河南省南阳市南召县2021-2022学年九上期末数学试卷（解析版）

河南省南阳市南召县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、单选题（每小题3分，共30分）1.下列命题中，不正确的是（）A.对角线相等的平行四边形是矩形B.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形C.直角三角形斜边上的高等于斜边的一半D.正方形的两条对角线相等且互相垂直平分【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据矩形、等边三角形、直角三角形及正方形的性质进行逐一判断．解：A、正确，对角线相等的平行四边形是矩形，属于矩形的判定；B、正确，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形属于等边三角形的判定；C、错误，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D、正确，是正方形的性质．故选C．考点：命题与定理．2.不透明的袋子里共装有4个黑球和6个白球，这些球除了颜色不同外，其余都完全相同，随机从袋子中摸出一个球，摸到黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接用黑球的个数除以球的总个数即可得到答案．【详解】解：由题意得：从袋子中随机摸出一个球，则摸到黑球的概率是．故选D．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．3.下列函数是关于的反比例函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数定义回答即可求解．【详解】解：一般的形如叫做反比例函数，选项C正确，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的定义，正确理解反比例函数的定义是解此题的关键．4.如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE＝S梯形DBCE，则DE：BC为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质，由已知可证S△ADE：S△ABC=1：2，所以相似比是，故DE：BC=．【详解】解：根据题意，S△ADE=S梯形DBCE，则S△ADE：S△ABC=1：2，∵DE∥BC，则△ADE∽△ABC，设相似比是k，则面积的比是k2=，因而相似比是，∴DE：BC=．故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．5.某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）.A.； B.； C.； D..【答案】A【解析】【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.【详解】解：设降价的百分率为根据题意可列方程为解方程得，（舍）∴每次降价得百分率为故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.6.初三(1)班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教师前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意列表求概率即可．【详解】解：列表如下ABCD前门开不开不开不开后门不开开不开不开故能一次开锁的概率为故选：D．【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE＝2，则tan∠DBE的值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】在直角三角形ADE中，，求得AD，AE．再求得DE，即可得到tan∠DBE．【详解】设菱形ABCD边长为t．∵BE＝2，∴AE＝t−2．∴，∴，∴t＝5．∴AE＝5−2＝3．∴DE＝＝＝4．∴tan∠DBE＝＝2．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握边角之间的关系．8.已知，，，是抛物线上的点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据对称轴方程求出抛物线的对称轴，再根据时，离对称轴越远的点值越小即可比较.【详解】解：抛物线的对称轴为，∵，∴抛物线开口向下，∵，，，，∴，，故选C．【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象上点的坐标特征，正确得出抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．9.某商店今年10月份的销售额是2万元，12月份的销售额是2.88万元，从10月份到12月份，该商店销售额平均每月的增长率为（）A.44% B.22% C.20% D.10%【答案】C【解析】【分析】设该商店销售额平均每月的增长率为x，根据该商店今年10月份及12月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设该商店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10.图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点（0，3），与x轴的一个交点为A，连接MO，MA．以下结论：①常数；②抛物线经过点（－2，3）；③；④当时，．其中正确的是（）A.①③ B.②③ C.②④ D.①④【答案】D【解析】【分析】根据抛物线y＝﹣（x+1）2+k与y轴交于点（0，3），可以求得k的值，从而可以判断①是否正确；然后将x＝﹣2代入求得的函数解析式，即可判断②是否正确；然后令y＝0，求出x的值，即可得到点A的坐标，再根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，从而可以求得△OMA的面积，从而可以判断③是否正确；再根据二次函数的性质，即可判断④是否正确．详解】解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+k与y轴交于点（0，3），∴3＝﹣（0+1）2+k，解得：k＝4，故①错误；∴抛物线y＝﹣（x+1）2+4，当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2+1）2+4＝3，即抛物线过点（﹣2，3），故②正确；当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+4，解得，x1＝1，x2＝﹣3，∴点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4，顶点为M，∴点M的坐标为（﹣1，4），∴S△OMA＝＝2，故③错误；∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，∴当x＝﹣3+时，y＞0，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（每小题3，共15分）11.一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是____．【答案】x1=3，x2=﹣1．【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可.【详解】x（x﹣3）=3﹣x，x（x﹣3）-（3﹣x）=0，（x﹣3）（x+1）=0，∴x1=3，x2=﹣1，故答案为x1=3，x2=﹣1．12.设a，b是方程x2＋x﹣2021＝0两个实数根，则a2＋2a＋b的值为____．【答案】【解析】【分析】由于a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b），故根据方程的解的意义，求得（a2＋a）的值，由根与系数的关系得到（a＋b）的值，即可求解．【详解】解：∵a，b是方程x2＋x−2021＝0的两个实数根，

∴a2＋a−2021＝0，即a2＋a＝2021，a＋b＝＝−1，

∴a2＋2a＋b＝a2＋a＋a＋b＝2021−1＝，故答案：．【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．13.如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯，已知一楼与二楼之间的地面高度差为米，扶梯的坡度，则扶梯的长度为_________米．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，由题意得：，据此利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，过点C作地面的垂线，垂直为D，由题意得：，∴，∴，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了勾股定理和坡度，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．14.如图，四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】2﹣2【解析】【分析】根据题意可以求得和的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形与的面积之差的和，本题得以解决．【详解】解：连接，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.如图，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一动点，以AD为直径的⊙O交BD于点E，则线段CE的最小值是___．【答案】8【解析】【分析】连接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，从而知点E在以AB为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得QC的长，即可得线段CE的最小值．【详解】解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），而QE长度不变，故此时CE最小，∵AC＝12，∴QC＝，∴CE＝QC−QE＝13−5＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．三、解答题（8小题，共75分）16.已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．【答案】a＝﹣2【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝1代入方程即可求出答案．【详解】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，得（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0，∴a2﹣4＝0，∴a＝±2，由于a﹣2≠0，故a＝﹣2.【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．17.已知：为实数，且，化简：．【答案】-1.【解析】【分析】根据所给的已知式子，由二次根式有意义的条件，可求x取值范围，得到x，然后求出y的取值范围，然后根据二次根式的性质求解即可.【详解】由题意可知:且18.已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0（a≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有两个不相等的负整数根，求整数a的值．【答案】（1）见详解；（2）a=-1．【解析】【分析】（1）先判断出方程为一元二次方程，再判断出，问题得证；（2）先解方程得，根据方程有负整数根且a为整数，求出a=-1或a=-3，根据方程的两个负整数根不相等，求出a=-1．【详解】解：（1）证明：∵a≠0，∴原方程为一元二次方程，∴，∴方程总有两个实数根；（2）解方程ax2+（a﹣3）x﹣3＝0得，∵方程有两个负整数根，且a为整数，∴a=-1或a=-3，当a=-1时，，当a=-3时，∵方程的两个负整数根不相等，∴a≠-3．∴a=-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，方程的解等知识，熟知一元二次方程根的判别式并判断根的情况，正确解出含字母系数的方程是解题关键．19.如图，AB＝AC，CA平分∠BCD，E点在BC上，且∠BAE＝∠CAD＝90°，求证：CD＝BE．【答案】见解析【解析】【分析】先根据等边对等角可得∠B＝∠ACB，再结合角平分线的定义等量代换可得∠B＝∠ACD，再根据全等三角形的判定与性质即可证得结论．【详解】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CA平分∠BCD，∴∠ACD＝∠ACB，∴∠B＝∠ACD，与中，，∴，∴BE＝CD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．20.如图，在中，，，以边上上一点为圆心，为半径作，恰好经过边的中点，并与边相交于另一点．（1）求证:是的切线．（2）若，是半圆上一动点，连接，，．填空：①当的长度是________时，四边形是菱形；②当的长度是___________时，是直角三角形．【答案】（1）见解析（2）①②或【解析】【分析】（1）首先连接OD，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，⊙O恰好经过边BC的中点D，易得AB=BD，继而证得∠ODB=∠BAC=90°，即可证得结论；

（2）①易得当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，然后求得∠AOE的度数，半径OD的长，则可求得答案；

②分别从∠ADE=90°，∠DAE=90°，∠AED=90°去分析求解即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，连接，∵在中，，，∴，∵是的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴是的切线.（2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE=2DM，

∵∠C=30°，

∴CD=2DM，∴DE=CD=AB=BC，

∵∠BAC=90°，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵AB=BD，

∴四边形ABDE是菱形；

∵AD=BD=AB=CD=BC=，

∴△ABD是等边三角形，OD=CD•tan30°=1，

∴∠ADB=60°，

∵∠CDE=90°-∠C=60°，

∴∠ADE=180°-∠ADB-∠CDE=60°，

∴∠AOE=2∠ADE=120°，

∴的长度为：；

故答案为：；

②若∠ADE=90°，则点E与点F重合，此时的长度为：=π；

若∠DAE=90°，则DE是直径，则∠AOE=2∠ADO=60°，此时的长度为：π；

∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；

综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．

故答案为：π或π．【点睛】本题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识．注意准确作出辅助线，利用分类讨论思想求解是解题的关键．21.在中与中，，，将绕点顺时针旋转，连接，点分别是的中点，连接．（1）观察猜想如图1，当点与点重合时，与的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）类比探究当点与点不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在旋转过程中，请直接写出的面积的最大值与最小值．【答案】（1）CG=CF，CF⊥CG；（2）成立，CG=CF，CF⊥CG；（3）△CFG的面积最大值，最小值．【解析】【分析】（1）观察猜想

由直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半再结合30°直角三角形三边比即可证明；（2）类比探究

先证明△BCD∽△ACE，再证明△ACG∽△BCF，可得结论；

（3）问题解决

延长BC至H，使BC=CH=1，连接DG，由三角形中位线定理结合三角形面积公式可求△CFG的面积=，求出DH最小值即可．【详解】（1）观察猜想

∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴AE=2DC=2，AC=BC=，AB=2BC，∠CDE=60°，

∴BC=1，AB=2，

∵点F，G分别是BD，AE的中点，

∴CG=AE=，CG=AG，CF=AB=1，CF=AF，

∴CG=CF，∠GDC=∠GCD=60°，∠ACF=∠FAC=30°，

∴∠FCG=90°，

∴CF⊥CG，

故答案为：CG=CF，CF⊥CG；

（2）类比探究

仍然成立，

理由如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC=∠DEC=30°，AC=DC=，

∴∠BCD=∠ACE，AC=BC，CE=CD，

∴，

∴△BCD∽△ACE，

∴，∠CAE=∠CBD，

∵点F，G分别是BD，AE的中点，

∴BF=BD，AG=AE，

∴∴△ACG∽△BCF，

∴，∠BCF=∠ACG，

∴CG=CF，∠ACB=∠FCG=90°，

∴CF⊥CG；（3）问题解决

如图，延长BC至H，使BC=CH=1，连接DH，

∵点F是BD中点，BC=CH=1，

∴CF=DH，

由（2）可知，CF⊥CG，

∴△CFG的面积=×CF×CG=CF2，

∴△CFG的面积=，

∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，

∵CD=，

∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，

∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，

∴△CFG的面积最大值=，∴当点D在射线CH长线上时，DH有最小-1，

∴△CFG的面积最小值=．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，证明△ACG∽△BCF是本题的关键．22.如图，已知反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出y2＞y1时自变量x的取值范围．【答案】（1）反比例函数解析式为y1＝，一次函数得到解析式为y2＝x+3；（2）7.5；（3）当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1【解析】【分析】（1）由题意把点A坐标代入反比例函数求出m的值，也就求出了反比例函数解析式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意先求出直线与x轴交点坐标，从而x轴把△AOB分成两个三角形，结合点A、B的纵坐标分别求出两个三角形的面积，进而相加即可；（3）根据函数的图象结合函数图象的性质进行分析求得即可．【详解】解：（1）点A（1，4）在反比例函数y1＝的图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的表达式为y1＝，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y1＝的图象上，∴n＝＝﹣1，即B（﹣4，﹣1），把点A（1，4），点B（﹣4，﹣1）代入一次函数y2＝kx+b中，可得，解得，∴一次函数的表达式为y2＝x+3；故反比例函数解析式为y1＝，一次函数得到解析式为y2＝x+3；（2）设直线与x轴的交点为C，在y2＝x+3中，当y＝0时，得x＝﹣3，∴直线y2＝x+3与x轴的交点为C（﹣3，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×1＝7.5；（3）从图象看，当﹣4＜x＜0或x＞1时，y2＞y1．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，注意掌握此类题目的求解一般都是先把已知点的坐标代入反比例函数表达式求出反比例函数解析式，然后再求一次函数解析式．23.问题探究（1）如图1，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且＝2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP、CF⊥BP，垂足分别为E、F．求线段CF的长．问题解决（2）如图2，是某公园内“青少年活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．在AB上任取一点P，连接CP并延长，交⊙O于点D，连接AD、BD．过点P分别作PE⊥AD、PF⊥BD，垂足分别为E、F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“青少年活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．当AP＝30m时，试求室内活动区（四边形PEDF）的面积．【答案】（1）CF=6﹣2；（2）①y=﹣x2+35x+1225；②当AP=30米时，室内活动区（四边形PEDF）的面积为576平方米【解析】【分析】（1）连接OP，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ABP，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出AP、PB，根据角平分线的性质定理得到CE=CF，根据三角形的面积公式计算即可；（2）①在DF上取点A′，使FA′=EA，证明四边形PEDF是正方形，根据正方