提优专题20 作平行线和作垂线构造相似三角形的技巧（原卷版）

专题20构造相似三角形的技巧（原卷版）技巧一做平行线构造“A”型相似典例1（邵阳中考）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N．【问题引入】（1）若点O是AC的中点，AMBM=1温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G．【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：AMMB•BNNC•CO【拓展应用】（3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若AFBF=13，变式训练1．（2022•郫都区模拟）如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G．（1）求证：GF＝BF；（2）若EB＝1，BC＝4，求AG的长；（3）在BC边上取点M，使得BM＝BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED＝OD•EF．2．（2018•黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）．（1）如图1，若EF∥BC，求证：S（2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，AEAB=3技巧二做平行线构造“X”型相似典例2（2021春•招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝33，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题．请你写出求AB长的过程．应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝33，请你求出AB的长．

针对训练1．（2019•乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F．（1）如图1，当EF∥BC时，求证：BEAE+（2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．2．（2021秋•简阳市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，BD＝2DC，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，试探索AE与CF的数量关系；（3）如图2，若AD＝BD，AB＝6，求CE的长．

技巧三作垂线构造直角三角形相似典例3（2017•台江区校级自主招生）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝6，BC＝3，DE⊥AB于E，AC交DE于F．（1）求AE•AB的值；（2）若CD＝4，求AFFC变式训练1．如图，△ABC中，AB＝AC，E、F、G分别是BC、AB、AC上一点，∠FEG＝2∠B．（1）求证：∠BFE＝∠AGE；（2）若BECE=1技巧四作垂线构造“三垂直”型相似典例4（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为（）A．23 B