高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练46　双曲线

课时规范练46双曲线基础巩固组1.(2021北京丰台一模)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是52,则A.2 B.2 C.22 D.答案:B解析:由e2=1+b2a2=1+1a2=52.(2021全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x216−yA.95 B.85 C.65 答案:A解析:由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为|3×3-3.(2021北京,5)双曲线C:x2a2−y2A.x2-y23=1 B.x2C.x2-3y23=1 D.3答案:A解析:∵e2=1+b2a2=4,则b2=3a2,则双曲线的方程为x2a2−y23a2=1,由双曲线过点(2,3),得2a2−34.(2021山东济南一模)已知双曲线x2m+1−y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±A.12 B.3-1 C.3答案:A解析:由双曲线x2m+1−y2m=1(m>0)的渐近线方程为x±3y=5.(2020北京模拟预测)设F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若双曲线C的两个顶点恰好将线段FA.y=±22x B.y=±24C.y=±3x D.y=±13答案:A解析:因为双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分,所以2a=13·2c,则c=3a,所以e=ca=3,所以ba=c2a2-1=36.(2021北京高三期中)如图是等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5m,水面宽AB=30m.若水面下降5m,则水面宽是()(结果精确到0.1m)(参考数值:2≈1.41,5≈2.24,7≈A.43.8m B.44.8m C.52.3m D.53.0m答案:B解析:建立如图所示的坐标系,设双曲线的方程为y2a2−x2a2=1(a>0),则其顶点为(0,-a),由题意得A(-15,-a-5),代入双曲线方程得(a+5)2-152=a2,解得a=20,水面下降5米后,水面为A'B',设A'(x0,-a-10),即A'(x0,-30),代入双曲线方程得(-30)2202−x02202=1,又x0<0,7.(2021山东滨州二模)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P是双曲线C上在第一象限内的一点,若sin∠PF2F1=3sin∠PFA.(1,2) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(2,3)答案:A解析:在△PF1F2中,因为sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,由正弦定理得|PF1|=3|PF2|,又点P是双曲线C上在第一象限内的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=3a,|PF2|=a,在△PF1F2中,由|PF1|+|PF2|>|F1F2|,得3a+a>2c,即2a>c,所以e=ca<2,又e>1,所以1<e<2.故选A8.(2021全国乙,文14)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-答案:5解析:由双曲线方程可得c=4+5=3,即双曲线的右焦点为F(3,0).则点F到直线x+2y-8=0的距离d=|3+29.(2021山东潍坊一模,改编)已知双曲线x2a2−y29=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,一条渐近线方程为y=34A.C的实轴长为4 B.C的离心率为5C.|PF1|-|PF2|=8 D.C的焦距为10答案:D解析:由题意,ba=34,又b=3,所以a=4,则c=5,所以2a=8,2c=10,选项A,B错,D正确,当点P为双曲线左支上的点时,选项C错10.已知F是双曲线C:x24−y25=1的右焦点,若P是C的左支上一点,A(0,66).则答案:34解析:设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:x24−y25=1,得a=∴F(3,0),F'(-3,0),|AF|=|AF'|=9+216=15,∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15,由双曲线的定义知|PF|=4+|PF'|,即△APF的周长为|PA|+|PF'|+19≥|AF'|+19=34,当A,P,F'三点共线时取等号.综合提升组11.(2021山东聊城三模)已知A,B,C是双曲线:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的三点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若A.172 B.173 C答案:D解析:设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,如图所示,由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,BF⊥AC,∴四边形AEBF为矩形,令|BF|=|AE|=m,|BE|=|AF|=n,∵|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,CF=32FA,∴|AC|=|CF|+|AF|=52n|CE|=2a+|CF|=2a+32n∴在Rt△EAC中,m2+52n2=2a+32n2,将2a=m-n代入消去a,可得m=6n,∴n=25a,m=125a,∴在Rt△EAF中,m2+n2=(2c)2,即125a2+25a2=(2c)2,可得e=ca=375.12.(2021全国高三专题练习)设F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为H,若|HF1A.332 B.6 C答案:D解析:由题设知双曲线C的一条渐近线方程为y=bax,即bx-ay=由题意,|HF2|=|bc-∴|OH|=a,由S△OHF2=12cyH=12∴Ha2c,∴|HF1|=(a2c+c)

2两边平方化简并结合c2=a2+b2,得a4-a2b2=2b4,∴2b2a22+b2a22-1=0,解得∴e2=1+b2a2=32,13.(2021四川诊断)已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,圆x2+y2-2cx+b2=0与双曲线的一条渐近线l交于A,BA.-2 B.-3 C.-22 D.-23答案:C解析:由题意可设双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,圆x2+y2-2cx+b2=0化为(x-c)2+y2=a2,圆心(c,0),半径为a,l与圆(x-c)2+y2=a2(其中c2=a2+b2)相交于A,B两点,由l的倾斜角为30°,可得ba=tan30°=33,过F作FD⊥AB,点D为垂足,F(c,0)到直线l的距离为|FD|=|bc|b2+a2=b,∴|BD|=a2-b2,则tan∠DFB=|BD||FD|14.(2021安徽安庆二模)已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为G.连接F1G,设直线F1G,F2G的斜率分别为k1,k2,若k1k2答案:2解析:已知焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0),其中c=a根据对称性,不妨设点G在渐近线y=bax上,则直线F2G的方程为y=-ab(x-c),与y=bax联立,得Ga2c,abc,所以k1=abca2c+c=aba2+c2,由k1k2=-13,15.(2020全国Ⅰ,理15)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.答案:2解析:由题意可得A(a,0),F(c,0),其中c=a由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc∵AB的斜率为3,∴Bc∵kAB=b2ac-a=b2创新应用组16.(2021浙江,9)已知a,b∈R,ab>0,函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s-t),f(s),f(s+t)成等比数列,则平面上点(s,t)的轨迹是()A.直线和圆 B.直线和椭圆C.直线和双曲线 D.直线和抛物线答案:C解析:由题意得f(s-t)f(s+t)=[f(s)]2,即[a(s-t)2+b][a(s+t)2+b]=(as2+b)2,整理得-2a2s2t2+a2t4+2abt2=0,所以-2as2+at2+2b=0或t=0,其中s2ba−t22ba=117.(2021山东潍坊二模,改编)已知双曲线C:x2-y23=1,其左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P,Q,且PF1A.△PF1Q的周长为4B.△PF1F2的面积为3C.|PF1|=7+1D.△PF1Q的内切圆半径为7-1答案:A解析:如图,由双曲线x2-y23=1,得a2=1,b2=3,所以c=a2+b2=2,则由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,∵PF∴∠F1PQ=90°,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,∴|PF1|+|PF2|=2(|PF从而Rt△F1PQ的内切圆半径:r=12(|PF1|+|PQ|-|F1Q|)=12(|PF1|+|PF2|)-12(|QF1|-|QF2|)=12×27−故△PF1Q的内切圆半径为7-1,故D正确;联立|解得|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,故C正确;S△PF1F2=12|PF1|·|PF2|=12(7+由|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2,|PF1|2+|PQ|2=|QF1|2,且|PF1|=7+1,|PF2|=7-1,解得|QF2|=9+37,|QF1|=11+37∴△PF1Q的周长为20+87,故A错误.18.(2021山东德州二模)已知F1,F2是双曲线y2-x24=1的两个焦点,P是双曲线上任意一点,过F2作∠F1PF2平分线的垂线,垂足为N,则点N到直线x+y-22=0的距离的取值范围是