管致中《信号与线性系统》考研考点讲义

目录第一章绪论 (2)第二章连续时间系统的时域分析 (7)第三章连续信号的正交分解 (16)第四章连续时间系统的频域分析 (23)第五章连续时间系统的复频域分析 (28)第六章连续时间系统的系统函数 (39)第七章离散时间系统的时域分析 (45)第八章离散时间系统的变换域分析 (55)第九章线性系统的状态变量分析 (66)信号与线性系统(第四版)高等教育出版社管致中主编2．名校考研真题及典型题的分类解析3．课程内容的整体串讲及模拟试题分析第一章绪论第二章连续时间系统的时域分析第三章连续信号的正交分解第四章连续时间系统的频域分析第五章连续时间系统的复频域分析第六章连续时间系统的系统函数第七章离散时间系统的时域分析第八章离散时间系统的变换域分析第九章线性系统的状态变量分析—2—非能量／非功率信号(tε(t))第一章绪论【本章知识要点】 (1)相加、相乘 (2)延时 (3)尺度变换 (4)反褶(反转) (1)线性／非线性系统 (2)时不变／时变系统 (3)连续时间／离散时间系统 (4)因果／非因果系统—3—周期信号的判别及周期T的确定例： (依据)周期信号的傅里叶级数展开：2π2π12π故T＝Ω＝2π(s)π的最大公约数为Ωπ2π解①π≈3，该信号为周期信号能量信号与功率信号的判别2．信号的简单处理—都是针对时间“t”而变换的④尺度变换：f(t)→f(at)⑤反褶(反转)：f(t)→f(－t)例已知f(t)，求f(－2t－1)。—4—2反转步骤：f(t)—→f(t－1)—→f(2t－1)—→2反转2反转右3扩2反转步骤：f(t)幑幐f(t＋3)幑幐f(2t2反转右3扩2反转 (1)线性系统和非线性系统1°分解性2°零输入线性3°零状态线性判断方法： (1)先判别分解性 (2)再分别判别零输入响应和零状态响应是否具有线性性质例判断下列系统是否为线性系统—5—例判断下列方程所描述的系统是否为线性系统 (2)时不变系统和时变系统判断方法：先经系统再时移＝先时移再经系统例判断下列两个系统是否为时不变系统例判断下列方程所描述的系统是否为时不变系统结论：若系统方程为常系数微分(差分)方程，则系统是时不变的。 (3)连续时间系统和离散时间系统 (4)因果系统和非因果系统判断方法：响应不可能出现于激励之前 —6— —7—第二章连续时间系统的时域分析本章知识要点—n阶线性常系数微分方程＝零输入响应＋零状态响应 (1)零输入响应rzi(t)①转移算子H(p)则式(2－1)表示为 D(p)故 N(p)D(p)r(t)＝0—齐次方程D(p)＝0特征根λ1，λ2，…，λn(设均为单根)该系统的零输入响应，并指出自然频率。r该系统的零输入响应，并指出自然频率。 (2)零状态响应rzs(t)rzs(t)主要用卷积积分的方法来求，该部分在后续内容中详细讲解。说明：应用：用ε(t)及ε(t－ti)表示信号2．单位冲激函数δ(t)—9—a|a|定义： dt＝1ttftf(t)δ(t－t0)＝f(t0)δ(t－t0)δ′(－t)＝－δ′(t)②f(t)δ′(t)＝f(0)δ′(t)－f′(0)δ(t)④τ)dτ＝δ(t)t (3)y3(t)＝＋τ3)δ(1－τ)dτ (4)y4(t)＝τ＋τ)δ()dτ (1)一般情况：则 第二步：利用线性时不变系统的齐次性，可加性和微分性质，解特征根λ1＝－1λ2＝－2h′1(0＋)＝1h1(0＋)＝0故系统的冲激响应为练习： (1)定义： (2)求解：例求上题中的rε(t)。即rzs(t)＝e(t)*h(t)＝)h(t－τ)—卷积积分f(t)＝f1(t)*f2(t)＝)f2(t－τ)dτ系统的零状态响应等于系统的激励与系统冲激响应的卷积积分。 (1)卷积的代数运算①交换律f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t)ftftftft)*f2(t)＋f1(t)*f3(t)③结合律[f1(t)*f2(t)]*f3(t)＝f1(t)*[f2(t)*f3(t)] (2)函数与冲激函数的卷积f(t)*δ(t)＝δ(t)*f(t)＝)f(t－τ)dτ＝f(t)f(t)*δ(t－t1)＝f(t－t1)f(t－t1)*δ(t－t2)＝f(t－t1－t2) (3)卷积的微分与积分①卷积的微分：若f(t)＝f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t)②卷积的积分：若f(t)＝f1(t)*f2(t)＝f2(t)*f1(t)f(t)*ε(t)＝f(t)*)dτ＝)dτ③卷积的微分与积分：④函数延时后的卷积若f1(t)*f2(t)＝f(t)则f1(t－t1)*f2(t－t2)＝f(t－t1－t2) (1)用定义求例①求ε(t)*ε(t)etε(t)*e－3tε(t) (2)图解法f(t)＝f1(t)*f2(t)＝)f2(t－τ)dτ步骤：①f1(t)→f1(τ)反褶时延②f2(t)→f2(τ)—→f2(－τ)—→f2(反褶时延③求)f2(t－τ)dτf1(τ)·f2(t－τ)＝0故f1(t)*f2(t)＝)f2(t－τ)dτ＝0t－τ2t－τ2f1(t)*f2(t)·t－2τdτ＝t2⑤t4ftft＝0波形：((|f(t)*f(t)＝〈| 24，t0其它t说明：积分上下限和卷积结果区间的确定1．积分上下限：由f1(τ)·f2(t－τ)≠0的范围确定2．卷积结果区间一般规律：f1(t)*f2(t)下限上限 D]B＋D] (3)用性质求例①求ε(t－1)*ε(t－5)第三章连续信号的正交分解【本章知识要点】一、周期信号的分析—傅里叶级数定义性质二、非周期信号的分析—傅里叶变换{定义性质、周期信号的傅里叶变换一、周期信号的分析—傅里叶级数任意一个代表信号的函数可以用直流分量和一系列谐波分量之和来表示。nnaaaa)说明：只有函数f(t)满足Dirichlet条件时，f(t)才可以分解为谐波分量。)例 (1)f(t)为偶函数f(t)＝f(－t)n (2)f(t)为奇函数f(t)＝－f(－t)T (3)f(t)为奇谐函数f(t)＝－f(t＋2)TT (4)f(t)为偶谐函数f(t)＝f(t＋2)例利用信号的奇偶性，判断下图中信号的傅里叶级数所包含的分量。例已知周期信号f(t)前四分之一周期的波形，按以下条件绘出整个周期的信号波形：f(t)是t的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波。二、非周期信号的分析—傅里叶变换Fje－jωtdtf(t)一F(jω)频谱密度函数F(jω)＝F(jω)ejφ(ω)ft条件：t)dt＜w t1 (2)1一2πδ(ω) (3)δ′(t)一jω (4)ε(t)一πδ(ω)＋1jω (5)e－αtε(t)一1(α＞0)α＋jω (6)e－αtε(t)一(α＞0) jω (2)延时f(t±t0)一F(jω)e±jωt0 (3)移频f(t)ejωct一F[j(ω－ωc)]例求该信号的傅里叶变换 (4)尺度变换—20—f(at)一F(j)例求e－2tε(t＋1)的傅里叶变换 (5)奇偶性F(jω)的奇偶性Fjejω)①② (6)对称性若f(t)一F(jω)则F(jt)一2πf(－ω)例2求的傅里叶变换例3求的傅里叶变换 (7)时域微分一(jω)nF一(jω)nF(jω)t)一jω例2求三角函数的频谱密度函数 (8)时域积分jtwfτ)dτ一πF(0)δ(ω)＋—21—其中F(0)＝F(jω)ω＝0＝例求f(t)的傅里叶变换 (9)频域微分(－jt)f(t)一例求tε(t)的傅里叶变换 (10)卷积定理时域卷积定理：f1(t)*f2(t)一F1(jω)F2(jω)2π频域卷积定理：f1(t)f2(t)一1F1(jω)*F2(jω2π例1求下图信号的傅里叶变换周期信号的频谱函数是一个冲激序列，各个冲激位于各次谐波频率处，各冲激的强度分别等于各次谐波复振幅的π倍。例求δT(t)的傅里叶变换练周期信号的频谱函数是一个冲激序列，各个冲激位于各次谐波频率处，各冲激的强度分别等于各次谐波复振幅的π倍。例求δT(t)的傅里叶变换练求f(t)的傅里叶变换—22—周期信号的平均功率在各次谐波中分布，其功率等于直流功率与各次谐波功率之和。例已知f(t)的频谱函数为F(jω)，求下列各值。 (1)ω)dω (2)ω)2dω—23—第四章连续时间系统的频域分析【本章知识要点】一、频率响应H(jω)及在系统分析中的应用一、频率响应H(jω)及在系统分析中的应用响应H(jω) (1)定义E(jω)·H(jω)＝R(jω)H(jω)＝＝F[h(t)]H(jω)＝H(jω)ejφ(ω) (2)求解方法②已知系统结构2．零状态响应Rzs(jω)＝E(jω)·H(jω) (1)求系统的频率响应H(jω)—24— jejetcosntrtn＝1n (1)求复合系统的频率响应H(jω)和冲激响应h(t)； ①调制：由待传输的低频电信号(调制信号)，去控制另一个高频振荡信号的振幅、频率或初相位等参数之一。幅度调制(AM)：用调制信号去控制高频振荡信号的振幅，使振幅不再是常数，而是按调制信号的规律在变化，该调变振幅的过程成为~。频率调制(FM)：调变的是高频振荡信号的频率相位调制(PM)：调变的是高频振荡信号的初相位另外：脉冲调制：用调制信号去控制一个脉冲序列的脉冲幅度，脉冲宽度或脉冲位置等参数之一。说明：—25—ωc＝2πfc—载频②解调：从已调信号中恢复或取出调制信号的过程，是调制的逆过程。①调制：频谱图：②解调：—26—说明：调制解调中的载波必须严格地同频同相，否则无法恢复原信号的频谱结构，从而发生信号失真。n1n1n1mn＝：表示调制信号中n次谐波分量对载频幅度控制程度，称为部分调幅系数。n1—27—nmnnn1调幅信号的频谱 (1)部分调幅系数； (2)此调幅信号加到1kΩ电阻上产生的平均功率、载波功率与边频功率。无失真传输的条件：—28—第五章连续时间系统的复频域分析【本章知识要点】三、拉普拉斯变换的基本性质五、线性系统的拉普拉斯变换分析法为什么引入拉普拉斯变换？2．收敛区(收敛域)把f(t)e－σt满足绝对可积的σ值的范围称为收敛区通常f(t)是指数阶函数且有分段连续的性质单边拉普拉斯变换的收敛区为某条直线的右半边平面—29—ttwσ＞σ0：收敛条件σ0：收敛坐标 (1)单个脉冲信号：收敛区为全S平面 (2)单位阶跃信号ttw (3)指数函数eαtttwttw若f(t)的拉普拉斯变换收敛区包括jω轴在内，则F(s)＝F(jω)jω＝s；若f(t)的拉普拉斯变换收敛区不包括jω轴在内，则F(s)必须由积分式求得。1．δ(t)t1s－α3．ε(t)ts－α3．ε(t)t4．tnε(t)t5．tε(t)t，t2ε(t)t10．δ′(t)ts设f1(t)tF1(s)f2(t)tF2(s)，—30—例求下图中f(t)的拉普拉斯变换sf若f(t)为因果信号，即t＜0时f(t)＝0，则一sdtn—31—例求f(t)的拉普拉斯变换设f(t)tF(s)，则(－t)f(t)tt (1)设f(t)及f′(t)存在，并有拉普拉斯变换，则tt0＋stw (2)若f(t)在t＝0处有冲激及其导数，则stw设f(t)及f′(t)存在，并有拉普拉斯变换，且F(s)的所有极点都位于s左半平面内(包括在原点处的单极点)ttwst0例求F(s)＝原函数的初值f(0＋)和终值f(w)时域卷积：f1(t)*f2(t)tF1(s)·F2(s)1．部分分式展开法(F(s)为有理函数)．留数法(围线积分法)—32—mn：F(s)表示为多项式与真分式之和(长除法)多项式：其原函数为冲激函数及其各阶导数之和。 nFs＝的原函数f(t) s—33—2．留数法(围线积分法)—真分式左边的积分：S平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线C左边的积分：S平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线C进行n p Fs＝ 结合拉普拉斯变换的基本性质求反变换。例1求()例1求()的拉普拉斯反变换s例2求下列函数的拉普拉斯反变换 (1) (1) (3)()s—60—·m＝2f(k－2)ε(k)一z－2F(z)＋z－1f(－1)＋f(－2)＝ε(k)，求yzi(k)yzs(k)及y(k)。注意：初始条件(二阶系统)方程：y(0)，y(1)ykykyk)＝f(k)－f(k－1)，y(0)＝1，y(1)＝1f(k)＝ε(k)。求yzi(k)，yzs(k)及y(k)。 (1)定义H( (2)系统函数的零点和极点m m j＝j＝1 (3)系统函数的求法①对零状态系统的差分方程做z变换即可求得H(z)例1y(k)＋4y(k－1)＋4y(k－2)＝f(k)＋2f(k－1)求H(z)③由系统的z域模拟图求H(z)④有信号流图根据梅森公式求H(z)，即H＝PiΔi—61— (4)系统函数的应用例若f1(k)＝ε(k)－ε(k－2)则yzsi(k)＝2ε(k)，求f2(k)＝ε(k)时yzs2(k)＝？③由H(z)写系统的差分方程，也可画模拟图及信号流图。 ④由H(z)的极点分布判断系统的稳定性 (1)系统各队复正弦序列的稳态响应当f(k)＝ejωk时yzs(k)＝f(k)*h(k)＝∑h(i)ejω(k－i)∴yzs(k)＝H(jω)ej[ωk＋φ(ω)]结论：系统对复正弦序列的稳态响应仍是同频率的离散指数复正弦序列。 (2)系统各队正弦序列的稳态响应yk)＋2y(k－1)＋3y(k－2)＝f(k－1)，求频率响应。时域模型频域模型数乘器af(k)—→af(k)a加法器延时单元延时单元 (零状态)—62—例1ykykyk2)＝f(k)＋f(k－1) (1)求h(k) (2)判断系统的稳定性 fkcos，求稳态响应。 (1)信号流图常用术语，简化规则，梅森公式等在第五章已讲到。梅森公式：H＝PiΔi例163— (2)系统模拟1°直接模拟2°并联模拟3°级联模拟例1y(k)－y(k－1)＋y(k－2)＝f(k)＋f(k－1) (1)系统的因果性■(响应不出现z的正幂)Z域：■H(z)的收敛区必在某圆外 (2)系统的稳定性离散系统的判稳准则：H(z)的极点全部位于单位圆内。系统稳定列表行123456anar1—64—aaaannnaanaaa朱里准则：D