吴大正《信号与线性系统分析》考研考点讲义

目录第一章信号与系统 (2)第二章连续系统的时域分析 (9)第三章离散系统的时域分析 (12)第四章傅里叶变换和系统的频域分析 (18)第五章复频域分析 (29)第六章离散系统的Z域分析 (38)第七章系统函数 (45)第八章系统的状态变量分析 (53)吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲1．信号与线性网络分析1980年6月人民教育出版社2．信号与线性系统分析(二版)1986年3月高等教育出版社3．信号与线性系统分析(三版)1998年10月高等教育出版社4．信号与线性系统分析(四版)2005年8月高等教育出版社2．名校考研真题及典型题的分类解析3．课程前后内容的整体串讲及模拟试题分析第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章信号与系统连续系统的时域分析离散系统的时域分析傅里叶变换和系统的频域分析连续系统的S域分析离散系统的Z域分析系统函数系统的状态变量分析—2—TT本章重点框架图系统系统离散时间信号离散时间信号别及周期T的计算①连续信号TT2TTT的最小公倍数吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—3—2π2π②离散信号NN2序列sin(βk)不一定为周期序列 (1)单位阶跃函数ε(t)||dxtε(t)—4— (2)单位冲激函数δ(t)tt≠0tt≠0)dt＝1fttfδ(t)f(t)δ(t－t0)＝f(t0)δ(t－t0)④t)dt＝f(0)t－t0)dt＝f(t0)⑤t)dt＝－f′(0)⑥f(t)δ′(t)＝f(0)δ′(t)－f′(0)δ(t)吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—5—at＝δ′(t)ni＝1f′(ti)⑨δ[f(t)]＝∑1ni＝1f′(ti) (1)单位阶跃序列ε(k)＝ (2)单位序列①f(k)δ(k)＝f(0)δ(k)②f(k)δ(k－i)＝f(i)δ(k－i)③δ(k)＝ε(k)－ε(k－1)④ε(k④ε(k)＝∑δ(i)＝∑δ(k－i)①时移i＝－w①时移②反折t③尺度变换f(t)在tf(t)在t轴压缩到f(t)在t轴扩展到()倍—6—吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—7—连续系统离散系统数学方程微分方程差分方程系统函数H(jω)H(ejθ)状态空间描述·①线性系统②时不变系统③因果系统④稳定系统 (1)线性系统①分解性②零输入线性③零状态线性 (2)时不变系统t0—→t0—→ft－t0)—→yzs(t－t0)线性时不变系统为线性常系数微分方程 (3)因果系统0f(t)0—→—→yzs(t)kk (4)稳定系统0f(t)0—→—→yzs(t)离散系统的分类与上述类似i＝0ftyt2－kx(0)＋(k－2)f(k)吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—9—本章重点框架图：|||连续系统的时域分析〈冲激响应h(t)|卷积积分无法确定，可知经典法的应用范围很有限 (1)零输入解yzi(t)0 (2)零状态解yzs(t)0f(t)0—→—→yzs(t)①f(t)表示为一系列基本信号的和f(t)＝)δ(t－τ)dτ②基本信号的响应—————→—————→0—→③迭加求和 (1)因果系统—————→—————→—→th(0－)＝h′(0－)＝0一般情况：则有：hn－1(0＋)＝1hn－2(0＋)＝…＝h′(0＋)＝h(0＋)＝0 (2)有始信号yzs(t)＝t－τ)dτ0 (2)应用迭加：f1(t)*f2(t)＝)f2(t－τ)dτ①交换律f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t)吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲②结合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)＝f1(t)*[f2(t)*f3(t)]③分配律④时移则f1(t－t0)*f2(t)＝f(t－t0)⑤微分dtf1(t)*f2(t)]＝dtdtf1(t)*f2(t)]＝dt*f2(t)＝f1(t)*dt⑥积分)*f2(t)dt＝)dx*f2(t)＝f1(t)*)dx从而有：f1(t)*f2(t)＝)dx*＝*)dx①f(t)*δ(t)＝f(t)②f(t)*δ(t－t0)＝f(t－t0)③f(t)*δ′(t)＝f′(t)④f(t)*ε(t)＝)dxftk＝k)dτ(k为常数)本章重点框架图kf(k)f(k)y(k)与f(k)之间的数学方程为差分方程 (1)差分前向差分Δf(k)＝f(k＋1)－f(k)后向差分Vf(k)＝f(k)－f(k－1)二阶差分V2f(k)＝V[Vf(k)]＝V[f(k)－f(k－1)]＝Vf(k)－Vf(k－1)＝f(k)－f(k－1)－[f(k－1)－f(k－2)]＝f(k)－2f(k－1)＋f(k－2) (2)差分方程每月存入f(k)元(前一时存入)利息β元／元，月按照复息计，试求：一年的本利为多少元设第k个月月初的本利为y(k)元一般差分方程可写成以下两种形式①前向差分方程吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲②后向差分方程【例】y(k)＋5y(k－1)＋6y(k－2)＝2f(k－1)＋f(k－2)kA0 (1)齐次解特征方程：特征根：①若λi为不相等的单根②若在λ处有r阶重根 (2)特解yp(k) (3)全解y(k)＝yh(k)＋yp(k)代入初始条件求出系数ci若f(k)为任意信号，yp(k)无法求，可见经典法的应用很有限|||||tx|||||tx(0)|ty(k)kA0y(k)＋a1y(k－1)＋a0y(k－2)＝b1f(k－1)＋b0f(k－2)|t|tx(0)|tyzi(k) (3)yzs(k)＝f(k)*h(k)|t|tδ(k)|th(k)k (3)yzs(k)＝f(k)*h(k)|t|tδ(k)|th(k)yi例如：y(k)＋y(k－1)＋y(k－2)＝f(k)k|tyzs(|tyzs(k)|||||t0fk (1)f(k)的分解 (2)单位响应δ(k)0|t|th(δ(k)00f(i)δ(k－i)tf(i)h(k－i)i＝－wi＝－wf(i)δ(k－i)tf(i)h(i＝－wi＝－w|tδ(k)0|th|tδ(k)0描述系统的数学方程为：吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲求h(k)的方程为：k0h(k)＋an－1h(k－1)＋…a0h(k－n)引入辅助方程k0yzs(k)＋yzs(k－1)－yzs(k－2)＝2f(k)－3f(k－1)，求单位响应h(k)．【解】k0h(k)＋h(k－1)－h(k－2)＝2δ(k)－3δ(k－1)引入辅助方程f1(k)*f2(k)＝f1(i)f2(k－iki＝0则f1(k)*f2(k)＝1(i)f2(k－iki＝0 (1)交换律f1(k)*f2(k)＝f2(k)*f1(k) (2)分配律f1(k)*[f2(k)＋f3(k)]＝f1(k)*f2(k)＋f1(k)*f3(k) (3)结合律[f1(k)*f2(k)]*f3(k)＝f1(k)*[f2(k)*f3(k)] (4)位移若f1(k)*f2(k)＝f(k)则f1(k－k1)*f2(k－k2)＝f(k－k1－k2)(1)f(k)*δ(k)＝f(k)(2)f(k)*δ(k－k0)＝f(k－k0)(3)ε(k)*ε(k)＝(k＋1)ε(k) (1)图解法f1(k)*f2(k)＝f1(i)f2(k－if2(－i)反褶f2(k－i)位移f1(i)f2(k－i)相乘1(i)f2(k－i)求和其余 (2)利用δ(k)的卷积求 (3)不进位乘法(有限长序列适用)f(k)＝f1(k)*f1(k)＝f1(i)f2(k－i＝…＋f1(－1)f2(k＋1)＋f1(0)f2(k)＋f1(1)f2(k－1)＋…＋f1(i)f2(k－i)＋…f(k)等于所有两序号之和为k的样本乘积之和 (4)按定义求f1(k)*f2(k)＝f1(i)f2(k－ikk (2)ε(k＋1)*δ(k－1)－ε(k－1)*δ(k)＝[0，δ(k)，δ(k－1)，ε(k)，ε(k－1)] (3)若f1(k)*f2(k)＝f(k)，则f(1)＝，f(2)＝．吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲 kk某离散系统y(k)＝f(k)＋eay(k－1)，求单位响应h(k)及其阶跃响应g(k)．试求ε(－k＋1)*()kε(k)．求2－kε(－k)*3－kε(k)．描述LTI系统数学方程为：k0y(k)＋4y(k－1)＋4y(k－2)＝f(k)－f(k－1)yzsk)．fkyzskkk，试用时域法求系统单位响应h(k)．8本章重点框架图一、周期信号的分析—傅里叶级数二、非周期信号的分析—傅里叶变换一、周期信号的分析—傅里叶级数TTT t吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲9 (2)数的指数形式n－wn＝－wn－wn＝－w其中TT22τ222τ2TnΩT2FnFnejφn (1)离散性 (2)谐波性 (3)收敛性—20— (1)f(t)为偶函数f(t)＝f(－t)T·nnn2n (2)f(t)为奇函数f(t)＝－f(－t)T·· (3)f(t)为奇谐函数f(t)＝－f(t－)·An~nΩ的关系曲线—单边谱Fn~nΩ的关系曲线—双边谱T二、非周期信号的分析—傅里叶变换频谱密度函数：F(jω)＝F(jω)ejφω量纲为单位频率的振幅 (1)F(jω)的奇偶性吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—21—F(jω)＝F(jω)ejφω＝R(ω)＋jx(ω)R(ω)＝F(jω)cosφ(ω)x(ω)＝F(jω)sinφ(ω)ττ (2)f(t)的奇偶性ft＝f(－t)F(jω)＝R(ω)F(jω)为ω的实函数，而且为ω的偶函数F(jω)＝jx(ω)F(jω)为ω的虚函数，而且为ω的奇函数2．常用信号的F(jω) (1)δ(t)一1 (2)1一2πδ(ω) (3)δ′(t)一jωδn(t)一(jω)n (4)ε(t)一πδ(ω)＋1jω (6)Sa(at)一g2a(ω)—22— (7)sgn(t)一2jω (8)e－αtε(t)一1α＞0α＋jω (9)e－αt一α＞0 (10)e－αtε(t)－eαtε(－t)一α＞0 twf(t±t0)一F(jω)e±jωt0f(t)e±jω0t一F[j(ω千ω0)]调制定理若f(t)一F(jω)f(t)sinω0t一{F[j(ω－ω0)]－F[j(ω＋ω0)]}求：F2(jω)吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—23—若f(t)一F(jω)，则：F(jt)一2πf(－jω)f1(t)*f2(t)一F1(jω)·F2(jω)f1(t)·f2(t)一F1(jω)*F2(jω)dt一jωFdt一jωF(jω)fn(t)一(jω)nF(jω))d(x)一πF(0)δ(ω)＋若F(0)＝0则)d(x)一－jtf(t)一F(jω)(－jt)nf(t)一F(jω)πf(0)δ(t)＋一 (1)能量谱E(ω)＝F(jω)2 (2)功率谱T平均功率P＝)dt—24— F(jω)2T→w F(jω)2T→wTP【例2】[2009北京邮电大学](三画图题2小题) (1)画出双边幅度谱和相位谱。 (2)计算并画出信号的功率谱。 (1)幅度谱相位谱 P(ω)＝{42[δ(ω－10π)＋δ(ω＋10π)]＋62[δ(ω－20π)＋δ(ω＋20π)]＋22[δ(ω－40π)＋δ(ω＋40π)]}吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—25—＝2π{4[δ(ω－10π)＋δ(ω＋10π)]＋9[δ(ω－20π)＋δ(ω＋20π)]＋[δ(ω－40π)＋δ(ω＋40π)]}13．周期信号的F(jω) (1)F(jω)＝2πFnδ(ω－nΩ)T (2)F(jω)＝ΩF1(jnΩ)δ(ω－nΩ)其中：F1(jnΩ)＝F1(jω)ω＝nΩ函数H(jω) (1)已知系统方程tytyty(t)＝3f′(t)＋f(t) (2)已知系统结构 (3)已知系统模拟框图—26—yzs(jω)＝F(jω)H(jω)0f(t)0—→—→yzs(t) (1)无失真： (2)无失真传输条件域h(t)＝kδ(t－td)f(t)—→H1(jω)—→h2(t)—→yzs(t)πωH1(jω)＝ω 2tftyzs(t)的关系为：吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—27— (1)求系统的频率响应H(jω)． (2)证明yzs(t)与f(t)的能量相等．t【例7】图示为取样示波器中取样电路原理图．4已知输入周期信号f(t)的频谱函数F(jω)＝m4δ(ω－mΩ)，式中Ω＝为基波角频率，T为周4SttnTsTsy(t)．[用f(t)的有关函数表示即可]T，H(jω)求输出—28— (1)冲击取样 (2)脉冲取样 (2)脉冲取样ωωHz行时域抽样，求最小抽样频率fs． (1)f(3t) (2)f2(t) (3)f(t)*f(3t)df(t) (4吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—29—本章重点框架图f(t)＝∫F(s)estdss＝σ＋jω(复频率)2．存在条件(充分条件) (1)部分S平面收敛①因果信号Re(s)＞σ0②反因果信号Re(s)＜σ0 (2)整个S平面均收敛f(t)为有始有终的有界信号—30— (3)S平面均不收敛 (1)部分S平面收敛Re(s)＞σ0 (2)S平面均收敛 (3)S平面均不收敛对于单边L变换f(t)一F(s)一一对应sss－αsss－αs＋αs－jβe－αtε(t)一1ejβtε(s＋αs－jβe－jβtε(t)一1s＋jβ吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—31—若f(t)一F(s)，则f(t－t0)ε(t－t0)一F(s)e－st0t00“周期信号”的F(s)ftftF(s)，则dt一SF(s)－f(0－)fn(t)一snF(s)－sn－1f(0)－sn－2f′(0)－…－fn－1(0)—32— (1)积分下限若为－wf1(t)*f2(t)一F1(s)·F2(s)8．S域卷积(时域相乘)f1(t)·f2(t)一F1(s)*F2(s)ftFsltjFdη吴大正《信号与线性系统分析》考点精讲—33—ft)tF(s)且limSF(S)存在，则f(0＋)＝limSF(S)stwstw若：f(t)tF(s)且f(w)存在，则f(w)＝limSF(S)st0 (1)部分分式展开 (2)留数法 (1)部分分式展开①F(s)有单阶极点n②F(s)有高阶极点B(s)B(s)k1