高考数学总复习《导数-利用导数求函数的极值、最值》专项练习题（附答案）

第第页高考数学总复习《导数-利用导数求函数的极值最值》专项练习题（附答案）常见考点考点一极值与极值点典例1．设曲线在点（1f（1））处取得极值．(1)求a的值(2)求函数f（x）的单调区间和极值．【答案】(1)(2)在区间（0）和（1＋∞）单调递减在区间（1）单调递增极大值为极小值为【解析】【分析】（1）求出函数得导函数根据曲线在点（1f（1））处取得极值可得从而可求出a的值（2）根据导数的符号求出函数的单调区间再根据极值的定义求出极值即可。(1)∵则又∵故可得解得经检验符合题意所以(2)由（1）可知则当或时当时故可得f（x）在区间（0）和（1＋∞）单调递减在区间（1）单调递增故f（x）的极大值为f（x）的极小值为．变式1-1．已知函数在处有极值。(1)求的值(2)若有个不同实根求的范围。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题设条件可得由此可解得与的值（2）依题意可知直线与函数的图象有三个不同的交点则的取值范围介于极小值与极大值之间。(1)因为函数在处有极值所以即解得。(2)由（1）知所以在上单调递增在上单调递减在上单调递增所以若有3个不同实根则所以的取值范围为。变式1-2．已知函数为的导函数证明：(1)在区间存在唯一极大值点(2)在区间存在唯一极小值点(3)有且只有一个零点。【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)首先求函数的导数利用函数的导数判断函数的单调性以及结合零点存在性定理即可说明函数在区间存在唯一极大值点（2）由的单调性结合零点存在性定理说明存在唯一极小值点（3）分和两个区间结合函数的单调性以及零点存在性定理说明函数有且只有一个零点。(1)的定义域为设则当时所以单调递减且由零点存在定理可知在区间存在唯一的使又当时当时所以为区间上唯一的极大值即是区间上唯一的极大值点。(2)当时单调递增且所以在区间有唯一零点设为当时此时单调递减当时此时单调递增所以是在上唯一的极小值点。(3)①当时由（1）可知在上单调递增且所以在上有唯一零点当时单调递减且所以在上没有零点。②当时由（2）可知在区间上此时单调递减且故有此时单调递减且由得所以。当时由（2）知所以单调递增又故所以存在使即故为的极小值点。此时。所以在上没有零点。③当时所以所以在区间上没有零点。综上在区间上有且仅有一个零点。【点睛】利用导数研究函数的零点一方面利用导数判断函数的单调性借助零点存在性定理判断另一方面也可将零点问题转化为函数图象的交点问题利用数形结合判断。变式1-3．已知函数其中为自然对数的底数为常数．(1)若求函数的极值点(2)若函数在区间上有两个极值点求实数的取值范围．【答案】(1)极小值点为极大值点为(2)【解析】【分析】（1）首先求函数的导数再利用导数与函数极值点的关系即可求解（2）根据得换元后转化为与且有两个交点利用数形结合即可求得实数的取值范围。(1)由题可知令得(1)当时上式为：解得：当解得：或当解得：的单调递增区间为单调递减区间为极小值点为极大值点为。(2)∵函数在上存在两极值点在有两不等实解即由分离参数可得：令则设且易知在上单调递减在上单调递增结合图象可知与在有两交点则故实数的取值范围为考点二最值典例2．已知函数。(1)求曲线在点处的切线方程(2)求函数在区间上的最大值和最小值。【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）对函数二次求导后可得在区间上递增再由可分析得在上单减在上单增从而可求出函数的最值(1)由得函数曲线在点处的切线方程为。(2)当在区间上递增又所以当所以在上单减当所以在上单增。所以因为所以令则所以在上递增因为所以在上递增所以所以所以。变式2-1．已知函数在处取得极值．(1)求的单调区间(2)求在上的最值．【答案】(1)单调递增区间为和单调递减区间为(2)。【解析】【分析】（1）根据可构造方程组求得进而得到根据的正负可得单调区间（2）根据单调性可确定由此可求得最值。(1)在处取得极值解得：当时当时的单调递增区间为和单调递减区间为(2)由（1）知：又。变式2-2．已知函数(1)若求的极值(2)当时在上的最大值为求在该区间上的最小值．【答案】(1)极大值为极小值为(2)【解析】【分析】（1）利用导数可求得单调性由此得到极值点代入可得极值（2）利用导数可求得单调性结合可知利用可构造方程求得从而得到。(1)当时令解得：则变化情况如下表：极大值极小值的极大值为极小值为(2)又令解得：则变化情况如下表：极大值极小值在上单调递增在上单调递减又在上的最大值为解得：。变式2-3．已知函数．(1)若求的图象在处的切线方程(2)若在上存在最小值且最小值不大于求的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可（2）对函数求导由导数的正负求出函数的单调区间由在上存在最小值且最小值不大于得从而可求出的取值范围(1)因为所以则．因为所以的图象在处的切线方程为．(2)因为所以当时当时．故的单调递增区间为和单调递减区间为．因为在上存在最小值且最小值不大于所以解得即的取值范围为．巩固练习练习一极值与极值点1．已知函数其中．(1)当求的极值(2)若曲线与直线在上有且只有一个交点求的取值范围．【答案】(1)的极小值为无极大值(2)【解析】【分析】（1）对函数求导利用导函数即可求出原函数的极值。（2）设对进行求导由只有一个零点对进行讨论即可得到答案。(1)由题意则故在单调递减在单调递增。有极小值无极大值。(2)设则①当时在上无零点不合题意②当则单调递增时由零点存在性定理得在中只有一个零点即曲线与直线在上有且只有一个交点。②时在单调递减单调递增若则只能若则在单调递减时则要则故综上：。2．已知函数在时有极值0．(1)求函数的解析式(2)记若函数有三个零点求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出函数的导函数根据题意可得从而可得出答案（2）求导根据导数的符号求出函数的单调区间从而可求出函数的极值再根据函数有三个零点列出不等式解之即可得出答案。(1)解：因为函数在时有极值0所以即解得经检验符合题意所以(2)解：由（1）得则当或时当时所以函数在和上递增在上递减所以函数的极大值为极小值为因为函数有三个零点所以解得即实数的取值范围为。3．已知函数．(1)求函数f(x)的单调区间(2)是否存在实数a使得函数f(x)的极值大于0？若存在求a的取值范围若不存在说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)存在0＜a＜2﹒【解析】【分析】(1)由可求得然后分与讨论导数的正负即可得f(x)的单调区间(2)由(1)可知当函数有极大值结合化简极大值令＞0解出a的范围即可．(1)当时由于故于是故在上单调递增当时令即解得时单调递增当时单调递减。综上时f(x)的单调增区间是无单调减区间时f(x)的单调增区间是单调减区间是。(2)由(1)可知当时在上单调递增为极大值当时f(x)在处取到极大值。由(1)可知即极大值令∵在单调递增且时即时∴当时不等式显然成立当即时∴综上0＜a＜2。【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用.第二问的关键是看出极大值在定义域内单调递增且g(1)＝0利用单调性将函数值大于0转化为自变量大于1从而简化计算．4．已知函数。(1)讨论的极值点的个数(2)若函数有两个极值点证明：。【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）的极值点的个数等价于的解的个数分离参数得构造函数求导分析作出其图象数形结合可得的极值点的个数（2）由（1）可知设则由得取对数得同理进一步分析可得.最后利用分析法与换元法将问题转化证明即可。(1)解：由题意得即故令所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数。得得所以在上单调递减在上单调递增所以因为当趋近于时趋近于当趋近于时趋近于所以的大致图象如图：由图可得当时恒成立函数单调递增极值点的个数为0当时与的交点个数有两个分别设为且当时时故函数有两个极值点当时与的交点个数有两个不妨设为则当当时故函数有1个极值点。(2)证明：因为函数f（x）有两个极值点由（1）可知设则显然所以由极值点的概念知故所以同理两式相减得即。另一方面要证只需证即因为所以故上式可化为即令则上式即为。令则故为减函数所以即原命题得证。【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点利用导数证明不等式考查分类讨论思想运算求解能力是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得进而根据极值点的导数值为0等价转换得进而将问题转化为再结合换元法证明即可。练习二最值5．已知函数。(1)求函数的单调区间(2)求函数在上的最大值和最小值。【答案】(1)单调增区间单调减区间(2)最大值最小值【解析】【分析】根据导函数分析函数单调性在闭区间内的最值(1)时时单调增区间,单调减区间(2)由（1）可知在上单调递增在上单调递减所以最大值为又故最小值为06．已知函数．(1)求函数在的单调区间(2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）．【答案】(1)的单调递增区间为单调递减区间为(2)答案见解析【解析】【分析】（1）化简函数在上的解析式利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间（2）解方程可得或然后分四种情况讨论结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性由此可得出函数在上的最大值。(1)解：①当时当时所以在上单调递增当时所以在上单调递减②当时恒成立所以在上单调递增。综上的单调递增区间为单调递减区间为。(2)解：令即解得或。①当时在上单调递增②当时在上单调递增在上单调递减此时③当时在上单调递增在上单调递减在上单调递增则④当时在上单调递增在上单调递减在上单调递增则。综上当时。【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调则与一个为最大值另一个为最小值（2）若函数在区间内有极值则要求先求出函数在区间上的极值再与比大小最大的为最大值最小的为最小值（3）若函数在区间上只有唯一的极大点则这个极值点就是最大（最小）值点此结论在导数的实际应用中经常用到。7．已知函数且．(1)求的值(2)求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)最大值是最小值是．【解析】【分析】（1）列出关于的方程即可求得的值（2）依据导函数判定函数的单调性求出函数在区间上的极值和区间端点处的函数值即可求得函数在区间上的最大值和最小值．(1)所以解得．(2)由得令得或当时单调递增当时单调递减当时单调递增．又所以在区间的最大值是最小值是．8．已知函数。(1)若求函数