四川省乐山市沐川县2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

沐川县2023-2024学年八年级质量监测数学注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分，请务必在“答题卡”上与试题番号对应的位置处答题，位置错误，答题是无效的．3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回．一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．1.若分式有意义，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件“分母不为零”可得，进行计算即可得，掌握分式有意义的条件是解题的关键．解：分式有意义，则，，故选：A．2.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，梅花花粉的直径约为，用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．解：，故选：C．3.在平面直角坐标系中，点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为，，所以点在第四象限．解：，，点在第四象限．故选：D．【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中已知点的坐标确定点的位置，比较简单．牢记四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．4.如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可．解：∵四边形是平行四边形，∴，，，故A，B，D正确，不符合题意；∵与不一定相等，故C错误，符合题意．故选：C．5.为了了解学生在假期中的阅读量，语文老师统计了全班学生在假期里的看书数量，统计结果如表：看书数量/（本）23456人数/（人）661085那么假期里该班学生看书数量的平均数与众数分别为（）A.4，5 B.4，4 C.5，4 D.5，5【答案】B【解析】【分析】直接根据平均数及众数的定义求解即可．解：平均数为：，看书数量为4本有10人，人数最多，故众数为4，故选：B．【点睛】本题主要考查众数与平均数的求法，解题的关键是熟练掌握平均数的计算公式．6.关于反比例函数，下列说法中错误的是（）A.图象必经过点 B.它的图象分布在第一、三象限C.当时，y随x的增大而减小 D.当时，【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数中的时位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，根据这个性质选择则可．解：A、∵，图象必经过点，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵，∴函数图象分布在第一、三象限，故本选项说法正确，不符合题意；C、∵，∴反比例函数图象位于第一、三象限；在每个象限内，随的增大而减小，故本选项说法正确，不符合题意；D、∵当时，，不能等于0，∴故本选项说法错误，符合题意；故选：D．7.如图，在菱形中，E是的中点，，连结，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质得，，根据E是的中点，得，即可得是等边三角形，则，根据得，即可得；掌握菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质是解题的关键．解：∵四边形是菱形，∴，，∵E是的中点，，∴，∴，∴是等边三角形，即，∵，∴，∴，故选：C．8.如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连结、、，添加一个条件，不能判定四边形为矩形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．先证四边形为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．解：∵四边形是平行四边形，，，，，，，，，∴四边形是平行四边形，A、∵，∴，∴平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；B、∵时，又，∴，∴平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；C、∵，∴平行四边形是矩形，故选项C不符合题意；D、∵，∴平行四边形是菱形，无法判定其为矩形，故选项D符合题意．故选：D．9.关于x的方程有增根，则m的值是（）A.0 B.3或5 C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．解：去分母得：，∴，∵关于x的方程有增根，∴，解得：，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查根据分式方程根的情况求参数的值．根据分式方程有增根求出x的值，并代入去分母后转化的整式方程中求m的值是解题的关键．10.正比例函数的函数值y随着x增大而减小，则一次函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限．解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y=2x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y=2x+k的图象经过第一、三、四象限，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．11.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C∵函数与的图像交于点P(，)，∴，，即，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．12.如图，在正方形中，E为对角线上一点，连结，过点E作，交延长线于点F，以、为邻边作矩形，连结．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④【答案】B【解析】【分析】①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确；③根据②的结论可得，所以，故③正确；④当时，点C与点F重合，得到不一定等于，故④错误．解：①过E作于M点，过E作于N点，如图所示：∵四边形是正方形，，，，，∴四边形为正方形，∵四边形是矩形，，，，又，在和中，，，，故①正确；②∵矩形为正方形；，，∵四边形是正方形，，，，在和中，，，故②正确；③根据②得，，，故③正确；④当时，点C与点F重合，不一定等于，故④错误，综上所述：①②③正确．故选：B．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13.计算：=_____【答案】1【解析】【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．解：原式==1．故答案为：1．【点睛】本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．14.点关于原点对称的点的坐标是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标的特征：横、纵坐标都互为相反数，即可求解．解：点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．15.如图，四边形是平行四边形，点E在线段的延长线上，若，则______．

【答案】【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，根据得，即可得；掌握平行四边形的性质是解题的关键．解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，故答案为：．16.遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为：22，24，20，23，25，这5个数的中位数是______．【答案】23【解析】【分析】将这5个数从小到大排列，第3个数就是这组数的中位数．将这5个数从小到大排列：20、22、23、24、25，第3个数为23，则这组数的中位数为：23，故答案为：23．【点睛】本题考查了中位数的定义，充分理解中位数的定义是解答本题的基础．17.如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是___________．【答案】【解析】【分析】连接，根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答．解：连接∵点B的坐标是，∴，∵四边形是矩形，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据勾股定理求出是解本题的关键．18.如图，点在直线上，过点作轴，交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于、两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，…，按此规律进行下去．（1）等腰直角的面积为_____，（2）等腰直角的面积为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】先根据点的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，再根据的坐标及轴求出的坐标，进而得到的长及的面积，根据变换规律的长得到的面积，依次类推即可找出规律，进而可得到的面积．解：(1)∵，轴，且点在直线上，，，，，∵是等腰直角三角形，，．故答案为：（2），，∵轴，且点在直线上，，，，，，∵轴，且点在直线上，，，，，，，依次类推，．故答案为：．【点睛】此题考查一次函数的性质，图像上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，根据图像依次计算得到点的坐标规律是计算面积的关键.三、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）19.计算：【答案】【解析】【分析】本题考查有理数乘方，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解此题的关键．根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂法则计算即可．解：；20.已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，求的值．【答案】，【解析】【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式．熟练掌握一次函数图象的平移，一次函数解析式是解题的关键．由一次函数的图象与直线平行，可得，将代入，计算可求的值．解：∵一次函数的图象与直线平行，∴，将代入，得，解得，，∴，．21.如图，在中，点E、F是对角线上两点，且．求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据四边形是平行四边形得，，则，根据得，利用证明，得，即可得；掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明：∵四边形平行四边形，∴，，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴四边形是平行四边形．四、（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）22.先化简，再求值：，其中x从，0，1，2这四个数中选一个合适的数代入求值．【答案】；当时，原式，当时，原式【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件确定合适的x的值，最后代值计算即可．解：原式=，∵分式有意义，，，或，当时，；当时，．23.某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队中每个队员的身高（单位：cm）如下：甲队

平均数中位数众数方差甲队乙队两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：（1）表中，；（2）请计算甲队身高的方差，并判断哪队队员身高更整齐，说明理由．【答案】（1）；（2），甲队队员身高更整齐，理由见解析【解析】【分析】本题考查中位数、众数和方差，（1）根据中位数和众数的定义可得、的值；（2）根据方差的计算公式可得甲队身高的方差，再根据方差的意义进行解答即可；正确理解中位数、众数、方差的意义是解题的关键．【小问1】解：乙队共名队员，中位数落在第组，∴中位数，甲队身高数据出现的次数最多，∴众数，故答案为：；；【小问2】甲队身高的方差，∵甲队的方差为，乙队的方差为，∴甲队的方差小于乙队的方差，∴甲队的身高比乙队整齐．24.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）在x轴上找一点P，使的周长最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（1）；（2）点【解析】【分析】本题考查了待定系数法求得函数的解析式，最短路径问题等，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）待定系数法求得反比例函数的解析式，求得点B的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）作A关于x轴的对称点D，连接交x轴于P，设直线的解析式并运用待定系数法求直线的解析式，即可得到坐标．【小问1】把点代入，得，∴反比例函数的表达式为：，把点代入，得．把点、代入，得解得∴一次函数解析式为：．【小问2】作点A关于x轴的对称点D，连接点D、点B，交x轴于点P．点，设直线的解析式为，把点、代入，得解得∴直线的解析式为，．当时，，．∴点．五、（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）25.广州某商店准备购进一批洗发水和电池，每件洗发水的进价比每件电池的进价多4元，商店用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等．（1）求每件洗发水与每件电池的进价分别是多少？（2）已知洗发水的销售价为每件26元，电池的销售价为每件20元．若该商店准备购进这两种用品共100件，其中购进洗发水件，那么该商店要获得最大利润应如何进货？最大利润为多少元？【答案】（1）20元，16元（2）购进洗发水38件，电池62件，最大利润476元【解析】【分析】（1）设每件洗发水的进价是元，根据用800元购进洗发水的数量与用640元购进电池的数量相等列方程并检验，可得答案；（2）设该商店获得的利润为元，可得，由一次函数性质可得答案．【小问1】解：设每件洗发水的进价是元，则每件电池的进价是元，根据题意得：，解得，经检验，是方程的解，，每件洗发水的进价是20元，每件电池的进价是16元；【小问2】设该商店获得的利润为元，根据题意得，，随的增大而增大，当时，取最大值，最大值为（元，（件，购进洗发水38件，电池62件，该商店获得最大利润476元．【点睛】本题考查一次函数和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．26.如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求和的长．【答案】（1）见解析（2）；【解析】【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．（1）根据得，根据得，即可得，根据得，可得四边形是平行四边形，根据即可得；（2）根据四边形是菱形，得，，，即可得，O为的中点，在中，，，，根据勾股定理得，可得，即可得菱形的面积为，根据菱形面积公式得，即可得；根据得，在中，，O为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；【小问1】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；【小问2】解：∵四边形是菱形，，∴，，，∴，O为的中点，在中，，，，根据勾股定理得，，∴，∴，∵，∴，则；∵，∴在中，，O为的中点，∴．六、（本大题共2个小题，每小题11分，共22分）27.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点B、C作直线交x轴于点D．（1）求点B、C的坐标和直线的表达式；（2）若点E为线段上一点，且的面积为，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点P，使以点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）（3）存在，点P坐标为【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得，，由题意可求，；如图1，作轴于，证明，则，可得，待定系数法求直线的解析式即可；（2）由题意可求，如图2，作轴于，设，由题意知，，即，计算求解，然后作答即可；（3）设，由点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，可知当为边，为边时，是对角线，则的中点为，的中点为，可得，可求，进而可得；当为边，为对角线时，是对角线，同理求解即可；当为对角线时，是对角线，同理求解即可．【小问1】解：由旋转的性质可得，，当时，，即，当时，，即；如图1，作轴于，∴，即，又∵，，∴，∴，∴，设直线的解析式为，将、代入得，，解得，，∴直线的解析式为；【小问2】解：当时，，解得，，∴，如图2，作轴于，设，由题意知，，∴，解得，，∴；【小问3】解：设，∵点A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，∴当为边，为边时，是对角线，∴的中点为，的中点为，∴，解得，，∴；当为边，为对角线时，是对角线，同理可得，；当为对角线时，是对角线，同理可得，；综上所述，存在，点P的坐标为．【点睛】本题考查了一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，平行四边形的性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，平行四边形的性质是解题的关键．28.【经典回顾】梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．在中，，四边形、和分别是以的三边为一边的正方形．延长和，交于点，连接并延长交于点，交于点，延长交于点．（1）证明：；（2）证明：正方形的面积等于四边形的面积；（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．（4）【迁移拓展】如图2，四边形和分别是以的两边为一边的平行四边形，探索在下方是否存在平行四边形，使得该平行四边形的面积等于平行四边形、的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．【