备战2024年高考数学一轮复习2.1不等式的性质及一元二次不等式(精练)(原卷版+解析)

2.1不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版）题组一题组一不等式性质1．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若且，则D．若，则2．（2022·山东聊城·一模）（多选）设，且，则(

)A． B． C． D．3．（2022·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若，则C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件D．若，则的最小值为4．（2021·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（

）A． B．C． D．5．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若.则6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）（多选）若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．7．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））已知，那么在下列不等式中，不成立的是（

）A． B． C． D．8．（2021·江苏·高三期中）（多选）已知x，y∈R，且<0，则（

）A．x-y>0 B．sinx-siny>0 C．>0 D．>29．（2022·天津·南开中学）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．题组二题组二不等式恒成立1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（2022·北京师大附中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．8．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．9．（2022·江苏·高三专题练习）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______题组三题组三一元二次方程（不等式）根的分布1．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·河南焦作·高三期中（理））已知实系数一元二次方程的两个实根为、，并且，则的取值范围是(

)A． B． C． D．.3．（2022·北京海淀）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．4．（2021·江苏）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）.A． B．C． D．5．（2022·河南开封）关于的不等式的解集为，且，则（

）A．3 B． C．2 D．6．（2021·新疆）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2021·江苏）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.9．（2022·全国·高三专题练习）设集合，集合.若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________10．（2021·四川雅安·模拟预测（理））已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．11．（2021·江苏·高三）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.12．（2022·山东师范大学附中）在中，已知是x的方程的两个实根，则________．13．（2021·湖南益阳）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．（2021·全国·单元测试）为何值时，关于的方程的两根：为正数根；为异号根且负根绝对值大于正根；都大于1；一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.题组四题组四比较大小1．（2022·四川凉山·二模（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．4．（2022·河南·模拟预测（理））设则（

）A． B．C． D．5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．题组五题组五解含参的一元二次不等式1．（2022·全国·高三专题练习）已知，求关于x的不等式的解集.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.2．（2021·江苏·专题练习）解关于x的不等式．3．（2021·江苏·专题练习）已知函数．(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式；(3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求在上的值域；(2)当时，解关于的不等式．2.1不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版）题组一题组一不等式性质1．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）对于实数a，b，m，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，，则C．若且，则D．若，则【答案】ACD【解析】依题意，当时，，则有，A正确；因，取，满足，而，此时有，B不正确；因，则，而，于是得，即，有，由得，又函数在上单调递增，所以，C正确；函数，则，即在上单调递减，因，则，所以，D正确.故选：ACD2．（2022·山东聊城·一模）（多选）设，且，则(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；对于B：，即，，故B错误；对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；对于D，且，，当且仅当，即时等号成立，∵－3＝，∴，∴D错误.故选：AC.3．（2022·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（

）A．若，则B．若，则C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件D．若，则的最小值为【答案】AD【解析】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，所以，即.故B不正确；对于C，，恒成立等价于，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，即.所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.对于D,因为，，=，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，故D正确.故选：AD.4．（2021·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由题设，且，则，即同号，所以或.故选：AB5．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．若.则【答案】ABD【解析】对于A：等价于等价于，当且仅当时取等号，对于任意实数都成立，故A正确；对于B：由于，所以，当且仅当，即时取等号，对于任意实数都成立，故B正确；对于C：由于，实数的符号不确定，故的符号也不确定，故C错误；对于D：由于，则，又因为，所以，故D正确.故选：ABD6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）（多选）若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：，即，显然成立，故正确；B：因为，不妨取，故可得，故错误；C：，即，又，故可得，又，则，故正确；D：因为，不妨取，故，故错误.故选：.7．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（文））已知，那么在下列不等式中，不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对A，由可得，所以，A正确，对B，由，可得，所以，当且仅当，即时，取得等号，所以，则成立，故B正确，对C，设有，则函数在上单调递增，所以所以，故C正确，对D，当取时，而，显然错误，故选：D8．（2021·江苏·高三期中）（多选）已知x，y∈R，且<0，则（

）A．x-y>0 B．sinx-siny>0 C．>0 D．>2【答案】ACD【解析】因为x，y∈R，且<0，且，，A，由题意可得，故A正确；B，因为正弦函数是周期函数，仅有，不能得出sinx-siny>0，故B错误；C，由，则，即，故C正确；D，因为，则，即，当且仅当，即取等号，又因为，所以，故D正确.故选：ACD9．（2022·天津·南开中学）已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足，且，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选项：取，，，则，，可知错误；选项：取，，，则，，可知错误；选项：取，，，则，，又，可知错误；选项：设，，则则要证，只需证即证：，又，只需即可即证：又，则只需即可即

综上所述：，可知正确.本题正确选项：题组二题组二不等式恒成立1．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对一切实数都成立，①时，恒成立，②时，则，解得，综上可得，.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当，即时，可化为，即不等式恒成立；当，即时，因为对一切实数恒成立，所以，解得；综上所述，.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为对任意的恒成立，所以任意的恒成立，因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A4．（2022·全国·高三专题练习）已知时，不等式恒成立，则的取值范围为A．(-∞，2)∪(3，+∞) B．(-∞，1)∪(2，+∞)C．(-∞，1)∪(3，+∞) D．(1，3)【答案】C【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，则满足，解得：或，即的取值范围为.选：C5．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】命题p：“，”，即，设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，故选：B．6．（2022·北京师大附中）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.7．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】由题意知：，即对任意的恒成立，当，得：，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，在上单减，所以，所以.故答案为：8．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对任意及恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得对任意及恒成立，所以对任意恒成立，即对恒成立，令，则是关于的一次函数，所以只需，即，解得或或，所以实数的取值范围是．故答案为：.9．（2022·江苏·高三专题练习）若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________..【答案】【解析】不等式转化为,化简为，令,又,则,即恒成立，令，又，当时，取最小值，所以，恒成立,化简得，解不等式得.故答案为：10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为_______【答案】【解析】由题意得：关于的不等式在区间上有解，等价于不等式在区间上有解，设，则函数在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为.题组三题组三一元二次方程（不等式）根的分布1．（2022·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C2．（2021·河南焦作·高三期中（理））已知实系数一元二次方程的两个实根为、，并且，则的取值范围是(

)A． B． C． D．.【答案】C【解析】令，则，可得，又表示与可行域上点所成直线的斜率，如下图示：由图知：，可得，即；所以，结合斜率知：的取值范围是.故选：C3．（2022·北京海淀）已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【解析】因为函数（b，c为实数），，所以，解得，所以，因为方程有两个正实数根，，所以，解得，所以，当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，故选：B4．（2021·江苏）设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】令，由方程在区间上有两个不相等的实数解可得，即或，解得，故选：C5．（2022·河南开封）关于的不等式的解集为，且，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【解析】由不等式的解集为，得，不等式对应的一元二次方程为，方程的解为，由韦达定理，得，，因为，所以，即，整理，得.故选：A6．（2021·新疆）已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解不等式，得或解方程，得，（1）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；（2）当，即时，不等式的解为：此时不等式组的解集为，若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即；综上，可知的取值范围为故选：B7．（2021·江苏）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得，0＜k＜1，函数y＝k|x|与

y＝﹣|x﹣2|的图象如下，由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由⇒xB，故k；故选：C8．（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.【答案】【解析】不等式等价于.令，解得或.当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；当时，不等式无解，所以不符合题意；当时，不等式的解集为，则.综上，的取值范围是.故答案为：9．（2022·全国·高三专题练习）设集合，集合.若中恰含有2个整数，则实数a的取值范围是________【答案】【解析】由中不等式变形得：，解得或，即或，函数的对称轴为，，，，由对称性可得，要使恰有个整数，即这个整数解为2，3,（2）且（3）且即，解得，则的取值范围为，．故答案为：10．（2021·四川雅安·模拟预测（理））已知关于的方程在上有实数根，且满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】问题等价于在上有公共点．，设，，点在线段上，的图象是过线段和抛物线弧上各一点的直线如图，其中．故答案为：．11．（2021·江苏·高三）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是___________.【答案】【解析】a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，可得，，，又，可得，，又，，又，，故答案为：．12．（2022·山东师范大学附中）在中，已知是x的方程的两个实根，则________．【答案】【解析】由题设，，，又，且，∴.故答案为：.13．（2021·湖南益阳）已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．【答案】【解析】由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即，解得；③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即，解得；由①②③可知，实数a的取值范围是.故答案为：.（2021·全国·单元测试）为何值时，关于的方程的两根：为正数根；为异号根且负根绝对值大于正根；都大于1；一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间.【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）；（5）或【解析】设函数由题意可得，方程有两根设为，对称轴，解得或（1）由题意可得或（2）由题意可得（3）由题意可得（4）由题意可得（5）由题意可得或题组四题组四比较大小1．（2022·四川凉山·二模（文））已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以；令，，所以在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以；同理，所以，即，也即，所以，所以.综上，，故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，故，又，则在上单调递减，又，，所以存在，使得，且在时，，在时，，即在上单调递增，在单调递减，且，所以，又因为，所以当时，，其中因为，所以，所以，故，即.故选：B3．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，所以，因为，所以，即.所以,即，所以.再来比较的大小：因为，所以，所以，即，所以.综上所述，.故选：A.4．（2022·河南·模拟预测（理））设则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】又，即，则，，又，由于，所以，故，即，综上：故选：A5．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，故A错误；因为，当时，，故B错误；由，且时，，所以，故C错误；因为，所以所以，故D正确.故选：D.6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以；由且，所以，所以，令，，令，则，则，等价于，；又，所以当时，，故，所以．故选：C．7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，即，∵，∴综上，.故选：B题组五题组五解含参的一元二次不等式1．（2022·全国·高三专题练习）已知，求关于x的不等式的解集.【答案】见解析【解析】当时，，∴，则的解集为当时，解，得，①当时，，则的解集为.②当时，（1），即，则可化简为，无解；（2），即，则的解集为；（3），即，则的解集为；综上：（1）时，解集为；（2）当时，解集为；（3）当时，无解；（4）当时，解集为；（5）当时，解集为.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）若对于任意,恒成立，则有，解得；（2）由于对于任意，恒成立，故．又函数的图象的对称