2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年吉林省长春市南关区多校联考中考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.−2024的绝对值是(

)A.2024 B.−2024 C.12024 D.2.长春市地铁6号线路总长约为29570m.数字29570用科学记数法表示是(

)A.29.57×103 B.2.957×104 C.3.将“祝你考试成功”这六个字分别写在一个正方体的六个面上．若这个正方体的展开图如图所示，则在这个正方体中，与“你”字相对的字是(

)A.考 B.试 C.成 D.功4.若等式2a□a=2a2一定成立，则□内的运算符号为(

)A.+ B.− C.× D.÷5.不等式2x−2≤0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.6.如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD=2BD，过点D作DE/​/BC交AC于点E.若AE=2，则AC的长是(

)A.4B.3

C.2D.17.如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为4，则△BCF的面积为(

)A.16B.12

C.8D.68.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF.若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为(

)A.125B.32

C.2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.分解因式：4a2−4a+1=10.甲、乙两人一起在体育场锻炼，体育场跑道每圈400米，甲跑了m圈，乙跑了n圈．甲两人共跑了______米．11.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是______．

12.如图，已知菱形ABCD的边长为2，B、C两点在扇形AEF的弧EF上，∠EAF=120°，则图中阴影部分图形的面积之和为______．

13.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式________．

14.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S▱ABCD=AC三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

先化简，再求值：m2m2−916.(本小题6分)

元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀.春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没⋅逆转时空》《第二十条》.小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B，《第二十条》表示为C.假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等.请用列表法或画树状图法中的一种方法，求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．17.(本小题6分)

某公司在准备元旦联欢会时购进了A、B两种花束，其中A花束的单价比B花束的单价少9元，用3120元购买的A花束与用4200元购买的B花束的数量相同，求A花束的单价．18.(本小题7分)

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，12AC，12BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP．

(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

(2)请说明当▱ABCD19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、M、N均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．

(1)在图①中，找一格点C，连接AC，使∠BAC=45°；

(2)在图②中，在线段MN上找一点C，连接AC，使∠BAC=45°；

(3)在图③中，经过点A、B、M作圆，在优弧AB上找一点C，连接AC，使∠BAC=45°．20.(本小题7分)

某校组织了一批学生随机对部分市民就是否吸烟以及吸烟和非吸烟人群对他人在公共场所吸烟的态度(分三类：A类表示主动制止；B类表示反感但不制止；C类表示无所谓)进行了问卷调查，根据调查结果分别绘制了如下两幅统计图．

请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)这次被调查的市民有多少人？

(2)估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数．

(3)结合本次调查结果，谈谈你对本市市民对他人在公共场所吸烟所持态度的看法．21.(本小题8分)

甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：

(1)求甲、乙两车的速度

(2)求乙车从B地返回的C地的过程中，y与x之间的函数关系式．

(3)当甲、乙两车行驶到距离B地的路程相等时，行驶时间x是多少？(请直接写出x的值)22.(本小题9分)

【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB=4，BC=3.将△BAD绕着点B顺时针旋转α度(0°<α<360°)得到△BEF，点A、D的对应点分别为E、F.若点E落在BD上，如图①，则DE=______．

【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G.其它条件不变，如图②．

(1)求证：△ADB≌△EDB；

(2)CG的长为______．

【拓展】连结CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S，直接写出S的取值范围．

23.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD为斜边AB的中线.点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到四边形PECF，CD与四边形PECF的一边交于点G，连结PC.设点P的运动时间为t秒.(1)求线段CF的长.(用含t的代数式表示)

(2)当四边形PECF是正方形时，求t的值．

(3)当CD将四边形PECF的面积分为1：3两部分时，求t的值．

(4)作点G关于直线PC的对称点G′，当点G′落在四边形PECF内部时，直接写出t的取值范围．24.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)顶点M的坐标为(2,−5)，点P、点Q均在这个抛物线上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为2−m，将此抛物线上P、Q两点之间的部分(包括P、Q两点)记为图象G．

(1)求b和c的值．

(2)当点P与点Q重合时，求点P的坐标．

(3)当顶点M在图象G上时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为d，求d与m之间的函数关系式．

(4)矩形ABCD的顶点分别为A(2m−1,2)、B(1−m,2)、C(1−m,−3)，当图象G在矩形ABCD内部的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m参考答案1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.(2a−1)10.(400m+400n)

11.18m

12.2π313.a214.①③④

15.解：原式=m2m2−9÷mm−3

=m2m16.解：依题意，列树状图如下：

共有9种情况，满足小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的情况有3种，

则小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率=39=17.解：设A花束的单价为x元，则B花束的单价为(x+9)元，

由题意得：3120x=4200x+9，

解得：x=26，

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，

答：A18.解：(1)四边形BPCO为平行四边形．

理由：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OC=OA=12AC，OB=OD=12BD，

∵以点B，C为圆心，12AC，12BD长为半径画弧，两弧交于点P，

∴OB=CP，BP=OC，

∴四边形BPCO为平行四边形；

(2)当AC⊥BD，AC=BD时，四边形BPCO为正方形．

∵AC⊥BD，

∴∠BOC=90°，

∵AC=BD，OB=12BD，OC=1219.解：(1)如图1所示，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABC，即为所求；

(2)如图2所示，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABD，则AD与MN交于点C，即为所求；

(3)如图3所示，以AB为直角边，点B为顶角作出等腰直角三角形ABD，则AD与圆交于点C，即为所求．

20.解：(1)(80+50+20)÷75%=200(人)，

答：这次被调查的市民有200人；

(2)700×80+8200=308(万人)，

答：估计该市700万名市民中吸烟人群对他人在公共场所吸烟态度为“主动制止”的人数大约为308万人；

(3)由统计图可知，大部分人对他人在公共场所吸烟持反感但不制止或无所谓的态度，这使得在公共场所吸烟的现象不能得到有效控制，为了大家更健康的生活，请在公共场所吸烟的烟民不要在公共场所吸烟(答案不唯一21.解：(1)由已知图象得：甲的速度为：(600+300)÷7.5=120(千米/小时)，

乙的速度为(300+300)÷(8−0.5)=80(千米/小时)；

(2)设乙车从B地返回到C地的函数解析式是y=kx+b(k≠0)，

∵乙的速度为80千米/小时，

∴乙到B地的时间是300÷80=154(小时)，

∵到达B地并在B地停留半小时后，按原路原速返回到C地，

∴返回是在154+12=174(小时)出发的，

∴图象经过(174,0)，(8,300)两点．

∴174k+b=08k+b=300，

解得：k=80b=−340，

∴y=80x−340，

答：乙车从B地返回到C地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=80x−340(174≤x≤8)；

(3)∵甲车的速度是120千米/小时，

∴甲车从A地到B地的函数解析式是y=−120x+600(0≤x≤5)，

甲车从B地到C地的函数解析式是y=120(x−5)，

22.1

7823.解：(1)∵∠ACB=90°，PE⊥AC，PF⊥BC，

∴四边形PECF是矩形，

∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=62+82=10，

由题意得AP=5t，sinA=PEAP=BCAB=810=45，

∴CF=PE=4t；

(2)由(1)得AE=AP2−PE2=3t，

∴CE=6−3t，

当四边形PECF是正方形时，则CE=CF，即6−3t=4t，

解得t=67；

(3)分两种情况讨论，

当S△CGF=14S矩形PECF时，如图，

∵CD为斜边AB的中线，

∴DC=DB，

∴∠DCB=∠DBC，

∴tan∠DCB=tan∠DBC，

∴FGCF=ACBC=68=34，

∴FG=3t，

∴12×CF×FG=14×CE×CF，即CE=2FG，

∴6−3t=2×3t，

解得t=23；

当S△CGE=14S矩形PECF时，如图，

同理得EG=43(6−3t)，由12×CE×EG=14×CE×CF，即CF=2EG，

∴4t=2×43(6−3t)，解得t=43；

综上，t的值为23秒或43秒；

(4)∵点G与点G′关于直线PC对称，

∴GG′⊥AP，

当点G′落在AC边上时，如图，

此时CG=CG′，PG=PG′，∠PCG=∠PCG′，

∵PF//AC，

∴∠CPG=∠PCG′，

∴∠CPG=∠PCG，

∴PG=CG，

∴四边形CG′PG是菱形，

由(3)得CF=4t，FG=3t，

∴PG′=CG′=CG=5t，

∴PG′=AP，

∵PE⊥AC，

∴AE=EG′=3t，

∴3t+3t+5t=624.解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c顶点M的坐标为(2,−5)，

∴抛物线的解析式为y=(x−2)2−5=x2−4x−1，

∴b=−4，c=−1；

(2)∵点P与点Q重合，

∴m=2−m，

解得：m=1，

当x=1时，y=12−4×1−1=−4，

∴点P的坐标为(1,−4)；

(3)∵抛物线的解析式为y=(x−2)2−5，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，且开口向上，

∵顶点M在图象G上，

∴图象G的最低点的纵坐标为−5，

当点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧时，此时m<2且2−m>2，即m<0，

∵2−m>2−m−2，

∴图象G最高点的纵坐标等于点P的纵坐标，即m2−4m−1，

∴d=m2−4m−1−(−5)=m2−4m+4；

当点P在对称轴的右侧