河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案

绝密★启用前大联考2023—2024学年（下）南阳六校高二年级期末考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的：1.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.05B.0.1C.0.3D.0.42.如图，均为直角三角形，为直角顶点，，且，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，则（）A.B.C.D.3.已知函数，且，则实数（）A.1B.2C.D.4.已知是正项等比数列，若成等差数列，则（）A.3B.4C.5D.65.已知为虚数单位，则的展开式中的系数为（）A.-10B.10C.-15D.156.已知数列满足，且，设，则数列的前2024项和为（）A.674B.673C.-673D.-6747.已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.已知双曲线，如图，过的右焦点作直线与的两条渐近线分别交于点，与轴交于点，若，且，则的离心率为（）A.B.C.2D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.假定生男孩和生女孩是等可能的，已知一个家庭中共有3个孩子，用表示事件“该家庭中既有男孩又有女孩”，用表示事件“该家庭中最多有1个女孩”，则（）A.B.C.D.与相互独立10.已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（）A.一定为等差数列B.可能为等比数列C.若，则一定为递增数列D.若，则存在，使得11.已知函数，若不等式恰有一个整数解，则实数的取值不可能是（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.把4个不同颜色的球放入3个不同的盒子里，每个盒子里至少有1个球，则不同的放法种数为__________.13.已知点在圆上运动，则的最小值是__________.14.已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，若时，，且，则不等式的解集为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.（1）若，求；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.16.（15分）扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域.研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长（单位与体长（单位：），得到如下数据：样本编号123456头长1515.315.316.616.817体长125128130138142153并计算得（1）求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；（2）求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）（3）已知与可以用模型进行拟合，若某只扬子鳄的头长为，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.附：相关系数.17.（15分）已知数列满足，当时，.（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：.参考结论：当时，.18.（17分）已知函数，其中.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围.19.（17分）已知抛物线的焦点到直线的距离为为直线上的动点，过点作直线分别与相切于点.（1）求的方程；（2）证明：直线过定点；（3）若直线分别交轴于点，求的最小值.大联考2023—2024学年（下）南阳六校高二年级期末考试数学·答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案B命题意图本题考查正态分布的性质.解析根据正态分布的基本性质可知.2.答案C命题意图本题考查等比数列的概念.解析根据题意，这些直角三角形是相似的，并且相邻两个三角形的相似比为，从而这些三角形的周长从小到大组成的数列是等比数列，公比，首项为的周长，因此.3.答案B命题意图本题考查导数的计算.解析由题意知，所以，所以，又，所以.4.答案D命题意图本题考查等比数列的性质.解析设等比数列的公比为.由成等差数列，可得，即，解得（负值舍去）.所以.5.答案C命题意图本题考查二项式定理的应用.解析展开式的通项，当时，，因此的系数为-15.6.答案D命题意图本题考查数列的递推关系.解析因为奇数与奇数之和为偶数，奇数与偶数之和为奇数，所以数列的各项的奇偶情况依次为奇､偶､奇､奇､偶､奇所以数列的各项依次为，以3为周期，且相邻3项之和为-1，因为，所以数列的前2024项和为.7.答案A命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析当时，.当时，恒成立等价于恒成立，因为当时，，所以.当时，恒成立等价于恒成立.记，则在区间上为增函数，并且零点为，因此，所以.综上，.8.答案命题意图本题考查双曲线与直线的位置关系.解析根据双曲线渐近线的性质，可知在中，，由三角形相似可知.，因此.因为，所以.设，则，因此，又，所以，即，从而，得，故离心率.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案ACD命题意图本题考查条件概率与相互独立事件.解析，故A正确.，所以，故B错误，C正确.因为，所以与相互独立，故D正确.10.答案BD命题意图本题考查数列的通项与前项和.解析对于A，根据等差数列的求和公式，只有当时，才是等差数列，故A错误；对于B，当时，，满足要求，故B正确；对于C，若，则，所以，故C错误；对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此，从而，故D正确.11.答案BCD命题意图本题考查利用导数研究函数的性质.解析因为，所以，即.若，不等式化为，此不等式对任意恒成立，不符合条件.若，不等式化为，即恰有一个整数解.记，则，可得在上单调递增，在上单调递减，并且，因此恰有一个整数解时，实数的取值不可能是B，C，D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案36命题意图本题考查计数原理的应用.解析将4个球按分为3部分，再放入3个盒子里，所以不同的放法种数为.13.答案命题意图本题考查直线与圆的位置关系.解析由得，表示以为圆心，1为半径的圆.令，则表示直线，从而圆心到该直线的距离满足，两边平方整理得，解得，即的最小值为.14.答案命题意图本题考查函数与导数､不等式的综合.解析因为时，，所以，即，因此，从而在上单调递增，又是上的偶函数，从而是上的偶函数，并且在上单调递减.由于，因此即，即，因此的取值范围为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.命题意图本题考查空间垂直关系的推理和空间向量的应用.解析（1）由平面，可得.，且平面..四边形是正方形，与重合，.（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设为平面的法向量，则即可取.设为直线与平面所成的角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.16.命题意图本题考查一元线性回归分析的应用.解析（1）平均头长为，平均体长为.（2）由题可知.（3）由题意知.所以，所以，令，得，因此估计这只扬子鳄的体长为.17.命题意图本题考查数列的通项公式､等差数列与等比数列的求和.解析（1）当时，.又，因此的通项公式为.（2）由（1）知，因此.因为，所以当时，.因为当时，，所以，此时.综上，.18.命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性和极值点.解析（1）.设，则.因为，所以当时，，所以在上单调递减，所以，因此在上单调递减.（2）因为，所以.若，由（1）知在上恒成立，从而在内无极值点，不符合题意.若，设，则，且.设，则在上恒成立，因此在上单调递减.若，即，则在上恒成立，因此在上单调递增，可知在上恒成立，从而单调递增，无极值点，不符合题意.若，即，则在上存在零点，且在上单调递增，在上单调递减.又，所以要使有极值点，必须有，即，从而的取