固体物理学_金属电子论总论

1、第六章 金属电子论 特鲁特特鲁特 洛伦兹金属电子论洛伦兹金属电子论 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 电子气体服从麦克斯韦电子气体服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计分布规律玻尔兹曼统计分布规律 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程自由电子模型自由电子模型01/38按照经典能量均分定理，按照经典能量均分定理，N个电子的能量个电子的能量经典电子论的成就经典电子论的成就32BNk解释金属的特征解释金属的特征 电导电导 热导热导 温差电温差电 电磁输运等电磁输运等经典电子论的困难经典电子论的困难 大多数金属大多数金

2、属0.01ExperimentalVClassicalVCC对热容量的贡献对热容量的贡献32BNk T量子力学对金属中电子的处理量子力学对金属中电子的处理 索末菲在自由电子模型基础上索末菲在自由电子模型基础上 提出电子在离子产生的平均势场中运动提出电子在离子产生的平均势场中运动 电子气体服从费密电子气体服从费密 狄拉克分布狄拉克分布 量子理论计算得到电子的热容量子理论计算得到电子的热容 解决了经典理论的困难解决了经典理论的困难06_01 费密统计和电子热容量费密统计和电子热容量 能带理论是单电子近似能带理论是单电子近似 每一个电子的运动近似看作是独立的每一个电子的运动近似看作是独立的 有一系列

3、确定的本征态有一系列确定的本征态 一般金属只涉及导带中的电子一般金属只涉及导带中的电子 所有电子占据的状态在一个能带内所有电子占据的状态在一个能带内1 费密分布函数费密分布函数 电子气体服从电子气体服从泡利不相容原理泡利不相容原理和和费米费米 狄拉克统计狄拉克统计 热平衡下本征态热平衡下本征态 E被电子占据的几率被电子占据的几率1( )1FBE Ek Tf Ee 费米分布函数费米分布函数物理意义物理意义 能量为能量为E的本征态上电子的数目的本征态上电子的数目 平均占有数平均占有数 费米能量费米能量 体积不变体积不变, 系统增加一个电子所需的自由能系统增加一个电子所需的自由能FE05/381()

4、2Ff E()/1FBE Ek Te0)(Ef()/1FBE Ek Te1)(Ef()/1( )1FBE Ek Tf Ee 费米分布函数费米分布函数1)0TK电子填充能量电子填充能量 几率几率FEEFBEEseveral k TFBEEseveral k T()1/2Ff E()/1( )1FBE Ek Tf Ee 费米分布函数费米分布函数电子填充能量电子填充能量 几率几率FEE( )0FBEEseveral k Tf E ( )1FBEEseveral k Tf E 2)0TK()/1( )1FBE Ek Tf Ee 费米分布函数费米分布函数FEE( )1f E FEE( )0f E 3)

5、在较低温度时，分布函数在在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化处发生很大变化FEE能量变化范围能量变化范围()1()0FFf EEf EE 温度上升温度上升 能量变化范围变宽能量变化范围变宽 任何温度下任何温度下费米分布函数费米分布函数()/1( )1FBE Ek Tf EeBk T该能量范围约为该能量范围约为k空间的费米面空间的费米面FEE0TK的费米面内所有状态均被电子占有的费米面内所有状态均被电子占有0TK费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外10/38dEENdZ)(dEENEfdN)()(0)()(dEENEfN金属中总的电子数金属中总的电

6、子数 取决费密统计分布函数和电子的能态密度函数取决费密统计分布函数和电子的能态密度函数之间状态数之间状态数EEdE之间的电子数之间的电子数EEdE2 的确定的确定FE0)()(dEENEfN 概述了电子按能概述了电子按能 量统计分布规律量统计分布规律3/21/22( )4()mN EVEh( )( )f E N E 取决于费密统计取决于费密统计 分布函数和电子分布函数和电子 的能态密度函数的能态密度函数321/222( )4mN EVEh0)()(dEENEfN21)(CEEN3/2224mCVhVNn 2202332FhEnm金属中总的电子数金属中总的电子数自由电子的费密能级自由电子的费密能

7、级自由电子的能态密度自由电子的能态密度00)(FEdEEN3022()3FNC E0FE费米能级费米能级0TKNEdNEKindEENdN)(结论：结论： 绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 电子满足泡利不相容原理电子满足泡利不相容原理 每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子每个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子 所有的电子不可能都填充在最低能量状态所有的电子不可能都填充在最低能量状态 1/2CEdE035FE00312200/FFEECE dECE dE 电子的平均能量电子的平均能量 平均动能平均动能0TK总的电子数总的电子数0)()(dEENE

8、fNEdEENEQ0)()(00( ) ( )( )fNf E Q EQ EdEE引入函数引入函数 能量能量E以下的量子态总数以下的量子态总数应用分部积分应用分部积分)( )(EQEN能态密度能态密度FE电子的费密能量电子的费密能量0TK15/3800( ) ( )( )fNf E Q EQ EdEE因为因为0( )0EQ E( )0Ef E 0)()(0EQEf0( )fNQ EdEE)( )(EQENEdEENEQ0)()(11)(TkEEBFeEf分布函数分布函数()/1( )1FBE Ek Tf Ee()/()/1111FBFBE Ek TE Ek TBfEk Tee0( )fNQ E

9、dEE 的偶函数的偶函数FEE 只在只在 附近有显著的值，具有附近有显著的值，具有 函数特点函数特点FEE( )fNQ EdEE21( )()()()()()2FFFFFQ EQ EQ EEEQ EEE2()()()1()()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEE 保留到二次项保留到二次项EdEENEQ0)()( 将将 在在 附近按泰勒级数展开附近按泰勒级数展开( )Q EFE2()()()1()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEE)()(ff()0FfEEdEE1fE 是是 的偶函数的偶函数 FEE0 1 21()()()2FFFfNQ

10、EQEEEdEE()/()/1111FBFBE Ek TE Ek TBfEk Tee22()()()2(1)(1)BFFk TdNQ EQEeeTkEEBF引入积分变数引入积分变数1BddEk T20/38202()()()()6FFFBQ EQ EQEk T3) 1)(1(22eed22()()()2(1)(1)BFFk TdNQ EQEee0T 000()( )FEFNQ EN E dE一般温度一般温度23002.6 10BTKk TeV将将 按泰勒级数在按泰勒级数在 附近展开，保留到第二项附近展开，保留到第二项 0FE()FQ E将将 按泰勒级数在按泰勒级数在 附近展开，保留到第一项附近

11、展开，保留到第一项 0FE()FQE0()()FFQ Eand Q E 相差不多相差不多202()()()()6FFFBQ EQ EQEk T000()()()()FFFFFQ EQ EQ EEE0()()FFQEQE0022(/6)(/)()FFFBEEEQQk T020021ln( )()6FFFFBEdEEEQ Ek TdE022()()(/6)()()FFFBQ EQ EQEk T因为因为EdEENEQ0)()( )( )Q EN E020201ln( )()6FFFBEFdEEN Ek TEdE020201ln( )()6FFFBEFdEEQ Ek TEdE 近自由电子近自由电子2/

12、1)(EEN2200112BFFFk TEEE 温度升高温度升高 费密能级下降费密能级下降2200112BFFFk TEEE 温度升高温度升高 费密能级下降费密能级下降KT30022.6 10eVBk T0FEseveral eV10FBETk0FFEE 25/383 电子热容量电子热容量 金属中电子总能量金属中电子总能量0)()(dEEENEfU0( )( )ER EEN E dE0( )fUR EdEE引入函数引入函数 E以下的量子态被电子填满时的总能量以下的量子态被电子填满时的总能量应用分布积分应用分布积分( )( )EN ER E0( )( )Uf E R E dE00()()repl

13、aceFFR EQ E 应用费密能量的结果应用费密能量的结果00( )( )ffUR EdENQ EdEEE 比较两式000202()()()(/6)()()FFFFFBNQ EQ EEEQEk T000202()()()(/6)()()FFFFFBUR ER EEEREk T000202()()()(/6)()()FFFFFBUR ER EEEREk T0202ln( )()6FFFBEdEEN Ek TdE000202()ln( )ln( )()()6FFFFBEEUR EdN EdR ER Ek TdEdE 0( )( )( )ER EEN E dEEN E000)()(FEFdEEEN

14、ER T0K 时电子总能量时电子总能量000202()ln( )ln( )()()6FFFFBEEUR EdN EdR ER Ek TdEdE )()()(020TkTkENTkENBBFBF)(0TkENBF20)(TkENBFVVdUCdT20()()3FBBN Ek Tk0202()(/6)()()FFBUR EN Ek T 热激发能热激发能 热激发电子的数目热激发电子的数目 每个电子获得的能量每个电子获得的能量TkB总的激发能总的激发能电子热容量电子热容量30/38 近自由电子模型下电子热容量近自由电子模型下电子热容量22300328FNhEmV312222( )4mN EVEh000

15、()32FFN ENE能态密度函数能态密度函数000)(FEdEENN从从 得到得到的能态密度的能态密度00,FTK EE 近自由电子模型下电子热容量近自由电子模型下电子热容量000()3/2FFN ENE20()()3VFBBCN Ek Tk2002BBFk TNkE0QuantumVBClassicalVFCk TCE热容量热容量2300101110TKeVeV近自由电子模型下电子热容量近自由电子模型下电子热容量2002BVBFk TCNkE 金属中大多数电子的能量远远低于费密能量金属中大多数电子的能量远远低于费密能量 由于受到泡利原理的限制不能参与热激发由于受到泡利原理的限制不能参与热激

16、发 只有在附近约只有在附近约kBT范围内电子范围内电子 参与热激发参与热激发_对金属的热容量有贡献对金属的热容量有贡献TCbTCCElectronVPhononVMetalV3 一般温度下晶格振动的热容量比电子热容量大得多一般温度下晶格振动的热容量比电子热容量大得多低温范围下低温范围下 不能忽略电子的热容量不能忽略电子的热容量 较高温度下晶格振动的热容量是主要的较高温度下晶格振动的热容量是主要的 热容量基本是一个常数热容量基本是一个常数研究金属热容量的意义研究金属热容量的意义 20()()3VFBBCN Ek Tk 许多金属的基本性质取决于能量在许多金属的基本性质取决于能量在EF附近的电子附近

17、的电子 电子的热容量与电子的热容量与 成正比成正比)(0FEN 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息35/38过渡元素过渡元素 Mn、Fe、Co和和Ni具有较高的电子热容量具有较高的电子热容量 d壳层电子填充不满壳层电子填充不满 d态态(5重简并重简并)形成晶形成晶 体时相互重叠较小体时相互重叠较小 附近有较大的能态密度附近有较大的能态密度0FE d能带能带 具有特别大的能态密度具有特别大的能态密度 产生较窄能带产生较窄能带 5个能带发生一定的重叠个能带发生一定的重叠 重费密子系统重费密子系统 1975年发现化合物年发现化合物CeAl3低温下电子比热系数低温下电子比热系数1620mJ K200()()()3VFBBFCN Ek TkN E0()FN E3 21222( )4mN