2021年广东省广州市荔湾区西关外国语学校中考数学三模

2021年广东广州市荔湾区西关外国语学校中考数学三模试卷一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6 C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m32．（3分）在主题为“我为武侯代言”梦想大舞台之青春讲解员的选拔赛中，其中6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．8.2，9.5 B．9.5，8.7 C．8.5，8.7 D．8.5，9.53．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°4．（3分）样本数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是（）A．2 B．1 C．0 D．5．（3分）如图所示，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，方框内数字为对应位置上的小正方体的个数，它的左视图是（）A． B． C． D．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．7．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，其位似比为，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（﹣8，4） B．（﹣8，4）或（8，﹣4） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）8．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，﹣2），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x39．（3分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠810．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y2021的值为（）A．2 B．900 C．2 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（﹣）2＝．12．（3分）因式分解：2x2+xy＝．13．（3分）若最简二次根式与可以合并，则a+b＝．14．（3分）若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为边形．15．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（8分）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（8分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．请结合图中的信息解决下列问题：（1）在这次活动中，调查的居民共有人；（2）将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中的a＝，D所在扇形的圆心角是度；（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．21．（8分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求k的值；（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．22．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？23．（8分）如图，已知∠MAN，B为边AM上一点．（1）尺规作图（要求保留作图痕迹，不写作法）：①过点B作BC⊥AM交AN边于点C；②以AC为边作∠ACD＝∠A，且交AB于点D．（2）若AD＝3，BD＝2，请利用（1）中所作的图形求sin∠A的值．24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．25．（8分）如图，半径为7的⊙O上有一动点B，点A为半径OE上一点，且AB最大为10，以AB为边向外作正方形ABCD，连接DE．（1）请直接写出OA的长．（2）过点A作AF⊥OE，且AF＝OA，连接FD，在点B的运动过程中，FD的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出FD的长．（3）当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写DE的长．（4）请直接写出DE的最大值和最小值．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（）A．m6÷m3＝m2 B．（2m2）3＝6m6 C．（m+n）2＝m2+n2 D．（﹣m）3﹣m3＝﹣2m3【解答】解：A、原式＝m6﹣3＝m3，故此选项计算错误；B、原式＝8m6，故此选项计算错误；C、原式＝m2+2mn+n2，故此选项计算错误；D、原式＝﹣2m3，故此选项计算正确；故选：D．2．（3分）在主题为“我为武侯代言”梦想大舞台之青春讲解员的选拔赛中，其中6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．8.2，9.5 B．9.5，8.7 C．8.5，8.7 D．8.5，9.5【解答】解：6名选手的成绩（单位：分）分别为：8.5，8.2，8.9，8.5，9.2，9.5，则这组数据按照从小到大排列是：8.2，8.5，8.5，8.9，9.2，9.5，故这组数据的众数是8.5，中位数是（8.5+8.9）÷2＝8.7，故选：C．3．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．85° B．75° C．65° D．60°【解答】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．4．（3分）样本数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是（）A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣2﹣1+0+1+2）＝0，则数据﹣2、﹣1、0、1、2的方差是[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]＝2．故选：A．5．（3分）如图所示，是一个由5个相同的正方体组成的立体图形的俯视图，方框内数字为对应位置上的小正方体的个数，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：该几何体的左视图为：．故选：A．6．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．【解答】解：如图：设BC＝5x，∵tanA＝，∴AC＝12x，AB＝＝13x，∴cosA＝＝＝．故选：D．7．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣2，﹣2）．以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，其位似比为，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（﹣8，4） B．（﹣8，4）或（8，﹣4） C．（﹣2，1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【解答】解：∵以坐标原点O为位似中心把△AOB缩小得到△A1OB1，其位似比为，点A的坐标为（﹣4，2），∴点A的对应点A1的坐标为（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故选：D．8．（3分）若点A（x1，﹣4），B（x2，﹣2），C（x3，3）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x3＜x2 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x3＜x1 D．x2＜x1＜x3【解答】解：当y＝﹣4时，＝﹣4，解得：x1＝﹣1；当y＝﹣2时，＝﹣2，解得：x2＝﹣2；当y＝3时，＝3，解得：x3＝．∴x2＜x1＜x3．故选：D．9．（3分）若关于x的方程+＝2的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因为关于x的方程+＝2的解为正数，可得：，解得：m＜6，因为x＝2时原方程无解，所以可得，解得：m≠0．故选：C．10．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．则y1+y2+…+y2021的值为（）A．2 B．900 C．2 D．4【解答】解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，……设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴a•a＝4，解得a＝2（取正值），∴y1＝2，设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴（4+b）•b＝4，解得b＝2﹣2（取正值），∴y2＝2﹣2，设A2D3＝c，则C3（4+c，c），由点C3（4+c，c），在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴（4+c）•c＝4，解得c＝2﹣2（取正值），∴y3＝2﹣2，同理可求y4＝2﹣2，y5＝2﹣2，y6＝2﹣2，……y2021＝2﹣2，∴y1+y2+…+y2021＝2+2﹣2+2﹣2+…+2﹣2＝2，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（﹣）2＝2．【解答】解：（﹣）2＝2，故答案为：2．12．（3分）因式分解：2x2+xy＝x（2x+y）．【解答】解：2x2+xy＝x（2x+y）．故答案为：x（2x+y）．13．（3分）若最简二次根式与可以合并，则a+b＝13．【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，∴a﹣11＝2﹣b，∴a+b＝13．故答案为13．14．（3分）若一个多边形的每一个外角都为45°，则该多边形为八边形．【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于45°，∴多边形的边数为360°÷45°＝8．则这个多边形是八边形．故答案为：八．15．（3分）已知圆锥的底面圆半径是3，母线长是5，则它的侧面展开图的面积是15π．【解答】解：圆半径是3，则底面周长＝6π，侧面展开图的面积＝×6π×5＝15π．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点C为弦AB的中点，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为2．【解答】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC＝CB，AM＝OM，∴MC＝OB＝1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D（4，0），E（0，﹣3），∴OD＝4，OE＝3，∴DE＝＝＝5，∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴＝，∴＝，∴MN＝，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×5×（﹣1）＝2，故答案为2．三、解答题（本大题共9小题，共72分）17．（8分）解不等式4（x﹣1）+3≤2x+5，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：4（x﹣1）+3≤2x+5，去括号，得4x﹣4+3≤2x+5，移项及合并同类项，得2x≤6，系数化为1，得x≤3，其解集在数轴上表示如下，．18．（8分）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴ED∥BF，又∵AE＝CF，且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．19．（8分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣2．【解答】解：原式＝×＝，当a＝﹣2时，原式＝＝﹣．20．（8分）某校数学实践小组就近期人们比较关注的五个话题：“A．5G通讯：B．民法典；C．北斗导航；D．数字经济；E．小康社会”，对某小区居民进行了随机抽样调查，每人只能从中选择一个本人最关注的话题，根据调查结果绘制了统计图．请结合图中的信息解决下列问题：（1）在这次活动中，调查的居民共有200人；（2）将条形统计图补充完整；（3）扇形统计图中的a＝25，D所在扇形的圆心角是36度；（4）该小组讨论中，甲、乙两个小组从三个话题：“A．5G通讯；B．民法典；C．北斗导航”中抽签（不放回）选一项进行发言，利用树状图或表格，求出两个小组选择A、B话题发言的概率．【解答】解：（1）调查的居民共有：60÷30%＝200（人），故答案为：200；（2）选择C的居民有：200×15%＝30（人），选择A的居民有：200﹣60﹣30﹣20﹣40＝50（人），补全的条形统计图如图所示：（3）a%＝50÷200×100%＝25%，∴a＝25，话题D所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，故答案为：25，36；（4）画树状图如图：共有6个等可能的结果，两个小组选择A、B话题发言的结果有2个，∴两个小组选择A、B话题发言的概率为＝．21．（8分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求k的值；（2）若BD＝3OC，求四边形ACED的面积．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴2＝，解得：k＝8，∴反比例函数解析式为：y＝（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝3×2＝6，∵BD⊥x轴，∴点B的纵坐标为6，代入y＝中，得：6＝，解得：x＝，∴B（，6），∵C（0，2），设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝3x+2，令y＝0，得：3x+2＝0，解得：x＝，∴E（，0），∴DE＝﹣（）＝2，∵AC∥DE，∴S四边形ACED＝（AC+DE）•OC＝×（4+2）×2＝6．22．（8分）随着某市养老机构建设的稳步推进，拥有的养老床位不断增加．（1）该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个，求该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），且双人间的房间数是单人间的2倍．设该养老中心建成后能提供养老床位y个，求y与t的函数关系式，并求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？【解答】解：（1）设该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，依题意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市这两年（从2018年底到2020年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为20%．（2）设该养老中心建成后能提供养老床位y个，则y＝t+2×2t+3（100﹣t﹣2t）＝﹣4t+300（10≤t≤30）．∵k＝﹣4＜0，∴y随t的增大而减小，∴当t＝10时，y取得最大值，最大值＝﹣4×10+300＝260（个）．答：该养老中心建成后最多提供养老床位260个．23．（8分）如图，已知∠MAN，B为边AM上一点．（1）尺规作图（要求保留作图痕迹，不写作法）：①过点B作BC⊥AM交AN边于点C；②以AC为边作∠ACD＝∠A，且交AB于点D．（2）若AD＝3，BD＝2，请利用（1）中所作的图形求sin∠A的值．【解答】解：（1）①如图，直线BC即为所求作．②如图，射线CD即为所求作．（2）由作图可知，EF垂直平分线段AC，∴DA＝DC＝3，在Rt△DCB中，BC＝＝，在Rt△ABC中，AC＝＝＝，∴sinA＝＝＝．24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），将点A、B的坐标代入上式得：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，故答案为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，∴点C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，3）代入，得，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+3．∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°．作FK⊥y轴于点K，又∵FH⊥BC，∴∠KFH＝∠KHF＝45°，∴．设D（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3），∴＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+2m，整理得：．由题意有0＜m＜3，且，﹣1＜0，当时，取最大值，的最大值