高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)5.1函数的概念和图象(原卷版+解析)

5.1函数的概念和图象TOC\o"1-4"\h\z\u5.1函数的概念和图象 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1函数的概念 3知识点2同一函数 5知识点3函数的图象、作图、识图与用图 7二、典型题型 8题型1已知函数值求自变量或参数 10题型2抽象函数的定义域 12三、难点题型 12题型1复合函数的定义域 15题型2复杂函数的值域 17四、活学活用培优训练 29一．基础知识点知识点1函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．函数的值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域例1若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．例2（多选题）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（

）A．是从集合到集合的函数B．不是从集合到集合的函数C．的定义域为集合，值域为集合D．例3判断下列对应是否构成集合到集合的函数：(1)，，；(2)，，；知识点2同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．例1下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与C．f（x）=x与g（x）= D．与例2（多选题）下列各组函数中，与是同一函数的有（

）A．， B．，C．， D．，例3判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．（1），；（2），；（3），；（4），.知识点3函数的图象、作图、识图与用图将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．作图、识图与用图(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq\f(b,2a).例1下列图形能表示函数图象的是（

）A．B．C．D．例2（多选题）下列四个图形中，可能是函数的图象的是（

）A．B．C． D．例3集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？二．典型题型题型1已知函数值求自变量或参数解题技巧：1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．例1若函数，且，则（

）A．11 B．10 C．9 D．8例2（多选题）已知可用列表法表示如下:若，则可以取（

）A． B． C． D．例3已知函数．(1)求函数的定义域．(2)求，；(3)已知，求a的值．题型2抽象函数的定义域解题技巧：抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)②括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)例1已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．例2（多选题）下列命题正确的是（

）A．若函数定义域为，则函数的定义域为B．，不是同一函数C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同例3已知函数的定义域为，求函数的定义域．三．难点题型题型1复合函数的定义域解题技巧：1．已知复合函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域方法是：若f(g(x))的定义域为x∈(a，b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域．2．已知复合函数f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域结合以上1、2两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f(g(x))定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f(h(x))的定义域．例1已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是例3求抽象函数的定义域.(1)已知函数，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为，求的定义域.题型2复杂函数的值域解题技巧：(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}．(2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．(3)反解法：例如求函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．(6)判别式法：对于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域．(7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解．例1函数的值域是（

）A． B． C． D．例2（多选题）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为例3已知函数．(1)解不等式：；(2)求函数的值域．四．活学活用培优训练一、单选题1．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A． B．C． D．2．函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（

）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）3．已知函数，则下列图象错误的是（

）A． B．C． D．4．已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(

)A． B．C． D．5．下列命题中，正确命题的个数为（

）①当时，的最小值是5；②与表示同一函数；③函数的定义域是，则函数的定义域是；④已知，，且，则最小值为．A． B． C． D．6．设全集，集合，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题7．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.下列结论正确的是（

）A．若为“函数”，则其图象恒过定点B．函数在上是“函数”C．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）D．若为“函数”，则一定是上的增函数8．已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为9．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空题10．解析式相同，定义域不同的两个函数称为“同族函数”．对于函数，值域为{1，2，4}的“同族函数”的个数为______个．11．若函数的定义域是，则实数的取值范围是________.12．函数的值域是___________.13．已知函数的定义域为，则函数的定义域是___________．四、解答题14．求下列函数的值域：(1)；(2)(3)；(4)．15．已知函数．(1)求，的值；(2)求证：的定值；(3)求的值．16．已知函数，．(1)当时，在坐标系中画出和的图象；(2)若不等式恒成立，求的取值范围．5.1函数的概念和图象TOC\o"1-4"\h\z\u5.1函数的概念和图象 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1函数的概念 3知识点2同一函数 4知识点3函数的图象、作图、识图与用图 6二、典型题型 6题型1已知函数值求自变量或参数 8题型2抽象函数的定义域 9三、难点题型 9题型1复合函数的定义域 11题型2复杂函数的值域 12四、活学活用培优训练 26一．基础知识点知识点1函数的概念函数的定义一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．函数的值域若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域例1若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的定义，数形结合即可对选项进行判断.【详解】选项A中，当时，，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选：B.例2（多选题）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（

）A．是从集合到集合的函数B．不是从集合到集合的函数C．的定义域为集合，值域为集合D．【答案】AD【分析】结合函数的定义，依次判断即可【详解】选项A，对于集合A中的每个元素都有唯一的数对应，符合函数定义，正确；选项B，由选项A分析，错误；选项C，的定义域为集合，值域为集合，为集合B的真子集，错误；选项D，，故，正确故选：AD例3判断下列对应是否构成集合到集合的函数：(1)，，；(2)，，；【答案】(1)不是；(2)是.【分析】（1）当时，中无元素与对应，不符合函数定义；（2）根据函数定义可知该对应为函数.(1)当时，，此时中无元素与对应，该对应不是集合到集合的函数；(2)集合中每个元素在中均有唯一的元素与其对应，则该对应是集合到集合的函数.知识点2同一函数(1)定义域和对应关系都相同的两个函数.(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．例1下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．f（x）=1与g（x）=x0 B．与C．f（x）=x与g（x）= D．与【答案】B【分析】根据同一函数的判断标准，只要定义域相同，解析式一致，即为同一函数【详解】A选项：两个函数定义与不同：f(x)定义域为R，g(x)定义域，排除AC选项：f(x)定义域为R，g(x)定义域，定义域不同，故排除CD选项：：f(x)定义域为，g(x)定义域，故排除D，故选：B【点睛】考查学生对函数定义的理解例2（多选题）下列各组函数中，与是同一函数的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【解析】满足定义域和对应关系一样的函数才是相等函数.【详解】A.定义域不一样，定义域为，的定义域为，不是同一函数；B.，当，时；当时，与定义域和对应关系一样，为同一函数；C.，与定义域和对应关系一样，为同一函数；D.定义域不一样，定义域为，的定义域为故选:BC例3判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．（1），；（2），；（3），；（4），.【答案】（1）不是；（2）是；（3）不是；（4）是.【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数.【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．（2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数．（3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数．（4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．知识点3函数的图象、作图、识图与用图将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．作图、识图与用图(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq\f(b,2a).例1下列图形能表示函数图象的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.【详解】由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D例2（多选题）下列四个图形中，可能是函数的图象的是（

）A．B．C． D．【答案】AD【分析】根据函数定义判断．【详解】在A，D中，对于定义域内每一个x都有唯一的y与之对应，满足函数关系；在B，C中，存在一个x有两个y与之对应的情况，不满足函数关系，故选：AD．例3集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？【答案】见解析.【解析】根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域.【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是从A到B的函数.定义域是，值域.【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题.二．典型题型题型1已知函数值求自变量或参数解题技巧：1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．例1若函数，且，则（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【分析】运用换元法求出函数的解析式，再利用代入法进行求解即可.【详解】令，由，可得，即，由，可得，故选：C例2（多选题）已知可用列表法表示如下:若，则可以取（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据所给函数关系一一代入计算可得；【详解】解：当时，，故不适合;当时，适合;当时，适合;当时，适合，所以或或.故选：BCD例3已知函数．(1)求函数的定义域．(2)求，；(3)已知，求a的值．【答案】(1)且(2)，(3)【分析】（1）利用分式、根式的性质求的定义域.（2）将自变量代入解析式求函数值即可.（3）首先求关于a的解析式，再由方程求a的值．(1)由，解得，∴函数的定义域为且；(2)，．(3)，，即，．题型2抽象函数的定义域解题技巧：抽象函数的定义域(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域．(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域．用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：①定义域指自变量的取值范围．(告诉我们已知什么，求什么)②括号内范围相同．(告诉我们如何将条件与结论联系起来)例1已知函数的定义域是，则的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定复合函数求出的定义域，再列式求解作答.【详解】因函数的定义域是，即中，则，因此，有意义，必有，解得，所以的定义域是.故选：D例2（多选题）下列命题正确的是（

）A．若函数定义域为，则函数的定义域为B．，不是同一函数C．函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个D．存在函数，满足条件：值域相同，对应关系相同，但定义域不同【答案】ACD【分析】根据抽象函数定义域的求法可知A正确；根据相等函数的定义可判断B错误；根据函数的定义可知C，D正确；【详解】对A，由可得，所以函数的定义域为，A正确；对B，函数和的定义域都为，对应关系也一样，所以它们是同一函数，B错误；对C，根据函数的定义可知，对，函数最多只有一个值与之对应，所以函数的图象与直线的公共点的数目是0个或1个，C正确；对D，比如函数，满足值域相同，对应关系相同，但定义域不同．故选：ACD．例3已知函数的定义域为，求函数的定义域．【答案】【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域，然后可建立不等式组求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，，所以函数的定义域为，所以要使函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.三．难点题型题型1复合函数的定义域解题技巧：1．已知复合函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域方法是：若f(g(x))的定义域为x∈(a，b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域．2．已知复合函数f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域结合以上1、2两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f(g(x))定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f(h(x))的定义域．例1已知函数的定义域为，若，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知函数的定义域有，即可求复合函数的定义域.【详解】由题意得：，即，又，∴．故选：B例2（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是【答案】BC【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，故选项A不正确；对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，故选：BC【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域.例3求抽象函数的定义域.(1)已知函数，求函数的定义域；(2)已知函数的定义域为，求的定义域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域；（2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域.(1)解：由，得，解得：，∴函数的定义域为，由，得，即函数的定义域为.(2)解：∵函数的定义域为，∴，则，即函数的定义域为，由，得，∴的定义域为.题型2复杂函数的值域解题技巧：(1)直接法(观察法)：对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合，就得到函数的值域．例如求函数f(x)＝5x＋1(x∈{1,2,3,4})的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来，即可得到函数f(x)的值域为{6,11,16,21}．(2)分离常数法：对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．(3)反解法：例如求函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域．由y＝eq\f(x－1,x＋2)解出x得x＝eq\f(2y＋1,1－y).由x＞－4，得eq\f(2y＋1,1－y)＞－4，即eq\f(2y－5,y－1)＞0，∴y＞eq\f(5,2)或y＜1.故函数y＝eq\f(x－1,x＋2)(x＞－4)的值域为(－∞，1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).(4)图象法：通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域．(5)换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t，转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．(6)判别式法：对于形如：y＝eq\f(fx,gx)的函数，(f(x)、g(x)是一次函数或二次函数，且至少一个二次函数)可以将方程转化为关于x的整式方程，利用一元二次方程有实数根，利用根的判别式不小于零，得到关于y的不等式，解出其解集，就是函数的值域．(7)基本不等式法：创造条件利用基本不等式可以求出函数的最值，再进一步求解．例1函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，转化为，，根据均值不等式求解即可.【详解】令,则，当时，，当时，，当且仅当时，即时等号成立，综上，故选：C【点睛】关键点点睛：注意含根号式子中，经常使用换元法，利用换元法可简化运算，本题注意均值不等式的使用，属于中档题.例2（多选题）下列说法正确的是（

）A．若的定义域为，则的定义域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数在上的值域为【答案】AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A，因为的定义域为，所以，解得，即的定义域为，故A正确；对于B，，所以，即函数的值域为，故B不正确；对于C，令，则，，所以，，所以当时，该函数取得最大值，最大值为，所以函数的值域为，故C正确；对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，所以函数在上的值域为，故D不正确．故选：AC．例3已知函数．(1)解不等式：；(2)求函数的值域．【答案】(1).(2).【分析】（1）由分母可将不等式化为，进而求解集.（2）令，将其转化为关于的一元二次方程，讨论、求的范围，即可知值域.(1)由题意，，又∴，即，∴或，故解集为.(2)令，可得，当时，有；当时，有，又为一元二次方程且在内有实数解，∴，解得：且，综上，，∴的值域为．四．活学活用培优训练一、单选题1．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数．【详解】对于A，的定义域是，的定义域是，，定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；对于B，的定义域是，的定义域是，定义域不相同，不是相等函数；对于C，的定义域是，的定义域是，定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，的定义域是，的定义域是或，定义域不同，不是相等函数．故选：C2．函数f（x）的定义域为R，则实数m的取值范围是（

）A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）【答案】B【分析】问题转化为恒成立，则，求解即可【详解】f（x）的定义域是R，则恒成立，即恒成立，则，解得，所以实数m的取值范围为.故选：B.3．已知函数，则下列图象错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】确定的图象，然后根据图象变换确定各选项．【详解】当时，，表示一条线段，且线段经过和两点．当时，，表示一段曲线．函数的图象如图所示．的图象可由的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；的图象可由的图象关于轴对称后得到，故B正确；由于的值域为，故，故的图象与的图象完全相同，故C正确；很明显D中的图象不正确．故选：D．4．已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】结合函数特征和已知条件可得到解集为，当时，可得到与已知条件矛盾；当时，结合一元二次函数图像即可求解.【详解】由题意可知，的解集为，①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.5．下列命题中，正确命题的个数为（

）①当时，的最小值是5；②与表示同一函数；③函数的定义域是，则函数的定义域是；④已知，，且，则最小值为．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；【详解】解：对于①当时，，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，故①错误；对于②与表示同一函数，故②正确；对于③函数的定义域是，，所以，解得，故函数的定义域是，故③错误；对于④已知，，且，所以，则，当且仅当，即，时取等号，故④正确；故选：B6．设全集，集合，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得，，再依次计算各选项即可得答案.【详解】解：由题知，，所以，故A错误；，故B错误；，故C正确，D错误.故选：C二、多选题7．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①，；②，，，则称函数为“函数”.下列结论正确的是（

）A．若为“函数”，则其图象恒过定点B．函数在上是“函数”C．函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）D．若为“函数”，则一定是上的增函数【答案】AC【分析】结合函数新定义的概念利用赋值法即可求解.【详解】对于A：不妨令，则，因为，，所以，故，故A正确；对于B：不妨令，，则，，，即，这与，，矛盾，故B错误；对于C：由题意可知，，，不妨令，其中为整数部分，为小数部分，则；再令，其中为整数部分，为小数部分，则；若，则；若，则，从而，，成立，故C正确；对于D：由题意可知，常函数为“H函数”，但不是增函数，故D错误.故选：AC.8．已知函数关于函数的结论正确的是（

）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是 D．的解集为【答案】BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D.【详解】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．9．若函数的定义域为，值域为，则的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABC【分析】根据在和时，函