广东省肇庆市高要区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023-2024学年广东省肇庆市高要区八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义判断即可求解，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．【详解】解：、是最简二次根式，符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；、中根号含有分数，不是最简二次根式，不符合题意；、，不是最简二次根式，不符合题意；故选：．2.下列数据中能作为直角三角形三边长的是（）A.、、 B.、、 C.、、 D.、、【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可．【详解】解：A、，以、、为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、，以、、边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：．3.下列计算错误的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．详解】解：．与不能合并，所以选项符合题意；B．，所以B选项不符合题意；C．，所以C选项不符合题意；D．，所以D选项不符合题意．故选：．4.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（）∵，∴，又∵（），∴四边形是平行四边形．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意；添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意；添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意；添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，则∠B的度数是()A.130° B.120° C.100° D.90°【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再根据∠A+∠C=160°计算出∠A的度数，进而可算出∠B的度数．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠A+∠B=180，∵∠A+∠C=160，∴∠A=80，∴∠B=180−80=100.故选C.【点睛】本题考查平行四边形的性质，对角相等，对边平行.6.如图，已知菱形的对角线AC；BD交于点O，E为CD的中点，若，则菱形的周长为（）．A.18 B.48 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD为直角三角形，∵OE＝6，点E为线段CD的中点，∴CD＝2OE＝12，∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48，故选：B．【点睛】本题考查了菱形性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出CD．7.如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点，且点表示的数为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理列式求出，再利用平方根的相反数定义解答，正确利用勾股定理求出的值是解题的关键．【详解】解：由图可知，，则，舍去，故选：．8.如图所示，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的面积为（）A.20 B.48 C.24 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形面积公式计算即可得答案．【详解】解：在菱形中，，菱形的面积，故选：C．9.如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∵E是的中点，∴，∵，∴，∴∴，故选：C．10.如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】先根据勾股定理求出，然后根据计算即可．【详解】解：根据勾股定理可得∴故选：D．【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握用勾股定理解直角三角形、半圆的面积公式和三角形的面积公式是解决此题的关键．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．11.如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，对于二次根式，需满足，据此即可求解．【详解】解：由题意得：，∴故答案为：12.“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是：___________________________【答案】如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的题设是“如果两个实数相等”，结论是“那么它们的绝对值相等”，故其逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”．故答案为：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

13.如图，在四边形中，，请添加一个条件：________，使四边形成为平行四边形．【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】添加条件为：，理由如下：∵，，∴四边形平行四边形，故答案为：（答案不唯一）．14.如图，在中，，点D是的中点，，，则______．【答案】5【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．【详解】解：∵在中，∠，，，∴由勾股定理得，∵点D是的中点，∴，故答案为：5．15.如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则的长是______．【答案】【解析】【分析】连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案．【详解】解：如图，连接，由题意知：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理，求出的长是解题的关键．三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化简各式，再合并同类二次根式；（2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可．【小问1详解】解：原式=；【小问2详解】原式．【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键．17.一个矩形的长为，宽为．（1）该矩形的面积______；（2）求的值．【答案】（1）1（2）6【解析】【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握矩形的面积公式是解题的关键．（1）根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据完全平方公式计算即可．【小问1详解】解：∵矩形的长为，宽为，∴该矩形的面积，故答案为：；【小问2详解】解：．18.如图，在矩形中，点E、F分别在边上且．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明见解析【解析】【分析】先由矩形的性质得到，则，，再证明，进而证明，则，即可证明四边形是平行四边形．【详解】证明：∵四边形是矩形，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，熟知两组对边分别平行的四边形是平行四边形是解题的关键．19.在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝15，AC＝20，AD＝12．求证：AB⊥AC．【答案】见解析【解析】【分析】根据勾股定理求得，进而可得，进而勾股定理的逆定理进行判断即可得证．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADB中，BD＝.在Rt△ADC中，CD＝.∴BC＝BD＋CD＝9＋16＝25.∵AB2＝152＝225，AC2＝202＝400，BC2＝252＝625.∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．20.图，ABCD的对角线，相交于点，是等边三角形，．（1）求证：ABCD是矩形；（2）求点到线段的距离．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=BD，OA=OC=AC，则BD=AC，即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD=BD，OA=OC=AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°-60°=30°，∴DB=2AB=8，∴AD===4，设点A到线段BD的距离为h，∵S△ABD=BD•h=AB•AD，∴×8h=×4×4，∴h=2，即点A到线段BD的距离为2．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21.如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路．测得千米，千米，千米．（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求原来的路线的长．【答案】（1）是，见解析（2）千米【解析】【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；（2）设，则AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【小问1详解】∵，∴∴∴是从村庄C到河边的最近路【小问2详解】，则在中∴解得：∴原来的路线的长为千米【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．22.在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．（1）求证：≌；（2）证明四边形是菱形；（3）若，，求菱形的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）10【解析】【分析】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用证得结论；（2）由（1）可得，结合条件可求得，则可证明四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得，可证得四边形为菱形；（3）连接，可证得四边形为平行四边形，则可求得的长，利用菱形的面积公式可求得答案．【小问1详解】证明：∵，，是的中点，，在和中，；【小问2详解】证明：由（1）知，，则．为边上的中线，．∵，四边形是平行四边形，，是的中点，，四边形是菱形；【小问3详解】解：连接，∵，，四边形是平行四边形，，四边形菱形，．23.已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒．（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t=1.25；（2）存在；t=0.75，Q（4，2）；或t=0.5，Q（-1.5，2），或t=2，Q（1.5，2）．【解析】【分析】（1）先求出OA，进而求出OD=2.5，再由运动知BP=5-2t，进而由平行四边形的性质建立方程5-2t=2.5即可得出结论；

（2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；【详解】（1）∵四边形OABC为矩形，B（5，2），∴BC=OA=5，AB=OC=2，∵点D时OA的中点，∴OD=OA=2.5，由运动知，PC=2t，∴BP=BC-PC=5-2t，∵四边形P