郑君里《信号与系统》考研考点讲义

第一章绪论 (1)第二章连续时间系统的时域分析 (10)第三章傅里叶变换 (26)第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 (49)第五章傅里叶变换应用于通信系统－滤波、调制与抽样 (78)第六章信号的空间矢量分析 (95)第七章离散信号与系统时域分析 (116)第八章Z变换和离散时间系统的Z域分析 (131)第九章离散傅里叶变换及其他离散正交变换 (151)第十一章反馈系统 (165)第十二章系统的状态变量分析 (179)aa随时间变化的物理量，消息的具体表现形式。 (1)描述：波形图和函数表达式 (2)分类：确定和随机周期和非周期连续和离散(注意区别模拟和数字)一维和多维要点：判定离散时间信号是否为数字信号例1判断下列图示信号的类型 (a)连续(模拟)；(b)连续(量化)；(c)离散(数字)；(d)离散；(e)离散(数字)；(f)离散(数字)1f(t)＝Keat，τ＝—2—t2f(t)＝Ee－(t2右平移移位f(t)—→f(t)＝f(t＋t0)反折：时间轴上关于纵轴镜像反折反折尺度：时间轴上的压缩和扩展尺度f(t)—→f(t)＝f(at)相加相加相乘相乘ftftft＝f1(t)×f2(t)微分微分df(t)—→dtf(t)积分f(t)积掌握用上述运算进行信号波形变换的方法 (图见视频)t—3—要点：四类奇异信号的函数定义和波形重点：掌握单位冲击信号的筛选性，用于一般信号的单位冲击分解 (1)单位斜变t>0 (2)截平的斜变 (3)三角形脉冲t＜τt>τt共τt＞τ—4— (1)单位阶跃 (2)矩形脉冲 (3)符号函数3．单位冲激信号(6种来源) (1)矩形脉冲 (2)三角脉冲 (3)双边指数脉冲 (4)钟形脉冲—5— (5)采样信号 (6)狄拉克函数 (图见视频) (1)抽样性)f(t)dt＝)f(0)dt＝f(0))dt＝f(0)－t0)f(t)dt＝－t0)f(t0)dt＝f(t0) (2)偶对称性 (3)尺度变换att) (1)抽样性tftdt＝－f′(0) (2)乘法f(t)δ′(t)＝f(0)δ′(t)－f′(0)δ(t) (3)积分 (4)尺度δ′(at)＝·δ′(t) (5)卷积—6—f(t)*δ′(t)＝f(t)＝f′(t)例3求列下表达式的值 (1)－t)δ(t)dt (2)[δ(t)－δ(t－t0)]dt解：根据单位冲激信号的筛选性可得：＝－＋τ)？δ(τ)dτ＝＋τ)δ(τ)dτttdtft)tttdttdt－δ(t－t0)dt＝1－ejωt0重点：掌握信号的单位冲击分解TP)dtTTT信号的功率＝直流功率＋交流功率直流功率＝f2DT流功率＝t)dt用相互正交的正交函数集各个分量的线性组合来表示某些信号—7—注意：只用于周期信号的分解，常见的正交完备集就是三角函数和复指数函数，即周期信号的三角级数分解和复指数分解。—→f(t)＝lτf1(t)＝)δ(t－τ)dτ}—→选取合适的状态变量，如电容电压、电感电流等框图表示系统的基本运算单元：加法乘法积分例4求解下列RLC串联电路并画出系统框图利用框图的基本运算单元得：1)连续时间系统、离散时间系统—输入输出信号类型2)即时系统、动态系统—有无储能元件3)集总参数、分布参数—状态变量手否考虑空间位置因素4)线性系统、非线性系统—是否满足线性特性5)时不变系统、时变系统—是否具有时不变特性6)因果系统、非因果系统—响应与激励施加的先后关系7)稳定系统、非稳定系统—系统响应的收敛性8)可逆系统、不可逆系统—响应与激励是否具有一一对应的关系重点研究：稳定的线性时不变系统因果系统描述N阶连续LTI系统—→N阶常系数线性微分方程描述N阶离散LTI系统—→N阶常系数线性差分方程重点：线性时不变系统的判定1)线性性质：叠加性、均匀性(齐次性)2)时不变性：响应与激励施加的时刻无关3)微分特性：本质即线性定响应 t—9— t满足零输入线性，综合(1)~(3)，该系统为线性系统t系统分析：给定系统在特定激励下的响应系统综合：满足响应与激励之间关系的系统设计及实现1)数学描述：输入—输出描述法，适用于单变量系统状态变量描述法，适用于多变量系统2)模型求解：时域求解法(经典法、卷积法、数值解法)时域卷积—→频域乘积—→频域代数方程域卷积—→时域乘积—→时域代数方程LTI系统分析的方法：状态变量描述法，适用于多变量系统时域卷积—→频域乘积—→频域代数方程自由响应＋强迫响应根据系统的物理模型、元件的约束特性、系统结构的对于机械系统的处理：机电类比法。例1列出下述两个系统的微分方程vt分析形式：机械量—→电气量(机电类比法)线性时不变系统(LTI)以常系数线性微分方程描述： dndnddmdmd经典法：全响应＝齐次通解＋非其次特解 dndndnii＝2特解rp(t)形式取决于激励信号齐次解只与系统本身的结构和参数有关，而与激励信号无关，反映系统本身特征，又称为固有相应或自由响应。而特解的形式由激励决定，称为强迫响应。常数E常数Bαtesinωttp·eαt·cosωt tp·eαt·sinωt12—解为：nn为使方程有唯一解，需根据初始状态求解待定系数：|r、(0＋)＝A1α1＋A2α2＋…Anαn＋r(0＋)则：〈以矩阵形式表示为：r、(0＋)－r(0＋) ]1α1α1α11α2α2α2αnA2]α2α2n 时系统的全响应。根据激励形式可知： 将特解带入原方程得： 系统全响应：代入初始条件得：利用初始条件无法求出C1和A0，因此分解不出自由响应和强迫响应。二、起始点的跳变—从0－到0＋状态的转换状态为零输入时的初始状态，即初始值由系统的初始储能所产生。0＋状态为加入激励信号后的初始状态，即初始值不但有初始储能，还受激励信号的影响。0－到0＋跃变—→右边包含δ(t)及其各阶导数2．0＋状态的确定—冲激函数匹配法冲激函数匹配法：利用t＝0时刻方程两边的δ(t)及各阶导数应该平衡的原理来求解(0＋)的方法。原因在于微分方程右边还有δ(t)及其各阶导数，造成(0＋)和(0－)时刻的值不相等。在经典法求全响应的积分常数时，用的是0＋状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是0－状态初始值。＋状态初始值，这时的零状态是指0－状态为零。已知系统为：mm方程并求解其在t>0＋时的变化。解：1)列写电路方程 dRR21 dRR21再消去iL(t)得： dRR21 dRR21d21R2d1R2t 1d2R2d1带入参数得：2)求系统全响应齐次解：3)确定换路后的i(0＋)和i(0＋)i＝0vC(0－)＝iL·R2＝×＝VL4)求i(t)在t>0＋时的全响应：根据i(t)的全响应表达式可得：系统全响应为：例4利用冲激函数匹配法求例四中的全响应解前面已推得系统的微分方程为：考虑到激励信号在t＝0时刻由2V跃变到4V，代入上式即得t＝0时的微分方程如下：观察微分方程两侧可知：i(t)项中包含δ′(t)因此可设：| 代入前式： 比较系数：1414tdt1t dt1tdt[eRC·vC(t)]＝RCeRC·e(t)—→∫－[e·vC(τ)]dτ＝∫－e·e(τ)dτ—→＝e(τ)dτ—→e(τ)dτe－·vC(0－)零输入响应rzi(t)e)dτ零状态响应rzs(t)零输入响应满足： dndndn零状态响应满足： dndnddmdmdnnnn将图中t＜0电路看做起始状态，分别求t＞0时的零输入响应和零状态响应。 (图见视频)1)零输入响应初始状态—→izi(0＋)izi(0＋) (图见视频)iC0＋)＝izi(0＋)－iL(0＋)＝izi(0＋)－iL(0－)＝C[－R1·izi(0＋)]vC(0＋)t2)零状态响应 (图见视频)已求得其全响应为：(||((||(根据冲激函数匹配法确定待定系数：|代入微分方程，比较系数后整理可得： 5系统零状态响应：自由响应强迫响应暂态响应稳态响应令输入响应零状态响应阶跃响应：单位阶跃信号作用下的零状态响应冲激响应：单位冲激信号作用下的零状态响应 (图见视频)对于LTI系统，单位冲激响应满足：—20—δ(t)及其各阶导数t>0＋时恒为0，故：n解：1)单位冲激响应已求得系统方程为故其单位冲激响应满足：其解为：|33 2)单位阶跃响应根据特解形式得：—21—根据冲激函数匹配法设：t→原理：将信号进行冲击分解，根据系统h(t)求任意激励信号的零状态响应f1(t)*f2(t))f2(t－τ)dτ＝f2(t)*f1(t)ththtd计算：1)转换自变量2)反折3)平移4)相乘5)积分例1计算图示信号的卷积 (图见视频)—22—e(t)*h(t)＝(t－τ)dτ＝＋综上可得e(t)*h(t)如下图所示：熟练掌握卷积各种性质的数学证明1)交换律2)分配律3)结合律f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t) [f1(t)*f2(t)]*f3(t)＝f1(t)*[f2(t)*f3(t)]系统串并联 (图见视频)2)卷积的微分与积分特性[f1(t)*f2(t)]＝f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t)(λ)*f2(λ)]dλ＝f1(t)*∫t－f2w(λ)dλ＝f2(t)*∫t－f1w(λ)dλ—23—3)与冲激函数或阶跃函数的卷积f(t)*δ(t)＝)δ(t－τ)dτf(t)*δ(t)＝)δ(t－τ)dτ筛选性＝)δ(τ－t)dτ＝f(t)信号与单位冲激信号的卷积为本身f(t)*δ(t－t0)＝)δ(t－t0－τ)dτ＝f(t－t0)结论：与δ(t－t0)卷积的结果是延迟个时间单位。利用卷积的微分、积分特性可得：f(t)*δ′(t)＝f′(t)f(t)*u(t)＝)dτ一般形式：f(t)*δ(k)(t)＝f(k)(t)f(t)*δ(k)(t－t)＝f(k)(t－t0)例2利用卷积特性重新计算计算例1中的卷积)dτ＝u(τ)－u(τ－2)]dτ—24—可得： 基本算子：p＝＝)dτ系统的微分方程可用算子法描述为： 1)算子公因子不能对消2)算子乘除顺序不能颠倒px≠pxvC(t)＝)dτ＝·iC(t)等效电容例3利用算子法建立系统方程。解：用算子符号表示电路元件—25— 应用克莱姆法则解得： 1R21 i(t)＝1R11Rp允许先积分后微分，同乘p得：代入参数整理后得：全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)当系统已经用微分方程表示时，如果包含有6(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。冲激函数匹配法。3．零输入响应和零状态响应自由响应＋强迫响应；暂态响应＋稳态响应；零输入响应＋零状态响应利用性质求卷积—26—通过本章的学习掌握以下内容：1．周期信号和非周期信号频谱分析的方法—傅立叶级数和傅立叶变换2．周期信号和非周期信号频谱的特点与区别3．理解非周期信号频谱密度函数的概念4．信号时域特性与频域特性之间的关系信号的傅立叶变换，利用傅立叶变换的谱分析。叶级数分析函数形式的傅里叶级数 (1)狄利克雷条件在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应该是有限个；在一周期内，极大值和极小值的数目应该是有限个；在一周期内，信号是绝对可积的。周期信号可以由一系列不同角频率的三角函数的线性组合来逼近： (2)描述w—27—t其系数如下： 2．复指数形式的傅里叶级数欧拉公式：代入三角函数形式的傅立叶级数可得：整理后可得复指数形式的傅立叶级数：nwn＝－wn＝－wnwn＝－wn＝－w—28—比较上述两种形式的傅立叶级数，可得到二者系数之间的关系：jFn－F－n)＝j2Im[FnjFn－F－n)＝j2Im[Fn]＝bn三角函数形式：cn~ω，φn~ω单边频谱复指数的形式：Fn~ω，φn~ω双边频谱幅值谱偶对称：F(nω1)＝F(－nω1)3．周期信号的频谱及其特点频率之间的关系分别称为幅值谱、相位谱，统称频率特性或频谱。jnan9—2—利用欧拉公示化简得：—2—24．函数的对称性与傅立叶系数的关系当波形满足某种对称关系时，傅里叶级数中的某些特定项将不会出现，利用这种性质可以对谐波成分迅速作出判断，以简化傅立叶系数的计算。常用的有： f(t)＝－f(t±2)f(t)＝f( (1)奇函数nT不含余弦项，只含有正弦项，傅立叶系数为虚数。 (2)偶函数Tnn－n2n2nn－n2n2n不含正弦项，只含有余弦项和直流项，傅立叶系数为实函数。 (3)奇谐函数n为奇数时：TT—30— (4)偶谐函数n为偶数时：TT误差，吉布斯现象NNtftSN误差项NN有限项逼近所产生的方均误差N→w对于对称方波的逼近分析发现： (1)N越大，越接近方波 (2)快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； (3)慢变信号，低频分量，主要影响顶部； (4)任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真。相数越多，合成波形中出现的峰起越靠近原函数的不连续点，其值约为总跳变量的9％。称为“吉布斯现象”。—31—型周期信号的傅立叶级数其在一个周期内的表达式为：T1τ求得：nnEτEτf(t)由周期信号→非周期信号信号能量的主要部分称为带宽，记为：2π12π1ττ—32—当上述矩形信号为方波时，既是偶函数，又是奇谐函数，故只有基波和奇次余弦谐波分量由矩形脉冲信号的频谱特性印证了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。包含直流分量、基波以及各次谐波分量，立叶级数到傅立叶变换ftw—33—T1离散谱—→连续谱谱系数Fn＝F(nω1)无意义，但仍有相当对大小关系。谱系数两侧同时乘以周期n单位频带上的频谱T1称上式为信号的傅立叶变换F(ω)＝|F(ω)|ejφ(ω)F(ω)~ω：幅值谱ft＝ω)ejωtdω＝F－1[F(jω)]分别称为傅立叶变换和傅立叶反变换理意义—34—求和幅值余弦信号无穷多个振幅为(F(ω)dω)余弦信号之和f(t)＝)ejωtdω＝dω·ejωt求和幅值复指数信号无穷多个振幅为(F(ω)dω)复指数信号之和立叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。充分非必要条件。借助奇异函数的概念，许多不满足此条件的信号都存在傅立叶变换。五、典型非周期信号的傅立叶变换F(ω)＝〈2|ω→＋w，φ(ω)→〈2—35—a－jωa＋jωa＋ωa－jωa＋jωa＋ω2ω2＝F(ω)}τF(ω)＝EτSa(τ)4．钟形脉冲信号(高斯信号)—36—处理方法：衰减因子Fα－jωα＋jα－jωα＋jωα2＋ω2 －11－j2ωα→0α→0α＋ωjω222FF)F(ω)是偶函数φ(ω)是奇函数 (图见视频)六、冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换—37—2．冲激偶函数的傅立叶变换t)dt＝－f′(0)叶变换一πδ(ω)j ωj—38—重点掌握在基本的傅里叶变换对基础上利用上述八个性质对一般信号进行付傅立叶变换的方法，了解傅里叶变换在通讯系统领域中的应用。u(t)一1＋πδ(ω)j ωjα＋jωejω0t一2πδ(ω－ω0) －atπ－e一^ae1．对称性利用已知变换对方便的求出信号的傅里叶变换。 (图见视频)2．线性(叠加性和齐次性)傅里叶正、反变换公式为求积分(求和)复杂信号分解后求和。其中：结论：—39—f(－t)一F(－ω)f*(t)一F*(－ω)ftftF－ω)＝F*(ω)意义：时域压缩—→频域扩展时域扩展—→频域压缩时域对折—→频域对折信号的等效脉冲宽度与其等效带宽成反比(图见视频)设F(ω)＝F(ω)ejφ(ω)，则f(t－t0)一F(ω)·ej[φ(ω)－ωt0]不影响幅度频谱，只影响相位频谱若f(t)一F(ω)则f(t)e±jω0t一F(ωω0)通信中调制与解调，频分复用。ftej0t，频谱右移ω0 应用：u(t)一＋πδ(ω)δ(t)一1δ′(t)一F(ω)j ωj例1求图示信号的频谱—40— (图见视频)而三脉冲矩形信号可表示为：根据傅里叶变换的线性特性和时移特性： (图见视频)与矩形信号相比：脉冲数目增多时，幅频特性包络线不变，带宽不变。例2试求双Sa信号的频谱。号根据傅里叶变换的时移特性知：F[f0(t－2τ)]＝根据傅里叶变换的线性特性得双Sa信号的频谱：其幅频特性为：F(ω)＝—41—由于实际中常取τ＝故：F(ω)＝)(ω＜ωc)根据傅里叶变换的频移特性得原信号的频谱为： (图见视频) 11Eτ(ω－ω0)τEτ(ω＋ω0)τ 11Eτ(ω－ω0)τEτ(ω＋ω0)τ例4f(t)＝求三角脉冲信号的频谱解：取原信号的一阶及二阶导数得： (图见视频)0(t＞)二者的时域波形如下图：—42—根据傅里叶变换的微分特性可得：F整理可得： (图见视频)例5求图示信号的傅里叶变换解：(图见视频)根据傅里叶变换的积分特性：F(ω)＝F[1]＋F2(ω)＝3πδ(ω)＋j ωj1)时域卷积定理则：f1(t)*f2(t)一F1(ω)·F2(ω)Fftftfwf(t－τ)dτ]e－jωtdt＝)[－τ)e－jωtdt]dτ—43—＝F1(ω)F2(ω)2)频域卷积定理2π则：f1(t)·f2(t)一1F1(ω)*F2(ω2π卷积定理揭示了时域运算与频域运算的对应关系：时域乘积对应频域卷积，时域卷积对应频域乘积。系统的变换域分析法的基础。例6求下述余弦脉冲信号的频谱。解：(图见视频)将余弦信号用窗函数截取，即可得到τstτ考点：掌握各种基本信号的傅里叶变换对，灵活运用傅里叶变换的各种特性对一般信号进行频谱分析。满足狄利克雷条件的周期信号fp(t)→傅里叶级数F(nω1)离散谱满足绝对可积条件的非周期信号f(t)→傅里叶变换F(ω)连续谱一般的周期信号是否可进行傅里叶变换？nwn＝－wnwn＝－w存在傅里叶变换单位冲击信号的引入，使绝对可积成为非必要条件，一般的周期信号存在FT。—44—已知1t2πδ(ω)根据频移特性可得：1·ejω1tt2πδ(ω－ω1)1·e－jω1tt2πδ(ω＋ω1)应用欧拉公式，根据线性特性可得：cosω1tt[2πδ(ω－ω1)＋2πδ(ω＋ω1)]sinω1tt[2πδ(ω－ω1)－2πδ(ω＋ω1)]根据上节例3，对矩形脉冲信号求极限，并根据单位冲击信号的采样信号定义：δ(t)＝limktw (图见视频)2．一般周期信号的傅立叶变换FTFfTt)]Fn(ω－nω1)T1从上式中可以看出：周期信号的傅里叶变换是由一系列位于信号谐波频率的冲击函数组成的，冲击信号的幅值等于原信号傅里叶级数相应系数的2π倍。例1求图示周期信号的傅里叶变换解：33—45—nπnπF(ω)＝F[f(t)]＝2π＝2πFnδ(ω－nπ)nπnπnn3．单脉冲信号的频谱密度与周期信号谱系数的关系设单个脉冲信号f0(t)周期拓展后得到：fT(t) (图见视频)TFnFω＝nω1例2求周期单位冲激序列的傅里叶变换可得δT(t)的傅里叶级数谱系数ω＝nω1＝ω1δ(ω－nω1)＝δω(ω (图见视频)—46—例3求周期矩形脉冲序列的傅里叶变换。F0(ω)→F(nω1)→F(ω)F(nω1)＝F0(ω)ω＝nω1F(ω)＝2πF(nω1)·δ(ω－nω1 (图见视频)在定义了单位冲激信号之后，周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换得到了统一，掌握由傅里叶级数的系数求傅里叶变换的方法。 (图见视频)周期抽样脉冲的频谱：P(ω)＝2πPnδ(ω－nωsT根据频域卷积定理得：Fs(ω)＝2πF(ω)*P(ω)＝PnF(ω－nωs可见，采样之后所的信号的频谱是原始信号频谱的加权和，权系数为采样脉冲的傅里叶系数。1)矩形脉冲抽样(自然抽样) TsTs22s－s－s—47—将原始信号的频谱按照采样信号的规律重复。自然抽样的频谱关系 (图见视频)2)冲激抽样(理想抽样)nw－wnw－w将原始信号的频谱按照等幅的规律重复。理想抽样的频谱关系 (图见视频)对频域信号进行理想抽样，研究二者所对应的时域信号之间的关系。nwn＝－wnwω1n＝－wω1ftnTnwω1n＝－wω1ftnT频域理想抽样的时域对应关系(时域和频域离散的性与周期性相互对应关系)。 (图见视频)—48—从上图可知：ωs>2ωm或fs>fωm时，采样所得离散信号不发生频谱混叠。鉴于傅里叶变换一一对应的关系，离散信号中保留了连续信号的所有特征，采样有效，可通过理想低通滤波器无失真的恢复。对于时间受限信号t共tm，对频域的采样间隔时，采样所得离散频谱所对应的时间信号不发生时域混叠，采样有效，用窗函数从中选出单个脉冲即可无失真的恢复出原来的时域信号。状态：对于一个动态系统的装态是表示系统的一组最小变量，只要知道t＝t0时这组变量和t>t0时的输入，那么就能完全确定系统在任何时间t>t0的行为。状态变量：能够表示系统状态的那些变量。状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变量，可以看做矢量λ(t)的各个分量的坐标。状态空间：状态矢量λ(t)所在的空间。状态轨迹：在状态空间中，状态矢量端点随时间变化而推出的路径。Ctt3．用状态变量分析系统的优点：1)便于研究系统内部一些物理量在信号转换过程中的变化，这些物理量可以用状态矢量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。2)系统的状态分析法与系统的复杂程度没有关系，复杂系统和简单系统的数学模型形式相似，都可表示为一些状态变量的线性组合。3)状态方程的主要参数鲜明的表征了系统的关键性能，利用状态方程分析系统的稳定性也比较方便。4)状态变量分析法适用于非线性或时变系统。5)由于状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，因而便于采用数值解法，为使用计算机分析系统提供了有效途径。二、连续时间系统状态方程的建立1．状态方程的一般形式和建立方法概述一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号的各阶导数来描述。作为连续系统的状态方程表现为状态变量的一阶微分联立方程组，即：状态方程—输出方程〈对于线性时不变系统(LTI)，状态方程式状态变量和输入信号的线性组合，可用矢量矩阵形式表示为：用矢量矩阵形式可表示为：状态方程 输出方程 其中：D＝＝2．由电路图直接建立状态方程状态变量(均为独立变量)：电容两端电压与流经电感电流或电容电荷与电感磁链。系统阶数(k)：状态变量个数。 (图见视频)注意选取独立变量在选定状态变量之后，即可利用KCL和KVL列写电路方程，经化简消去一些不需要的变量，只留下状态变量和输入信号经整理给出状态方程。3．由系统的输入－输出方程或流图建立状态方程假定某一物理系统可用如下微分方程表示 dkdkddk dkdkd表示为算子形式为 为便于选择状态变量，将其传输算子表示成这样当用积分器来实现该系统时，有流图如下： (图见视频)将系统的状态方程和输出方程表示成矩阵简化形式：··三、连续时间系统状态方程的求解1．用拉普拉斯变换法求解状态方程若给定方程：两边取拉氏变换得两边取拉氏变换得式中：λ(0－)为初始条件整理得因而时域表示式为：2．用时域法求解状态方程(矢量微分方程求解)对给定的状态方程，若已知：并给定起始状态矢量λ(0－)＝可解得方程的一般解为将此结果带入输出方程得到无论状态方程的解或输出方程的解都由零输入解(由λ(0－)引起)和零状态解(由e(t)引起)相加组成。两部分的变化规律都与矩阵eAt有关，因此eAt反映了系统状态变化的本质。其它直接求eAt的方法：利用计算机求无穷级数之和。3)化eAt为有限项之和求解，此处需要利用凯莱－哈密顿定理。设给定状态方程t系统的特征矩阵。四、离散时间系统状态方程的建立1．状态方程的一般形式和建立方法概述对于一个动态的时域离散系统，它的数学模型是用各阶差分方程形式描述的。作为离散系统的状态方程表现为一阶差分联立方程组的形式。〈输出方程nn〈如果是线性时不变系统，则状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，即：状态方程〈…输出方程〈＋d21x1(n)＋d22x2(n)＋…＋d2mxm(n)|…2．由系统的输入－输出差分方程建立状态方程对于离散系统通常用下列k阶差分方程描述k表示成算子形式为 传输算子为 (图见视频)〈表示成矢量方程的形式为其中可见根据离散系统的传输算子来列写系统的状态方程其步骤和结果与连续系统是一样的。3．由给定系统的方框图或流图建立状态方程给定系统的方框图或流图，只要取延时单元的输出作为状态变量便可建立系统的状态方程。作为状态方程与输出方程，在形式上是相同的，就是由输入量、输出量、状态变量以及联系它们之对连续系统状态方程和输出方程形式为··对离散系统状态方程和输出方程形式为五、离散时间系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解和连续系统的求解方法相似，包括时