专题05 全等三角形七大模型（知识串讲、热考题型）-八下期中考点讲与练（原卷版）

专题05全等三角形七大模型K型(一线三垂直)模型二、“手拉手”模型三、倍长中线四、平行线中点五、“雨伞”模型六、半角模型七、胖瘦模型一、K型(一线三垂直)模型两条手臂之间的距离=长手十短手，两条手臂之间的距离-长手一短手，即DE=AD+CE，即DE=AD-E，一线三重直果中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角.但很多常见的一线三重直模型可以先尝试找到“长手"和“短手”，根据模型快速解题.二、“手拉手”模型在中考考试中，很多学生遇到手拉手模型时，都无从下手.但其实只要找到相等的边或角，找到全等三角形，进而找出对应边或角的关系即可.熟练掌握手拉手模型的学生，可以很快找到里面的全等三角形，解决小题就会很快.三、倍长中线在中考考试中，几何中的中点类问题是很复杂的一类题型，由于它涉及的辅助线类别多，同学们经常记不住到底用哪类辅助线因此往往在做题的时候浪费了大量的时间，请记住，实在不会做了想想倍长中线，四、平行线中点在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案.五、“雨伞”模型在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一了.六、半角模型在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时，关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题.七、胖瘦模型全等三角形果中考必考内容，是解决有关线段、角等问题的一个出发点.胖瘦模型的特点很鲜明，但是很多学生没有进行总结，所以看到这种题果没有方向的，如果惜这类问题的解决方法，你会发现要做出答案其实果很轻松的。K型(一线三垂直)模型一．填空题（共2小题）1．（2022春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是BC边上一点，△ADE是等边三角形，若，＝．2．（2022春•朝阳区校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为．二．解答题（共6小题）3．（2021秋•余干县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE．（1）求证：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的长．4．（2021春•嘉祥县期中）如图1，以△ABC的边AB为边，向外画正方形ABDE，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EP⊥MA交MA延长线于点P．（1）则EP＝；（直接填写图中与EP相等的一条线段）（2）如图2，若∠BAC＝90°，以AC为边再向外画正方形ACFG，连接EG交PM于点N，求证：EN＝GN；（3）若∠BAC是钝角或锐角，请仿照图2分别在图3、图4中补画图形，并选“＞”或“＜”或“＝”其中一个符号填空，直接表示此时EN与GN的大小关系．如图3，若∠BAC＞90°，则ENGN；如图4，若∠BAC＜90°，则ENGN．5．（2021春•禹州市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15，CD＝17，AD＝17，连接AC，BD．（1）证明∠ACD是直角；（2）求对角线BD的长．6．（2021春•丹阳市期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；【深入探究】（3）如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）；（4）如图4，分别以△DCE的三条边为边，向外作正方形，连接AF、GK、BH．当AB＝4，DE＝，∠CDE＝45°时，图中的三个阴影三角形的面积和为；（5）如图5，点A、B、C、D、E都在同一条直线上，四边形ABKH、KCMG、DENM都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG的面积是4，则△HKG的面积是．7．（2022春•淮阴区校级期中）（1）【问题初探】苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形OECF的面积会发生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了△OEC≌△OFD，则S△OEC＝S△OFD，那么S四边形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD，这样，就实现了四边形OECF的面积向△OCD面积的转化；小航：如图b，也是考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作OG⊥BC于点G，OH⊥CD于点H，证明△OGE≌△OHF，从而将四边形OECF的面积转化成了小正方形OGCH的面积．通过他们的思路点拨，你认为：S四边形OECF＝（填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段CE与CF的和也是一个定值，为．（2）【类比探究】①如图2，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点O是AD边的中点，∠EOF＝90°，点E在AB上，点F在BC上，则四边形EBFO的面积为；EB+BF＝；②如图3，若将（1）中的“正方形ABCD”改为“∠BCD＝120°，边长为8的菱形ABCD，其他条件不变，当∠EOF＝60°时，四边形OECF的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由；③如图4，在②的条件下，当点O在对角线AC上运动，顶点O与B点的距离为7，且∠EOF旋转至CF＝1时，CE的长度为．（3）【拓展延伸】如图5，∠BOD＝α（α为钝角），∠CAD＝180°﹣α，∠BAC是钝角，OA平分∠BOD，OD＝，OB＝4，AB＝，OA＝1，点C是OB上一点，那么OC的长为．8．（2022秋•永年区期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．二、“手拉手”模型一．解答题（共9小题）1．（2022春•开福区校级期中）如图，在△ABC和△AEF中，点E在BC边上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF与AC交于点G．（1）求证：AE＝AB；（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度数．2．（2021春•铜梁区校级期中）已知，如图，在▱ABCD中，点F是▱ABCD内一点，AB⊥BF，AB＝BF，过点F作FE⊥AD，垂足为点E．（1）如图1，若BF＝3EF＝6，求四边形ABFE的面积；（2）如图2，连接BE、CE，若BE＝CE，求证：AE+EF＝BC．3．（2022春•章丘区期中）感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE．①∠ACE的度数为度；②线段BC、CD、CE之间的数量关系是；③若AB＝AC＝，CD＝1，则线段DE的长为．4．（2022春•清城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，连接DA并延长交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和CD的长度．5．（2022春•和平区校级期中）已知：点D是△ABC边BC所在直线上的一个动点（点D与点B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，连接DA，点D绕点A顺时针转90°得到点E，连接BE，AE，DE．（1）如图1，当点D在线段CB的延长线上时，请你判断线段BE与线段CD之间的关系，并证明你判断的结论．（2）如图2，当点D在线段BC上，且BD＝2CD时，直接写出四边形AEBC的面积．（3）点D绕点A逆时针转90°得到点F，连接CF，AF，DF，当∠EAB＝15°时，直接写出线段CF的长．6．（2022春•介休市期中）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（1）[初步感知]如图①，当点D、E分别落在边AB、AC上时，那么DBEC．（填＜、＞或＝）（2）[发现证明]如图②，将图①中的△ADE绕点A旋转，当点D在△ABC外部，点E在△ABC内部时，求证：DB＝EC；（3）[深入研究]如图③，如果△ABC和△ADE都是等边三角形，且点C、E、D在同一条直线上，则∠CDB的度数为；线段CE、BD之间的数量关系为；（4）[拓展应用]如图④，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点C、D、E在同一直线上，作AM⊥DE，若AB＝，BD＝，求AM的长．7．（2022春•吉安期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动点，当点C在y轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到O点时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．（1）点B的坐标为，直线AB的表达式为．（2）点C在y轴上移动过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第二象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP；（3）当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数关系式表达出来；（4）点C在y轴上移动过程中，当△OBP为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．8．（2021春•将乐县期中）（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：∠AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．9．（2022春•椒江区校级期中）我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求证：四边形ABCD是“准筝形”；（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长．小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你按照小军的思路求AC的长．（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．

三、倍长中线一．填空题（共1小题）1．（2022春•游仙区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝10，点D是BC边上一动点，BE⊥AD交AD于点E，当BE＝4时，△ABD的面积恰好等于△ADC的面积，连接CE，则此时CE＝．二．解答题（共4小题）2．（2021春•玉林期中）如图，在▱ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且EF⊥AE．求证：AE平分∠DAF．李华同学读题后有一个想法，延长FE，AD交于点M，要证AE平分∠DAF，只需证△AMF是等腰三角形即可．请你参考李华的想法，完成此题的证明．3．（2021秋•甘南县校级期中）如图，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF求证：BE+CF＞EF．4．（2019春•玄武区期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．求证：BE+CF＞EF，若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．5．（2019春•秦淮区期中）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是（填序号）．

四、平行线中点一．选择题（共2小题）1．（2021春•鄞州区校级期中）矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（）A． B．2 C． D．2．（2022春•鄞州区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B． C． D．二．填空题（共1小题）3．（2022春•清江浦区校级期中）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共2小题）4．（2021春•扶沟县期中）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，求AE的长．5．（2022春•澄迈县期中）（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．五、“雨伞”模型一．选择题（共1小题）1．（2022秋•新洲区期中）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定二．填空题（共1小题）2．（2022春•芙蓉区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为．三．解答题（共3小题）3．（2021春•高州市期中）如图，在△ABC中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．（1）求证：BF＝CG；（2）若AB＝12，AC＝8，求线段CG的长．4．（2021春•驿城区校级期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝20，AC＝16，求AF的长．5．（2021春•黄骅市期中）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在AB上，且BF＝DE．（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．六、半角模型一．选择题（共1小题）1．（2021春•牡丹区期中）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE④BE2+DC2＝DE2，其中一定正确的是（）A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②④二．解答题（共7小题）2．（2021秋•同江市期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．3．（2021春•丽水期中）已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：；（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．4．（2021春•福田区校级期中）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明．5．（2022秋•市南区期中）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）6．（2022春•鄞州区校级期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）7．（2021秋•千山区期中）（1）如图1