人教版初升高数学初升高数学衔接讲义第11讲函数的单调性与最值(学生版+解析)

第11讲函数的单调性与最值单调性概念及性质单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)名称定义几何意义图形表示增函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.的图象在区间上呈上升趋势减函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.的图象在区间上呈下降趋势2.单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；④定论——根据符号下结论.判断函数单调性的方法：定义法；图像法；性质法：①与具有相同的单调性；②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；④当恒不为零时，与具有相反的单调性；⑤当时，与具有相同的单调性．若函数的定义域为且满足，则函数在上为()A．增函数 B．减函数 C．先增后减D．不能确定函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.(2)研究函数的性质.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.(1)(2)(3)函数最值函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最大值.函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最小值.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.求下列函数的值域.(1)(2)

若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．设函数，其中为常数.对任意，当时，，求实数的取值范围；在(1)的条件下，求在区间上的最小值.定义在上的函数满足，且当时，.求的值；求证：；求证：在上是增函数；若，解不等式；比较与的大小.跟踪训练下列函数在区间上是增函数的是()A.B. C. D.已知在区间是增函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.函数的图象的对称轴为直线，则()A. B.C. D.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.求函数在区间上的值域是_______.函数在区间的最大值为4，则________.若函数在上递增，在上递减，则___.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．已知是定义在上的减函数，则应满足()A. B. C. D.若函数与在上都是减函数，则的取值范围是()A.B.C.D.已知函数，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.已知函数的值域为，则实数的取值范围是.已知函数.当时，求的最小值；当时，求的最小值；若为正常数，求的最小值.利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．已知函数对任意，总有，且当时，，.求证：是上的减函数；求是上的最大值和最小值.设，当时，恒成立，求的取值范围．已知函数是定义在上的增函数，且，解不等式.第11讲函数的单调性与最值单调性概念及性质单调性的概念(一般地，设函数的定义域为，区间.)名称定义几何意义图形表示增函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.的图象在区间上呈上升趋势减函数如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.的图象在区间上呈下降趋势2.单调区间的定义如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做函数的单调区间．3.证明函数在某个区间上的单调性的方法步骤：①设元——设是给定区间内的任意两个数，且;②作差——计算化简至最简(方便判断因式正负)；③判号——判断的正负，若符号不确定，则进行分类讨论；④定论——根据符号下结论.判断函数单调性的方法：定义法；图像法；性质法：①与具有相同的单调性；②与，当时单调性相同；当时，单调性相反；③当，都是增(减)函数时，是增(减)函数；④当恒不为零时，与具有相反的单调性；⑤当时，与具有相同的单调性．若函数的定义域为且满足，则函数在上为()A．增函数 B．减函数 C．先增后减D．不能确定【答案】D函数在上的图像如图所示，请写出函数的单调区间.【答案】单调增区间：；单调减区间：利用函数单调性的定义，判断并证明下列函数的单调性.(2)【答案】(1)单调递增；(2)单调递增.【解析】(1)任取且，则，且，，，即，在上单调递增；(2)任取且，则，且，，，即，在单调递增.研究函数的性质.【答案】在和上单调递增，在和上单调递减.【解析】的定义域为，先研究在上的单调性，任取且，则，由于，故当时，，即，此时在上单调递增，同理可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，综上所述，在和上单调递增，在和上单调递减.判断下列函数的单调性，并求其单调区间.(1)(2)(3)【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增；在上单调递增，在上单调递减.【解析】(1)，定义域为，所以在上单调递减；(2)，增函数-减函数=增函数，定义域为，所以在上单调递增；(3)由可知在上单调递增，在上单调递减.函数最值函数最大值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最大值.函数最小值的概念：一般地，设函数的定义域为.如果存在实数满足：①，都有；②，使得.那么称是的最小值.如图为函数的图像，指出它的最大值、最小值.【答案】最大值3，最小值.求下列函数的值域.(1)(2)【答案】(1)；(2)【解析】(1)单调递增，所以，所以的值域为；(2)单调递增，所以，，所以的值域为.

若函数的单调减区间是，求实数的取值范围；若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)函数的对称轴为，开口向上，所以在上单调递减，依题意，解得，所以的取值范围为；(2)依题意，解得，所以的取值范围为.已知函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．【答案】.已知函数．若对任意，恒成立，试求的取值范围．【答案】【解析】在上恒成立，即在上恒成立，又在上单调递减，所以，所以的取值范围为.若函数的定义域为，且在上是减函数，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】，，又在上是减函数，，故选B.已知函数是定义在区间上的减函数，解不等式．【答案】【解析】定义域为，且在上是减函数，，解得.设函数，其中为常数.对任意，当时，，求实数的取值范围；在(1)的条件下，求在区间上的最小值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意可知在上单调递增，，解得，所以的取值范围是；(2)，对称轴为，由(1)得，当，即时，；当，即时，，综上所述，.定义在上的函数满足，且当时，.求的值；求证：；求证：在上是增函数；若，解不等式；比较与的大小.【答案】(1)；(2)(3)见解析；(4)；(5).【解析】(1)令得，解得；(2)，；(3)任取且，则，由(2)得，即，在上是增函数；(4)由得，由得，即，又在上是增函数，，解得；(5)，，且，，.跟踪训练下列函数在区间上是增函数的是()A.B. C. D.【答案】A已知在区间是增函数，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】的对称轴为，在区间是增函数，，解得，选B.函数的图象的对称轴为直线，则()A. B.C. D.【答案】B【解析】的对称轴为，，又在上单调递增，，选B.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是_______.若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是_______.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在上是减函数，在上是增函数，，解得，故答案为：；(2)在上为减函数，，故答案为：.求函数在区间上的值域是_______.【答案】【解析】在上单调递增，所以，，所以在区间上的值域是.函数在区间的最大值为4，则________.若函数在上递增，在上递减，则___.已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是______.【答案】(1)1；(2)25；(3).【解析】(1)当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得；当时，数在区间上单调递减，最大值为，解得，舍去，综上所述，；(2)依题意得对称轴，解得，，；(3)易知在上单调递减，在上单调递增，依题意得，所以的取值范围是.函数的单调递增区间是________，单调递减区间是________．【答案】；【解析】，的单调递增区间为，单调递减区间为.已知是定义在上的减函数，则应满足()A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意得，解得，选B.若函数与在上都是减函数，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】在上单调递减，则；在上是减函数，则，综上，的取值范围是，选D.已知函数，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由函数图象(实线部分)可知在上单调递增，若，若，解得，故选C.已知函数的值域为，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，易知在上单调递增，在上单调递减，由解得或5，的值域为，，所以的取值范围是.已知函数.当时，求的最小值；当时，求的最小值；若为正常数，求的最小值.【答案】(1)6；(2)；(3).【解析】(1)当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，；(2)当时，，易知在上为增函数，；(3)在上单调递减，在上单调递增，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时；当，即时，在上单调递增，此时，综上所述，.利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．【证明】