广东省汕头市潮阳谷饶镇2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

2023-2024学年度第二学期期中质量检测八年级数学（试卷总分：120分，考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；B、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；C、；故本选项不是最简二次根式，不符合题意；D、，故本选项不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．2.下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A.a＝1，b＝2，c＝2 B.a＝2，b＝3，c＝4C.a＝3，b＝4，c＝6 D.a＝1，b＝1，c＝【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理的逆定理分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：A、12+22=5≠22，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、22+32=13≠42，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、32+42=25≠62，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

D、12+12=2=（）2，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．

故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3.下列计算准确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可．【详解】解：A、，故正确；B、，故错误；C、，故错误；D、，故错误；故选：A．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．4.下列四边形中不一定为菱形的是（）A.对角线相等的平行四边形 B.对角线平分一组对角的平行四边形C.对角线互相垂直的平行四边形 D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形【答案】A【解析】【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形而不一定是菱形；B.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D.用两个全等的等边三角形拼成的四边形四条边形等是菱形；故选A.5.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm【答案】A【解析】【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．【详解】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∴∠EDA=∠DEC，又∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∠EDA，∴∠EDC=∠DEC，∴CD=CE=AB=6cm，即BE=BC﹣EC=8﹣6=2cm．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．6.如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质．根据矩形的性质得到，由折叠的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠性质可知，，，，在中，，即，解得，，则的面积，故选：C．7.如图，在数轴上点表示的数为，则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用勾股定理求出BA=BD=，然后得到点A表示的数．【详解】解：在直角三角形BCD中，根据勾股定理得，BD=，BA=BD=，故点A表示的数为-1+，故选D．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，利用勾股定理表示出长度为无理数的线段是解决问题的关键．8.如图，在菱形中，，，E、F为垂足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了中垂线的性质；菱形的性质．依题意，首先推出是等边三角形，然后可知，，，故可得．【详解】解：连接．，，，是等边三角形，，又，，，，又，．故选：B．9.如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（）A.不变 B.变长 C.变短 D.先变短再变长【答案】A【解析】【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，

∴，

∵A、C是定点，

∴AC的的长恒为定长，

∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，

故选A．【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.10.如图，点E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE和DE，过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝3．下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为；④S正方形ABCD＝8+．则正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】①易知AE＝AP，AB＝AD，所以只需证明∠EAB＝∠PAD即可用SAS说明△APD≌△AEB；②易知∠AEB＝∠APD＝135°，则∠BEP＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，所以EB⊥ED；③在Rt△BEP中利用勾股定理求出BE值为，根据垂线段最短可知B到直线AE距离小于；则③错误；④要求正方形的面积，则需知道正方形一条边的平方值即可，所以在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点，在Rt△AHB中利用勾股定理AB2＝BH2+AH2即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°．∴∠DAP+∠BAP＝90°．又∠EAP+∠BAP＝90°，∴∠EAP＝∠DAP．又AE＝AP，∴△APD≌△AEB（SAS）．所以①正确；∵AE＝AP，∠EAP＝90°，∴∠APE＝∠AEP＝45°，∴∠APD＝180°﹣45°＝135°．∵△APD≌△AEB，∴∠AEB＝∠APD＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，即EB⊥ED，②正确；在等腰Rt△AEP中，利用勾股定理可得EP＝，在Rt△BEP中，利用勾股定理可得BE＝．∵B点到直线AE的距离小于BE，所以点B到直线AE的距离为是错误的，所以③错误；在△AEB中，∠AEB＝135°，AE＝1，BE＝，如图所示，过点A作AH⊥BE交BE延长线于H点．在等腰Rt△AHE中，可得AH＝HE＝AE＝．所以BH＝．在Rt△AHB中利用勾股定理可得AB2＝BH2+AH2，即AB2＝（）2+（）2＝8+，所以S正方形ABCD＝8+．所以④正确．所以只有①和②、④的结论正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决复杂几何图形时要会分离图形，分离出对解决问题有价值的图形单独解决．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.如图，中，，是的中点，，则______．【答案】10【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握该性质即可解题．【详解】解：在中，，是的中点，线段是斜边上的中线；又，．故答案为：．12.二次根式中x的取值范围是______．【答案】全体实数【解析】【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得到答案．【详解】解：∵，∴∴二次根式中x的取值范围是全体实数，故答案为：全体实数．13.已知，则______．【答案】1【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根的非负性．根据算术平方根与平方的和为0，可得算术平方根与平方同时为0，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法，可得答案．【详解】解：，，由①得，把代入②得，解得，则．故答案为：1．14.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=_____度．【答案】45【解析】【分析】先设∠BAE=x°，根据正方形性质推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠AEB和∠AED的度数，根据平角定义求出即可．【详解】解：设∠BAE=x°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD．∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x°，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）=45°．故答案为45．点睛：本题考查了三角形的内角和定理的运用，等腰三角形的性质的运用，正方形性质的应用，解答此题的关键是如何把已知角的未知角结合起来，题目比较典型，但是难度较大．15.如图，菱形中，，，，分别是，上的点，，连接，则的面积最小值是______．【答案】【解析】【分析】此题考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质，首先由是等边三角形，即可得，以求得，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得，证得即可得，证得是等边三角形，当时得出的面积最小值即可，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．【详解】如图，连接，∵是等边三角形，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，当时，的面积最小值，∴，∵，∴，∴，∵，由勾股定理得，过作于点，∴同理可得：，∵是等边三角形，∴，∴的面积最小值，故答案为：．16.如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为______．【答案】5或或【解析】【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识．当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求得值．【详解】解：在中，，；①当时，如图1，；②当时，如图2，，；③当时，如图3，，，，在中，，所以，解得：，综上所述：当为等腰三角形时，或或．故答案为：5或或．三、解答题（一）（每小题6分，共18分）17.计算：．【答案】【解析】【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．18.如图，已知的对角线，交于点O，E，F分别是，的中点．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质．由的对角线，交于点，易证得，又由，分别是，的中点，即可证得．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，分别是，的中点，，，．19.古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm,忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm(如图).请部：水深多少？【答案】水深为75cm【解析】【详解】试题分析：设水深为，则荷花的高因风吹花朵齐及水面，且水平距离为40cm，那么水深与水平40组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案．试题解析：设水深为h，则荷花的高h+10，且水平距离为40cm，则解得h=75.答：水深75cm.四、解答题（二）（每小题8分，共24分）20.如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）由“平行四边形对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ADBC，且AD=BC∵F是AD的中点∴DF=AD又∵CE=BC∴DF=CE，且DFCE∴四边形CEDF是平行四边形；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．在▱ABCD中，∵∠B=60°，∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=CD=2，DH=2．在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．21.已知：如图，，，，，．（1）求证：是直角三角形（2）求图形的面积．【答案】（1）见解析（2）24【解析】【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用．（1）连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形；（1）利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．【小问1详解】证明：连接，在中，，，，在中，，为直角三角形；【小问2详解】解：图形的面积为：．22.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【答案】（1）见解析，（2）41【解析】【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论．（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【详解】（1）证明：∵BN⊥AN于点N，∴，在△ABN和△ADN中，

∵，∴△ABN≌△ADN（ASA）．∴BN=DN．（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB．又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线．∴CD=2MN=6．∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．五、解答题（三）（每小题10分，共30分）23观察下列各式：请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）=________；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．【答案】（1）；（2）（3）．【解析】【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；（2）根据已知算式得出规律即可；（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，解题的关键是能根据已知算式得出规律．24.如图，点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形．（1）试判断四边形ABCD的形状，并加以证明；（2）若菱形AECF的周长为20，BD为24，试求四边形ABCD的面积．【答案】（1）四边形ABCD为菱形，证明过程见解析；（2）S四边形ABCD=72．【解析】【分析】（1）连接AC，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明；（2）根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：（1）四边形ABCD为菱形．理由如下：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF．又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，∴BE=FD，∴BO=OD．∵AO=OC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形AECF为菱形，且周长为20，∴AE=5．∵BD=24，∴EF=8，OE=EF=×