备战2024年高考数学一轮复习3.3指数运算及指数函数(精讲)(原卷版+解析)

3.3指数运算及指数函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一指数运算【例1-1】（2022·江西）化简___.【例1-2】（2022·江苏）化简：________．【一隅三反】1．（2022·河南）_____．2．（2022·全国·高三专题练习）×0＋80.25×＋(×)6－=____________3．（2021·江苏省）已知，则的值为___________．考点二单调性【例2-1】（2021·安徽）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【例2-2】（2021·北京市）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.【例2-3】（2022·河南省）已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·辽宁沈阳）已知函数，则函数（

）A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减C．是奇函数，且在上单调递增D．是偶函数，且在上单调递减2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.考点三最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．【例3-2】（2022·北京）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·宁夏）已知的最小值为2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2021·河南）若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（

）A． B．C． D．考点四指数式比较大小【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【例4-2】（2022·江西·二模（理））设，则(

)A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．2．（2022·河南）已知，，，则（

）A． B．C． D．3．（2022·江苏苏州）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．考点五解不等式【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2021·山东）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）设，则的解集为（

）A． B．C． D．考点六定点【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.【一隅三反】1．（2022·内蒙古）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.2．（2022·云南）函数恒过定点，则在点处的切线方程为_____.3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线方程经过指数函数的定点，则的最小值______________.3.3指数运算及指数函数（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一指数运算【例1-1】（2022·江西）化简___.【答案】214【解析】原式＝＋2－3－2＋1＝214.故答案为：214.【例1-2】（2022·江苏）化简：________．【答案】【解析】原式故答案为：﹒【一隅三反】1．（2022·河南）_____．【答案】【解析】原式=.故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）×0＋80.25×＋(×)6－=____________【答案】110【解析】原式＝.故答案为：1103．（2021·江苏省）已知，则的值为___________．【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：考点二单调性【例2-1】（2021·安徽）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则原函数可化为，该函数在上单调递增，又在R上单调递增，当时，，故在上单调递增，故选：A.【例2-2】（2021·北京市）已知函数|在区间上是增函数，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】由的图象向右平移1个单位，可得的图象，因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为函数|在区间上是增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【例2-3】（2022·河南省）已知函数满足对任意的实数，且，都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为对任意的实数，且，都有成立，所以，对任意的实数，且，，即函数是上的减函数．因为，令，，要使在上单调递减，所以，在上单调递增．另一方面，函数为减函数，所以，，解得，所以实数a的取值范围是．故选：D．【一隅三反】1．（2022·辽宁沈阳）已知函数，则函数（

）A．是偶函数，且在上单调递增B．是奇函数，且在上单调递减C．是奇函数，且在上单调递增D．是偶函数，且在上单调递减【答案】A【解析】∵∴，∴函数为偶函数，当时，，∵函数在上单调递增，函数在上单调递减，∴在上单调递增，即函数在上单调递增.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A． B．(0，1) C． D．(0，3)【答案】A【解析】因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数在上是减函数，有，函数在上是减函数，有，即，并且满足：，即，解和，综上得，所以a的取值范围为.故选：A3．（2022·上海奉贤区致远高级中学高三开学考试）函数在内单调递增，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，在上，单调递增，单调递增，即单调递增，符合题意；当时，在内单调递增，符合题意；当时，，∴若，时，等号不成立，此时在内单调递增，符合题意；若，时，若当且仅当时等号成立，此时在内单调递增，不符合题意.综上，有时，函数在内单调递增.故答案为：.考点三最值（值域）【例3-1】（2022·北京·高三专题练习）已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B【例3-2】（2022·北京）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，当时，由反比例函数的性质得：；当时，由指数函数的性质得：因为函数的值域为R，所以，解得，故选；D【一隅三反】1．（2022·宁夏）已知的最小值为2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，，又因为的最小值为2，所以需要当时，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，则，原式转化为在恒成立，是二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上最大值为，所以，故选：D.2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，则函数在区间上的最小值的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出的图象，如图，结合函数图象可知：当时，，当时，.所以函数，而时，，所以，综上，，故选：D3．（2021·河南）若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，且的值域为，所以，解得.故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，而，，令，则，因此，原函数化为：，显然在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.故选：A5．（2022·河南焦作·二模（理））已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同的两点A，B，若线段的中点在直线上，则的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为为奇函数，所以，即，解得，经检验为奇函数，定义域为，符合题意.联立，消去得到关于y的二次方程，，设，，则，因为的中点的纵坐标为，所以，解得.所以，所以的值域为.故选：B考点四指数式比较大小【例4-1】（2022·河南焦作）若，，，a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，因为，所以，同时，所以.故选：A．【例4-2】（2022·江西·二模（理））设，则(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，；，令，∴，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增；∴，∴，即，，又，∴．故选：B．【一隅三反】1．（2022·河南洛阳）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】构造，，，在时为减函数，且，所以在恒成立，故在上单调递减，所以，即，所以，即.故选：D2．（2022·河南）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，，即，所以，，，则，即A错误；，，所以，，，，即BC都错误，D正确.故选：D.3．（2022·江苏苏州）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，又因，且，所以，即，所以.故选：D.考点五解不等式【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数定义域为R，，则函数是奇函数，是R上增函数，，于是得，解得或，所以所求不等式的解集是.故选：C【例5-2】（2022·浙江·舟山中学）已知函数，若都有成立，则实数的取值范围是（

）A．或 B． C．或 D．【答案】D【解析】当时，则，，当时，则，，，所以为奇函数，因为时为增函数，又为奇函数，为上单调递增函数，的图象如下，由得，所以，即在都成立，即，解得.故选：D.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以，，得所以，任取，则，则，所以，，则函数为上的增函数，由，解得.故选：A.2．（2021·山东）已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对任意的，，所以，函数的定义域为，由，可得，可知函数为奇函数，又由，当时，函数和单调递增，任取，则，，可得，即，所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，由于函数在上连续，则函数在上的增函数，由，有，有，可得，由题意可知，不等式对任意的恒成立，有，解得．故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）设，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定义域为R.因为，所以可化为：令，即.下面判断的单调性和奇偶性.因为，所以为奇函数；而，因为在R上为增函数，所以在R上单调递增.所以可化为：，即或，解得：或.所以原不等式的解集为.故选：B考点六定点【例6】（2022·新疆阿勒泰）函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.【答案】【解析】当时，，过定点，又点在直线上，，即，，，，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为.故答案为：.【一隅三反】1．（2022·内蒙古）