∴B′D=BE，BB′=DE=3，

∴AB′=3；

∵DG=322，即点D到直线AC的距离为定值322，

∴点D在与AC平行，且与AC之间的距离为322的直线上，

过点D作MN//AC分别交直线AB、BC于M、N，则点D在直线MN上运动，

∴∠BMN=BAC=45°，

∵DE//AM，AE//DM，

∴四边形AEDM是平行四边形，

∴AM=DE=3，

∴B′M=6，BM=9，

如图所示，作点B关于直线MN的对称点B″，连接B″D，B″B′，

∴B″M=BM=9，B″D=BD，∠DMB″=∠DMB=45°，

∴∠B′MB″=90°，

∵BE+BD=B′D+B″D，

∴当B′、D、B″三点共线时，B′D+B″D最小，即此时BE+BD最小，最小值为B″B′，

∴BE+BD的最小值为B′M2+B″M2=92+62=313；

(3)如图所示，过点M作MR⊥EF于R，则四边形AMRE是矩形，

∴ER=AM=300m，MR=AE=2003m，

将点P沿着垂直于EF的方向平移到P′，使得PP′=QS=2003m，

∴四边形P′PQS是平行四边形，

∴PQ=P′S；

如图所示，以ER为直径画圆，圆心设为O，连接ON，OP′，

∴OR=MN，

又∵OR//MN，

∴四边形ONMR是平行四边形，

∴ON=MR=QS=PP′，ON//MR，

∴ON//QS//MR//PP′，

∴四边形ONPP′是平行四边形，

∴OP′=NP=150m；

过点C作CI⊥BD交BD延长线于I，在CI上取一点O′使得∠CO′D=120°，

∵AC与CD所在的圆相切于点C，

∴CD的圆心在射线CI上，

又∵CD所对的圆心角为120°，

∴O′即为CD所在圆圆心，

∵∠ABI=∠BAC=90°，CI⊥BI，

∴四边形ABIC是矩形，

∴CI=AB=600m，

设O′D=O′C=rm，则O′I=(600−r)m，

∵∠IO′D=180°−120°=60°，

∴O′I=O′D⋅cos60°=12rm，

∴12r=600−r，

∴r=400；

如图所示，连接OO′，

∵PQ+QS+ST=P′S+ST+2003，

∴当P′S+ST最小时，PQ+QS+ST最小，

∵P′S+ST≥P′T≥P′O′−O′T，P′O′≥OO′−OP′，

∴P′S+ST≥OO′−OP′−O′T，

∴当O、P′、S、T、O′五点共线时P′S+ST有最小值，最小值为OO′−OP′−O′T；

过点O作OK⊥CT于K，则四边形OECK是矩形，

∴OK=CE=AC−AE=5003m，CK=OE=150m，

∴O′K=250m，

∴OO′=O′K2+OK2=25013m，

∴PQ+QS+ST的最小值为(25013+2003−550)米．

设此时OO′与GH交于V，OK与GH交于W，

∵WV//O′K，

∴△OWV∽△OKO′，

∴W