2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点09三角形的全等和相似(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点09三角形的全等和相似压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，，，若，则点C的坐标为（）A． B． C． D．2．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（）

A． B． C． D．3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．154．如图，在矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为．再次展平，连接，．有下列结论：①；②与相似；③的长为；④若，分别为线段，上的动点不包含端点，则的最小值是．其中正确结论的序号是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③5．如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），的面积为y（），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当与相似时，．其中正确结论的序号是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤6．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（

）条A．4 B．3 C．2 D．17．已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（

）A． B． C． D．8．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L．若，，则的长为（

）A．6 B． C．7 D．二、填空题9．如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足，，连接CD、CE，当点E坐标为时，与相似．11．如图，中，，D，E分别是边的中点，F为边上一动点，于G，交于H．（1）；（2）当和相似时，．12．如图，在边长为4的等边中，D、E、F分别是上的动点，且满足，，连接．（1）的度数为；（2）当时，和相似．13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为．14．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为．

15．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动秒后，与全等．

16．如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为．

三、解答题17．已知是矩形的边上一点，连接交于点，过点作于点，交于点．(1)如图1，若，求的值．（用含的代数式表示）(2)如图2，设的延长线交于点，移动点，使得．①求证：；②若，求证：．18．如图，在等腰中，，为边上一点，为延长线上一点，且，连接，，，延长交于点，为的中点，为射线上一点，连接，交延长线于点，且．(1)求证：；(2)若为的中点，求的值；(3)在（2）的条件下，当时，求证：．19．如图，已知正方形的边长是4，点E是边上一动点（点E不与点B、C重合），点F是射线上一点，且，交于点P，，垂足为O，交射线于点Q，设．

(1)若点E是的中点，求的值；(2)若点Q在边上，求的长（用含有m的代数式表示）；(3)连接，若与相似，求的长．20．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．如图，在中，所对的边分别为，若，则．下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：证法1：如图1，作的平分线，∴．

设，则．证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……

任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．压轴热点考点09三角形的全等和相似压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，，，若，则点C的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知条件求出D点坐标，再证明为等腰直角三角形，连接BC，根据“三线合一”性质求出，进一步可求出C点坐标．【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，连接BC，根据“三线合一”性质可知，∴点C的坐标为：．故选：D.【点睛】此题考查位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，理解关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．2．如图，已知，，若用判定和全等，则需要添加的条件是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由图示可知为公共边，若想用判定证明和全等，必须添加．【详解】解：∵，，∴，.，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意；.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，不符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；.，，不是两直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意；故选：．【点睛】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．3．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（

）A． B． C． D．15【答案】A【分析】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题．【详解】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是，正方形的边长是，正方形的面积为3，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，正方形的面积是．故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题．4．如图，在矩形纸片中，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠，使点落在上的点处，折痕为．再次展平，连接，．有下列结论：①；②与相似；③的长为；④若，分别为线段，上的动点不包含端点，则的最小值是．其中正确结论的序号是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③【答案】C【分析】①如图，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据折叠的性质得到，推理出为等边三角形，得到，于是得到，即结论①正确；②根据折叠的性质，可得，，根据相似三角形的判定定理得到与相似，即结论②正确；③解直角三角形得到，即结论③错误；④过作于交于，则此时的值最小，且，解直角三角形得到的最小值是.即结论④正确．【详解】解:①如图，连接，

垂直平分，，根据折叠的性质，可得，．为等边三角形，，，即结论①正确；②根据折叠的性质，可得，，，，，，，与相似，即结论②正确；③，，，，即结论③错误；④点和点关于对称，过点作于交于，此时的值最小，且，，，，的最小值是即结论④正确；综上分析可知，正确的是①②④，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质的应用以及矩形的性质和应用，还考查了折叠的性质和应用．5．如图1，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），的面积为y（），已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当时，是等腰三角形；②；③时，；④在运动过程中，使得是等腰三角形的P点一共有3个；⑤当与相似时，．其中正确结论的序号是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤【答案】D【分析】由图2可知，整个运动过程分为段，故点到达时，点同时到达，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分别分析各命题的正误．【详解】解：由图可知，，，四边形是矩形，，．，，．对于①，当时，点在上，点在上，且，是等腰三角形，①正确；对于②，，②错误；对于③，，，当时，点在上，点在处，，③正确；对于④，如图，以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形；以点为圆心，长为半径画弧，交于，当点位于处时，是等腰三角形；作的垂直平分线，交于，交于，当点位于或处时，是等腰三角形．综上，运动过程中，使得是等腰三角形的点一共有个，④错误；对于⑤，是直角三角形，当且仅当点在上时，与相似，此时，，且，或，即或，解得或（舍去）．当与相似时，，⑤正确．综上可得，正确的有：①③⑤．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．6．已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（

）条A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：如图，∵，另两边长分别是3，4，又∵，∴，即△ABC是直角三角形，∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．7．已知的三边长分别为，，，过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，若与不全等，则这条剪痕的长可能为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理及其逆定理的应用；根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根据题意可得这条剪痕可能是或边的中线．分别根据中线的性质以及勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图，中，，，，，是直角三角形，且．过的某个顶点将该三角形剪成两个小三角形，再将这两个小三角形拼成，与不全等，这条剪痕可能是或边的中线．如果这条剪痕是边的中线，那么，，，；如果这条剪痕是边的中线，那么，，，；这条剪痕的长可能为．故选：C．8．如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点C作于点G，交于点H，过点B作于点I，过点D作，交延长线于点K，交于点L．若，，则的长为（

）A．6 B． C．7 D．【答案】D【分析】过点A作于点M，连接，，设，先证明四边形是矩形，四边形和均是矩形，可得，，再根据，可得四边形是正方形，四边形是正方形，从而得到，，，，再由，可得，再根据，可得，从而得到，，即可求解．【详解】解：如图，过点A作于点M，连接，，根据题意得：，∴，，设，∵，，，∴，∴，∵四边形是正方形，

∴，，，∴，，∴，，∴，同理，∴，∴，∴四边形是矩形，同理四边形和均是矩形，∴，∴，

∴，∴，∴四边形是正方形，∴，，同理四边形是正方形，∴，∴，，，

∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，

∴，即，解得：或0（舍去），∴，∴．故选：D【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．二、填空题9．如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．【答案】/【分析】根据“优美梯形”的定义，得到，从而得到，，推出，算出，再根据勾股定理，得到、的长，即可得到该直角梯形的周长．【详解】解：根据题意，作图如下，为直角梯形，，，，，直角梯形是“优美梯形”，，，，，，，，在中，，在中，，该梯形的周长，故答案为：．【点睛】本题考查了直角梯形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为4的等边的边OA在x轴上，C、D、E分别是AB、OB、OA上的动点，且满足，，连接CD、CE，当点E坐标为时，与相似．【答案】或【分析】因为DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE与△ACE相似分两种情况分类讨论．【详解】∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等边三角形，则OD＝OE＝DE，设E（a，0），则OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4−a，∵△CDE与△ACE相似，分两种情况讨论：①当△CDE∽△EAC时，则∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4−a＝2a，∴，∴；②当△CDE∽△AEC时，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD＋∠ECA＝180°−60°＝120°，又∵∠BDC＋∠BCD＝180°−∠B＝120°，∴∠BCD＋∠ECA＝∠BDC＋∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4−a）＝8−2a，∴，∴，∴．综上所述，点E的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．11．如图，中，，D，E分别是边的中点，F为边上一动点，于G，交于H．（1）；（2）当和相似时，．【答案】或【分析】（1）过A作于M交于N，利用三角形相似和面积公式，结合矩形的判定和性质计算即可．（2）根据三角形相似的判定和性质，分类计算即可．【详解】(1)过A作于M交于N，∵，∴，∵D，E分别是边的中点，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．(2)∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当和相似时，①，∴，∴．②，∴，∴，∴，综上所述，或，故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．12．如图，在边长为4的等边中，D、E、F分别是上的动点，且满足，，连接．（1）的度数为；（2）当时，和相似．【答案】/30度或【分析】（1）找的中点G，连接，根据为等边三角形和，可证为等边三角形，即可求出答案．（2）分两种情况讨论：①若，则，可证出四边形是平行四边形，即可求出答案；②若，则，利用锐角函数值即可求解．【详解】解：（1）找的中点G，连接，如图所示，∵为等边三角形，，∴，，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴；解：（2）由（1）知，∵是等边三角形，，∴，∴是等边三角形，∴，∴，①若，∴，则，∵，，∴四边形是平行四边形，是等边三角形，∴，∵等边的边长是4，则，∴，∴；②若，∴，则，∵，∴，∵等边边长为4，则，∴，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题关键．13．如图，我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若小正方形和大正方形的面积分别为49和289，则图中直角三角形内切圆的半径为．【答案】3【分析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆的性质．设内切圆的圆心为O，连接、，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，根据已知条件得，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于r的一元二次方程即可．【详解】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接、，，则四边形为正方形，设直角三角形内切圆的半径为r，，，，，，而，①，小正方形和大正方形的面积分别为49和289，，，②，负值舍去，把代入①得，③，把③代入②中，得：，，负值舍去，直角三角形内切圆的半径为3，故答案为：14．如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为．

【答案】或【分析】点P在线段上以的速度由B点向C点运动，点Q的运动速度为，运动时间为，则，，，因为，则再利用全等三角形的判定方法得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程即可．【详解】解：运动时间为，由题意得，，，，因为，当时，则，，即，，解得，；当时，，，即，，解得，；故当与全等时，v的值为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．15．如图，，于A，于B，且，点P从B向A运动，每秒钟走，Q点从B向D运动，每秒钟走，点P，Q同时出发，运动秒后，与全等．

【答案】6【分析】设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．【详解】解：∵于A，于，∴，设运动x秒钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，∴，，∴，∴；②若，则，解得：，∴，此时与不全等；综上所述：运动6秒钟后与全等；故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．16．如图，我国古代伟大的数学家刘徽将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．若，，则图中正方形的边长为．

【答案】2【分析】根据题意可得，，则，设正方形的边长为x，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：由题意可得：，，∴，设正方形的边长为x，则，，在中，，即，解得：，（舍），∴正方形的边长为2，故答案为：2．

【点睛】本题考查勾股定理的应用、解一元二次方程，根据勾股定理列方程是解题的关键．三、解答题17．已知是矩形的边上一点，连接交于点，过点作于点，交于点．(1)如图1，若，求的值．（用含的代数式表示）(2)如图2，设的延长线交于点，移动点，使得．①求证：；②若，求证：．【答案】(1)(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证明则．即可得到结论；（2）①证明及即可证明．②过点作，交的延长线于点．证明，则，进一步得到．根据角平分线的性质得到．证明四边形是矩形，则，即可得到结论；此题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）在矩形中，，，，．；（2）①，，由（1）知，，∴．②过点作，交的延长线于点，，，，，，，，，，四边形是矩形，，．18．如图，在等腰中，，为边上一点，为延长线上一点，且，连接，，，延长交于点，为的中点，为射线上一点，连接，交延长线于点，且．(1)求证：；(2)若为的中点，求的值；(3)在（2）的条件下，当时，求证：．【答案】(1)见解析(2)(3)见解析【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，根据等腰三角形的性质的到边相等角相等，结合即可得到证明；（2）本题考查三角形相似的性质与判定，证明，结合三角形全等的性质得到即可得到答案；（3）本题考查三角形相似的性质与判定，延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得到答案；【详解】（1）证明：∵在等腰中，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，为的中点，垂直平分，，在中，，，，，；（3）证明：如图，延长至点，使得，连接，，，，由（1）可知，∴，∴，，由（2）可知，，，，，，即．19．如图，已知正方形的边长是