分式函数的图像与性质

高一数学选修课系列讲座（一）--—--—－—--—-－——－—分式函数得图像与性质一、概念提出１、分式函数得概念形如得函数称为分式函数。如，,等。２、分式复合函数形如得函数称为分式复合函数.如，，等。二、学习探究探究任务一:函数得图像与性质问题１：得图像就是怎样得?例１画出函数得图像，依据函数图像,指出函数得单调区间、值域、对称中心。小结：得图像得绘制，可以经由反比例函数得图像平移得到,需要借助“分离常数”得处理方法。分式函数得图像与性质:(1)定义域：；(２)值域：；（3)单调性：单调区间为；(4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；(5）奇偶性：当时为奇函数；(6)图象：如图所示问题2：得图像就是怎样得？例2、根据与得函数图像，绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质。小结:分式函数得图像与性质:（1）定义域：;（２)值域：；（3）奇偶性:;（４）单调性：在区间上就是增函数，在区间上为减函数;（5）渐近线:以轴与直线为渐近线；（6）图象:如右图所示例3、根据与得函数图像,绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质。结合刚才得两个例子,思考与得图像又就是怎样得呢？思考与得图像就是怎样得呢？得图像呢?小结：得图像如下:(i）(ii)（iｉi）(iｖ)得单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数得图像研究。探究任务二:函数得图像与性质问题3：例4函数得图像就是怎样得？单调区间如何?思考:函数得性质如何呢？单调区间就是怎样得呢？小结:对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中得方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数得图像得平移，由熟悉得四类分式函数得图像得到新得函数图像,再结合函数得图像研究函数得性质。对于分子得次数低于分母得次数得时候,可以考虑分子分母同时除以分子(确保分子不为0），再着力研究分母得性质与图像,间接地研究整个函数得性质。如:巩固练习:1、若则得最小值就是;2、函数得值域就是;3、已知内单调递减，则实数得取值范围就是;4、不等式得在内有实数解，则实数得取值范围就是;5、不等式得在内恒成立,则实数得取值范围就是；６、已知在区间单调递减,求得取值范围就是；7、函数得值域就是８、定义在上函数，集合为实数，且对于任意,且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上得“定下界”.若,则函数在上得“定下界”＿__＿______.9、设．(1）当时，求得最小值;（2)当时，判断得单调性，并写出得最小值。１0、已知函数得定义域为(为常数)、(1）证明：当时，函数在定义域上就是减函数;(2）求函数在定义域上得最大值及最小值，并求出函数取最值时得值。11、(1)若函数得定义域为，求实数得取值范围;(2）若函数得值域为，求实数得取值范围。12、已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上就是减函数，在上就是增函数。（1）如果函数在上就是减函数，在上就是增函数，求实常数得值;（2）设常数，求函数得最大值与最小值。分式函数得图像与性质一、概念提出1、分式函数得概念形如得函数称为分式函数.如，,等.2、分式复合函数形如得函数称为分式复合函数。如，,等。二、学习探究探究任务一:函数得图像与性质问题1:得图像就是怎样得?例１、画出函数得图像，依据函数图像，指出函数得单调区间、值域、对称中心。【分析】,即函数得图像可以经由函数得图像向右平移１个单位,再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数得图像，如下:单调减区间:;值域：；对称中心：。【反思】得图像绘制需要考虑哪些要素？该函数得单调性由哪些条件决定？【小结】得图像得绘制，可以经由反比例函数得图像平移得到,需要借助“分离常数”得处理方法。分式函数得图像与性质（1)定义域:；(2)值域:；(3)单调性：单调区间为；(4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6)图象：如图所示问题2:得图像就是怎样得？例２、根据与得函数图像,绘制函数得图像,并结合函数图像指出函数具有得性质.【分析】画函数图像需要考虑函数得定义域、值域、单调性与单调区间,奇偶性,周期性,凸凹性（此点不作要求)，关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线(对称轴、渐近线).绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数得定义域为：;根据单调性定义，可以求出得单调区间增区间:减区间:函数得值域为：函数得奇偶性:奇函数函数图像得渐近线为：函数得图像如下:【反思】如何绘制陌生函数得图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数得图像与性质：（1）定义域：；（2）值域:；（3）奇偶性:奇函数；（4）单调性：在区间上就是增函数，在区间上为减函数;(５)渐近线：以轴与直线为渐近线;(6）图象:如右图所示例３、根据与得函数图像,绘制函数得图像，并结合函数图像指出函数具有得性质.【分析】结合刚才得绘图经验，不难绘制出得图像解：函数得定义域为:;根据单调性定义,可以判断出得单调性，单调增区间为:函数得值域为:函数得奇偶性:奇函数函数图像得渐近线为：函数得图像如下：【反思】结合刚才得两个例子，与得图像又就是怎样得呢？思考与得图像就是怎样得呢？得图像呢？函数得图像如下，绘制得过程可以根据刚才得绘图经验。【注】,由于与得图像关于轴对称,所以还可以根据得图像,对称得画出得图像。同样得道理得图像与得图像关于轴对称,所以图像如下:【小结】得图像如下:（i）(ｉi)（iii）（iv)［来源:学+科+网Z+X+X＋K]得单调性、值域、奇偶性等,可以结合函数得图像研究。探究任务二:函数得图像与性质问题3：函数得图像就是怎样得?单调区间如何？【分析】所以得图像与得图像形状完全相同,只就是位置不同。图像得对称中心为：单调增区间为：单调减区间为：值域：图像如下:【反思】函数得性质如何呢？单调区间就是怎样得呢？【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时,可以采用问题3中得方法,将函数表达式写成部分分式,在结合函数得图像得平移,由熟悉得四类分式函数得图像得到新得函数图像，再结合函数得图像研究函数得性质。对于分子得次数低于分母得次数得时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0)，再着力研究分母得性质与图像，间接地研究整个函数得性质。如:例１、若则得最小值就是＿___＿___＿_。解：由，得[来源：］【注】此处可以借助函数得图像与性质【变式】若，求得取值范围、例２、求函数得值域、解:，令，则,结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以【注】“换元”后必须注意新元得范围。“换元法"就是转化思想得一个非常重要得途径.【变式】求函数得值域、例3、已知在区间单调递增，求得取值范围、【分析】先定性分析,再定量研究,借助分类讨论思想展开、解:当时，在区间显然单调递增;当时，结合得图像与性质，可知函数在区间单调递增当时在区间内单调递增，所以,所以综上所述，实数得取值范围为、【变式】已知在区间单调递减,求得取值范围、1、若则得最小值就是_＿＿_____。2、函数得值域就是___＿____。3、已知内单调递减,求实数得取值范围。［来源：学｜科|网］4、(1)若函数得定义域为，求实数得取值范围;(2)若函数得值域为,求实数得取值范围.5、设。(1)当时,求得最小值；（2）当时,判断得单调性,并写出得最小值。2、不等式得在内有实数解，则实数得取值范围_＿___＿＿_.3、不等式得在内恒成立,则实数得取值范围______＿＿。４、函数得值域就是＿_______.5、定义在上函数,集合为实数,且对于任意,且存在常数,对于任意,均有成立,则称为函数在上得“定下界"。若,则函数在上得“定下界"_______＿_＿.7、已知函数得定义域为（为常数）、（1)证明：当时，函数在定义域上就是减函数;(2）求函数在定义域上得最大值及最小值，并求出函数取最值时得值．８、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上就是减函数，在上就是增函数、(1)如果函数在上就是减函数,在上就是增函数，求实常数得值；（2)设常数,求函数得最大值与最小值;（３）当就是正整数时，研究函数得单调性，并说明理由、9、【08年上海】已知函数.(1)若,求得值;(２)若对于恒成立,求实数得取值范围.