四川省成都市树德实验中学2021-2022学年八下期中数学试题（解析版）

成都市树德实验学校八年级数学半期考试题八年级数学A卷（共100分）第I卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1.下列式子是分式的是（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】根据分式的定义判断即可．【详解】解：A、是分式，故此选项符合题意；B、是整式，故此选项不符合题意；C、是整式，故此选项不符合题意；D、5是整式，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．2.若a<b，则下列结论不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据a＜b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．【详解】解：A、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，故本选项合题意；B、∵a＜b，∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意；C、∵a＜b，∴，故本选项不合题意；D、∵a＜b，∴，故本选项不合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质．3.若分式有意义，则x满足的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】根据分式有意义的条件分母不为0可得x-3≠0，即x≠0，故选D.点睛：本题考查了分式有意义的条件，属于基础题.4.许多数学符号蕴含着对称美．在下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.⊿ B.∵ C.⊥ D.×【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．【详解】A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意．故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．5.点A的坐标为（2，1），若将点A向右平移3个单位后的坐标为(，1)，则的值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】将点向右平移3个单位后的坐标为，据此可得答案．【详解】解：将点向右平移3个单位后的坐标为，即，所以，故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键是掌握点的坐标的平移规律．6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为（）A B.1 C. D.2【答案】A【解析】【详解】∵ED是BC的垂直平分线,∴∠EDB=90°,BD=BC∵∠B=30°,BE=2,∴DE=1,∵∠A=90°,∴AC=BC,∴AC=BD,在RT△BDE中，BD=,即AC=.故选A.7.直线y＝kx+b与y＝mx在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞mx的解集为（）A.x＞﹣2 B.x＜﹣2 C.x＞﹣1 D.x＜﹣1【答案】D【解析】【分析】根据函数图象交点左侧直线y＝kx＋b图象在直线y＝mx图象的上面，即可得出不等式kx＋b＞mx的解集．【详解】解：由函数图象可知，关于x的不等式kx＋b＞mx的解集是x＜−1．故选D．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的“高低”（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．8.下列命题是假命题的是（）A.到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上B.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等C.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形D.三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的判定定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分线的性质判断即可．【详解】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；B、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；C、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题；D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，也考查了线段垂直平分线的的判定定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定定理和角平分线的性质的理解．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9.的公因式是________．【答案】【解析】【分析】根据公因式的定义：多项式各项都含有的因式，进行求解即可．【详解】解：的公因式是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了公因式，熟知公因式的定义是解题的关键．10.若不等式的解集为，则的取值范围是________．【答案】m＜4【解析】【分析】由不等式的性质先求出原不等式的解集，再根据已知条件即可求得m的取值范围．【详解】解：假设，则原不等式系数化1得，，又∵不等式的解集为x＜1，∴假设不成立，∴m-4＜0（m=0时，原不等式不成立，舍去），即m＜4，故答案为：m＜4．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．11.多项式因式分解得，则m＝_____．【答案】4【解析】【分析】计算出，即可求解．【详解】解：∵多项式因式分解得，∴．故答案为：4【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，根据题意得到计算出是解题的关键．12.若分式的值为0，则x的值为_____．【答案】-2【解析】【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【详解】解：由题意，得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2，故答案为：﹣2．【点睛】本题考查了分式为零的条件，要使分式的值为零，必须同时满足分子为零，且分母不为零．13.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数是________．【答案】##70度【解析】【分析】先根据∠CAB=50°，求出∠ABC，再结合图形，由旋转的性质确定∠ABE的度数，然后根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠CAB=50°，∴，∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转后与Rt△EBD重合，∴旋转中心是点B，旋转角为40°，BE=BA，∴，故答案：．【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．三、解答题（本大题共4个小题，共48分）14.（1）因式分解：（2）解方程：（3）解不等式组：【答案】（1）；（2）原方程无解；（3）【解析】【分析】（1）利用提公因式法和公式法即可求解．（2）根据解分式方程的一般步骤即可求解．（3）先求出等不式①的解集，再求出不等式②的解集，再根据不等式组取解集的规律即可求解．【详解】解：（1）．（2）等式两边同时乘以得，，解得，经检验是增根，原方程无解．（3）不等式①移项合并得，解得，不等式②去分母得，移项合并得，原不等式组的解集为：．【点睛】本题考查了提公因式法和公式法分解因式、解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法及运算是解题的关键．15.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行计算，即可求得其结果．【详解】解：当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握和运用分式的化简求值步骤和方法是解决本题的关键．16.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示．（1）把△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）在网格中作△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）连接BB1，BC1，求△B1BC1的面积．【答案】（1）作图见解析部分（2）作图见解析部分（3）8【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（2）利用中心对称变换性质分别作出，，的对应点，，；（3）利用三角形面积公式求解．【小问1详解】解：如图，△即为所求；

【小问2详解】解：如图，△即为所求；【小问3详解】解：△的面积．【点睛】本题考查作图平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型．17.某商店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A、B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次购进A、B两种茶叶分别为10、2盒，第二次购进A、B两种茶叶分别为5盒、6盒(进价不变)，请通过计算比较哪种购买方案成本较少？【答案】（1）A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．（2）第一次购买方案成本较少．【解析】【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，由题意：某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，列出分式方程，解方程即可．（2）分别求出两次购进A、B两种茶叶的成本，比较即可．【小问1详解】设A种茶叶每盒进价为x元，则B种茶叶每盒进价为1.4x元，由题意得：，解得：x=200，经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，∴1.4x=280，答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元．【小问2详解】第一次购进A、B两种茶叶成本为：10×200+2×280=2560（元），第二次购进A、B两种茶叶成本为：5×200+6×280=2680（元），∵2560＜2680，∴第一次购买方案成本较少．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做如下研究：（1）如图1，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD．使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；（2）如图2，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形△ACD，∠EAB=∠CAD=90°，连接BD，CE，若AB=8，BC=4，∠ABC=45°，求BD的长．（3）如图3，在四边形ABCD中，连接AC，CD=BC，∠BCD=60°，∠BAD=30°，AB=15，AC=25，求AD的长．【答案】（1）BD=CE，理由见解析；（2）BD=12；（3）AD=20．【解析】【分析】（1）先证明，由证得，即可得出结论；（2）由证得，得出，然后在中利用勾股定理求出，再由，可求得，再运用勾股定理求出即可得出答案；（3）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，是等边三角形，由勾股定理可求的长，即可求的长．【小问1详解】猜想：，理由如下：，，即，在和中，，，；【小问2详解】等腰和等腰中，，，，，，，在和中，，，，，，，是直角三角形，，；【小问3详解】如图3，连接，，，是等边三角形，把绕点顺时针旋转得到，连接，则，是等边三角形，，，，，，在中，由勾股定理得：，．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．B卷一、填空题．（每题4分，共20分）19.若，，则=___________．【答案】【解析】【分析】首先进行因式分解，再把已知式子的值代入计算，即可求得其结果．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解及代数式求值问题，利用因式分解法求代数式的值是解决本题的关键．20.关于x的分式方程无解，则a=___________．【答案】6【解析】【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求a的值．【详解】解：，方程两边同时乘以x﹣3，得，移项、合并同类项，得x＝a﹣3，∵元分式方程无解，∴x＝3，∴a﹣3＝3，∴a＝6，故答案为6．【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况．21.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如：，．若满足，且，则m的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】由知，解之得出，结合，即得，解之即可．【详解】解：，，解得，又，，，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据新定义求出的取值范围，并列出关于的不等式组．22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．将△ABC绕点C逆时针旋转α度（0<α180），得到△DEC，A，B的对应点分别为D，E．边DC，DE分别交直线AB于F，G，当△DFG是直角三角形时，则BD=__________．【答案】或【解析】【分析】分两种情况：当∠DFG=90°时，当∠DGF=90°时，分别求出BD便可．【详解】解：根据题意得：CD=AC，∠CDE=∠A=30°，当∠DFG=90°时，如图：∵∠ACB=90º，∠CAB=30º，BC=4．∴，∴，∵，∴，∴；当∠DGF=90°时，如图：∵∠CDE=∠A=30°，∠DGB=90°，∴∠DFG=60°=∠ABC，∴点B与点F重合，∴；综上所述，BD的长为或．故答案为：或【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分情况讨论，解题的关键在于分情况讨论．23.Rt△ABC中，AB=AC=，BO=AB，点M为BC边上一动点，将线段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN，CN，则△CAN周长的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH于J．证明△OHM≌△NJO（AAS），推出JN=OH=1，推出点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1），作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小．【详解】解：如图，作OH⊥BC于H，NJ⊥OH交HO延长线于∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∵OH⊥BC于H，∴OH=BH，∵OB=AB，，∴∴OH=BH=1，由旋转的性质可知OM=ON，∠MON=90°，∴∠HOM+∠HMO=90°=∠HOM+∠NOJ，∴∠NOJ=∠OMH，又∵∠OHM=∠NJO=90°，∴△OHM≌△NJO（AAS），∴JN=OH=1，∴点N的运动轨迹是线段（该线段所在的直线与直线OH平行，在OH的下方，与OH的距离是1，作点C关于该直线的对称点C′，连接AC′交该直线于N′，连接CN′，此时△ACN′的周长最小，作AG⊥BC于G，在Rt△ABC中，，∴，∵AC=AB，AG⊥BC，∴，∴，∴，在Rt△AGC′中，AC′=，∴△ACN的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轴对称，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．二、解答题（共30分）24.某商店购进甲、乙两种商品，每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，已知15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元．（1）求每件甲、乙商品的进货价；（2）若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于8080元，同时甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元，问共有几种进货方案？（3）在条件（2）下，并且不再考虑其他因素，若甲乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元；（2）共有3种进货方案，方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，根据“每件甲商品的进货价比每件乙商品的进货价高40元，15件甲商品的进货总价比26件乙商品的进货总价低60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，根据“两种商品的进货总价不高于8080元，且两种商品全部售完后的销售总额不低于9250元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案；（3）设获得的总利润为w元，根据总利润＝每件商品的利润×销售数量（购进数量），即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：解：（1）设每件甲商品的进货价为x元，每件乙商品的进货价为y元，依题意，得：，解得：．答：每件甲商品的进货价为100元，每件乙商品的进货价为60元．（2）设购进m件甲商品，则购进（100﹣m）件乙商品，依题意，得：，解得：50≤m≤52，又∵m为正整数，∴m可以取50，51，52，∴共有3种进货方案：方案1：购进50件甲商品，50件乙商品；方案2：购进51件甲商品，49件乙商品；方案3：购进52件甲商品，48件乙商品；（3）设获得的总利润为w元，则w＝100×10%m+60×25%（100﹣m）＝﹣5m+1500，∵﹣5＜0，∴w随m值的增大而减小，∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣5×50+1500＝1250．答：方案1购进50件甲商品，50件乙商品利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系与不等关系，正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组以及利用一次函数的性质，解决最值问题．25.直线AB与x轴交于A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足．（1）m=，S△ABO=；（2）如图1，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．（3）如图2，P为y轴正半轴上一点，且∠OAP=45°，AF平分∠OAP，M是射线AF上一动点，N是线段OA上一动点，求OM+MN的最小值．（图1与图2中点A的坐标相同）【答案】（1）4，8（2）（0，-4）（3）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值从而得到OA、OB的长即可得到答案；（2）如图1，过点作轴于，证明，推出AM=EM，得到∠OAF=45°，即可推出OA=OF=4，即可得到答案；（3）如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，由角平分线的性质得到MH=MG，再由点到直线的距离垂线段最短，得到，即，从而推出当O、M、G三点共线，且OG⊥AP时，OM+MG有最小值，即OM+MN有最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），∴OA=OB=4，∴，故答案是：4，8；【小问2详解】解：如图1，过点作轴于，，是等腰直角三角形，，，，在和中，∵，，，，，，，；【小问3详解】解：如图所示，过点M作MH⊥OA于H，MG⊥AP于G，∵AF平分∠OAP，MH⊥OA，MG⊥PA，∴MH=MG，∵点到直线的距离垂线段最短