《信号与系统》-(中文电子课件) 第四章连续时间信号的傅里叶表示

第四章连续时间信号的傅里叶表示主讲老师：廖斌4.1引言：为什么引入频域分析？

为什么引入频域分析？时域信号分析方法（本质上也可以看做是一种变换）

信号分解信号重构

一叶障目不见森林4.1引言：为什么引入频域分析？仅从语音某个时间点的音高值无法了解整个语音的声调、韵律和节奏等信息。语音信号图像信号仅从图像某个空间位置的像素点值无法了解图像的纹理结构。

41.引言：为什么引入频域分析？女生声音时域波形男生声音时域波形如何分析男生女生声音的特性？4.1引言：为什么引入频域分析？信号的时域波形含噪信号的时域波形如何滤除信号中的噪声？4.1引言：为什么引入频域分析？数字键‘1’的时域波形数字键‘2’的时域波形4.1引言：为什么引入频域分析？信号时域分析与处理存在局限性

4.2信号的正交分解与变换矢量正交与正交分解(OrthogonalDecompositionofVectors)信号正交与正交函数集(OrthogonalDecompositionofSignals)

信号的表示(RepresentationofSignals)4.2信号的正交分解与变换

由两两正交的矢量构成的集合，称之为正交矢量集。

所构成的集合就是一个正交矢量集4.2信号的正交分解与变换

4.2.1信号正交与正交函数集

4.2.1信号正交与正交函数集

3、完备正交函数集

则称此函数集为完备正交函数集。

4.2.2信号的正交分解

4.2.2信号的正交分解为使上式最小，根据多元函数拉格朗日极值定理，有

展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为

所以系数4.2.2信号的正交分解代入误差公式，得最小均方误差

4.2.3帕塞瓦尔守恒定律

上式称为帕塞瓦尔定理(Parseval公式)

4.3周期信号的傅里叶级数三角函数的傅里叶级数表示复指数形式的傅里叶级数表示

周期性矩形信号的频谱特性4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶(JeanBaptisteJosephFourier),法国数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出周期函数可以展成三角函数的无穷级数。1822

年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论由此创始。4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

解：

4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

三角谐波形式

将上式同频率项合并，可写为

4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

4.3.1三角函数形式的傅里叶级数

将上式化为余弦形式

解：

谱系数:

4.3.2指数形式的傅里叶级数

利用Euler公式，将余弦项拆成共轭的复指数之和

三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：4.3.2指数形式的傅里叶级数

4.3.2指数形式的傅里叶级数

4.3.2指数形式的傅里叶级数

4.3.2指数形式的傅里叶级数

复指数傅里叶变换对

幅度频谱相位频谱4.3.2指数形式的傅里叶级数

直流分量基波分量

2次谐波分量

4.3.2指数形式的傅里叶级数

解:根据指数形式傅里叶级数的定义可得

4.3.2指数形式的傅里叶级数

幅度谱

相位谱

4.3.3三角形式与指数形式的傅里叶级数之间联系

4.3.3三角形式与指数形式的傅里叶级数之间联系

三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图

4.3.4周期性矩形信号的傅里叶级数

4.3.4周期性矩形信号的傅里叶级数

4.3.4周期性矩形信号的傅里叶级数离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。主要能量在第一过零点内。主带宽度为：

4.3.5函数对称性与傅里叶级数偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数4.3.5函数对称性与傅里叶级数1、偶函数信号波形相对于纵轴是对称的

4.3.5函数对称性与傅里叶级数2、奇函数信号波形相对于纵轴是反对称的

傅里叶级数展开式中只包含正弦分量，没有直流分量。4.3.5函数对称性与傅里叶级数3、奇谐函数若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：

4.3.5函数对称性与傅里叶级数

证明：4.3.5函数对称性与傅里叶级数

4.3.5函数对称性与傅里叶级数3、偶谐函数

4.4非周期信号的傅里叶变换

4.4.1傅里叶变换的定义周期信号非周期信号

为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。4.4.1非周期信号的傅里叶变换

频谱密度函数定义：

4.4.1非周期信号的傅里叶变换

虚指数信号的振幅为

连续非周期信号的傅里叶变换对4.4.2傅里叶变换存在的条件(1)非周期信号在其定义区间上绝对可积(2)在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。(3)在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些间断点必须是有限值。连续非周期信号x(t)存在傅里叶变换的(Dirichlet)条件:

4.4.3基本信号的傅里叶变换

矩形脉冲信号单边指数信号直流信号单位阶跃信号单位冲激信号4.4.3基本信号的傅里叶变换例1计算矩形脉冲信号的傅里叶变换，并画出频谱图。解：

4.4.3基本信号的傅里叶变换

幅度频谱相位频谱4.4.3基本信号的傅里叶变换例2计算单边指数信号的傅里叶变换，并画出频谱图。

4.4.3基本信号的傅里叶变换幅度频谱相位频谱

4.4.3基本信号的傅里叶变换例3计算直流信号的傅里叶变换，并画出频谱图。由于直流信号不满足绝对可积的条件，无法直接根据傅里叶变换的定义进行求解。因此，构造辅助函数解：4.4.3基本信号的傅里叶变换例3计算直流信号的傅里叶变换，并画出频谱图。

04.4.3基本信号的傅里叶变换例4

计算阶跃信号的傅里叶变换，并画出频谱图。

4.4.3基本信号的傅里叶变换

例4计算阶跃信号的傅里叶变换，并画出频谱图。

4.4.3基本信号的傅里叶变换

4.4.3基本信号的傅里叶变换

4.4.3基本信号的傅里叶变换

4.4.3基本信号的傅里叶变换

4.5傅里叶变换的性质

傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解在通信系统领域中的应用。了解信号在时域的变化对应在频域中引起的变化；

4.5傅里叶变换的性质

线性性质

共轭对称性质尺度性质时移性质频移性质

微分性质

积分性质卷积性质能量守恒定律4.5傅里叶变换的性质

例：

线性性质4.5傅里叶变换的性质

对称性质4.5傅里叶变换的性质

对称性质证明：

4.5傅里叶变换的性质

尺度性质4.5傅里叶变换的性质

分析：脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。4.5傅里叶变换的性质

持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。能量守恒，幅度下降，频带必然展宽。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。4.5傅里叶变换的性质时域微分特性：

频域微分特性：

微分性质4.5傅里叶变换的性质例1计算三角函数的傅里叶变换解：4.5傅里叶变换的性质

解：

例1计算三角函数的傅里叶变换（续）4.5傅里叶变换的性质

解：4.5傅里叶变换的性质时域卷积特性

频域卷积特性

卷积性质4.5傅里叶变换的性质时域卷积定理的证明

4.5傅里叶变换的性质例3计算如图所示信号的傅里叶变换

解：

4.5傅里叶变换的性质帕什瓦尔能量守恒定理

非周期能量信号在时域中的归一化能量等于其在频域中的归一化能量，能量保持守恒。4.5傅里叶变换的性质

证明过程：4.5傅里叶变换的性质

根据Parseval能量守恒定理，可得

解：4.6周期信号的傅里叶变换

正弦信号的傅里叶变换

一般周期信号的傅里叶变换应用：单位冲激序列的傅里叶变换应用：周期序列的傅里叶变换4.6周期信号的傅里叶变换周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换存在否？如何求？与傅里叶级数的关系？

4.6周期信号的傅里叶变换利用欧拉公式：

根据频移性质

因此

4.6周期信号的傅里叶变换

4.6周期信号的傅里叶变换由傅里叶级数的指数形式出发：

计算其傅里叶变换

4.6周期信号的傅里叶变换

4.6周期信号的傅里叶变换

4.6周期信号的傅里叶变换

比较公式（1）与（2），

4.6周期信号的傅里叶变换例1：计算周期性冲激序列的傅里叶变换解：

4.6周期信号的傅里叶变换4.6周期信号的傅里叶变换例2：计算周期性矩形信号的傅里叶变换解法1：

4.6周期信号的傅里叶变换

例2：计算周期性矩形信号的傅里叶变换

解法2：4.6周期信号的傅里叶变换

例2：计算周期性矩形信号的傅里叶变换

解法2：4.7信号的抽样与恢复数字信号特点

信号抽样过程理论分析信号的恢复抽样定理工程应用4.7信号的抽样与恢复4.7信号的抽样与恢复易于存储模拟存储数字存储相机胶卷磁带录像带DVD硬盘SD卡数字存储优点：1.容量大2.稳定性好数字信号特点：4.7信号的抽样与恢复老照片数码照片（空间离散）易于存储数码存储方式便于数据长期稳定保存4.7信号的抽样与恢复模拟信号传输受到的噪声干扰数字信号传输受到的噪声干扰数字传输下，信号幅值采用二进制0、1编码。相比模拟信号而言，抗干扰能力强。抗干扰能力强易于传输4.7信号的抽样与恢复抗干扰能力强模拟信号传输数字信号传输例如：中央人民广播电台开篇录音易于传输数字传输有效抵抗信道干扰，音质好4.7信号的抽样与恢复信号加密易于处理语音信号加密语音伪随机码保密性好4.7信号的抽样与恢复从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。抽样原理图

4.7信号的抽样与恢复1．理想抽样信号4.7信号的抽样与恢复

其中：T

为抽样间隔，ws=2p/T为抽样角频率。抽样定理的本质：信号时域的离散化导致其频域的周期化。4.7信号的抽样与恢复

4.7信号的抽样与恢复

抽样间隔T

需满足：

奈奎斯特抽样定理

4.7信号的抽样与