高中数学2019衡水名师原创理科数学卷：五《导数及其应用》

考试注意事项

1.进入考场时携带的物品。

考生进入考场，只准携带准考证、二代居民身份证以及2B铅

笔、0.5毫米黑色墨水签字笔、直尺、圆规、三角板、无封套橡

皮、小刀、空白垫纸板、透明笔袋等文具。严禁携带手机、无线

发射和接收设备、电子存储记忆录放设备、手表、涂改液、修正

带、助听器、文具盒和其他非考试用品。考场内不得自行传递文

具等物品。

由于标准化考点使用金属探测仪等辅助考务设备，所以提醒

考生应考时尽量不要佩戴金属饰品，以免影响入场时间。

2.准确填写、填涂和核对个人信息。

考生在领到答题卡和试卷后，在规定时间内、规定位置处填

写姓名、准考证号。填写错误责任自负；漏填、错填或字迹不清

的答题卡为无效卡；故意错填涉嫌违规的，查实后按照有关规定

严肃处理。监考员贴好条形码后，考生必须核对所贴条形码与自

己的姓名、准考证号是否一致，如发现不一致，立即报告监考员

要求更正。

3.考场面向考生正前方的墙壁上方悬挂时钟，为考生提供时间

参考。

考场时钟的时间指示不作为考试时间信号，考试时间一律以

考点统一发出的铃声信号为准。

2019届高三一轮复习理科数学专题卷

专题五导数及其应用

考点13：导数的概念及运算（1,2题）

考点14：导数的应用（3-11题,13-15题,17-22题）

考点15：定积分的计算（12题,16题）

考试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是最符合题目要求的。）

1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13易

函数/（x）=sir?》的导数是（）

A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x

2.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考考点13易

已知/（X）=」x2+cosx,f（X）为/（X）的导函数，则f（X）的图像是（）

*+**D

A8c

3.12017课标II,理11】考点14易

若x=-2是函数,⑴=（/+axT）/T的极值点,则/W的极小值为（）

A.-1B.-2e'c.5f-3D,1

4.【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考考点14中难

若曲线y=ln（x+a）的一条切线为y=ex+A,其中为正实数，则a+号的取值范围

是（）

A.（—F,+oojB.[e,+co）C.[2,+8）D.[2,e）

5.【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中考点14难

已知函数y=/的图象在点（Xo，x；）处的切线为/,若/也与函数y=lnx,xe（o,l）的图象

相切，则X。必满足()

172I-

A.0<x0<1

B.—<x0<1C.2<X。<D.V2<XQ<5/3

6.【来源】2017届河北磁县一中高三11月月考考点14易

已知函数/(X)的导数为了'(X),且(X+1)/(X)+才(另>0对xGR恒成立，则下列函数

在实数集内一定是增函数的为()

A./(X)B.xf(x)C.e'/(x)

D.xe,"(x)

7•【来源】2017届江西抚州市七校高三上学期联考考点14易

已知函数”X)与尸(x)的图象如图所示,则函数g(x)=#^的递减区间为()

A.(0,4)B.(-co』),件4)A(0,g)D.(0,1),(4,+00)

8.【来源】2017届山东省青州市高三10月段测考点14中难

定义在R上的函数/(x)满足：f\x)>l-f(x),/(0)=6,尸(x)是f(x)的导函数，则不

等式//(x)>/+5(其中e为自然对数的底数)的解集为()

A.(0,+oo)B.(―℃,0)U(3,+oo)

C.(-oo,0)(J(l,4w)D.(3,+00)

9.12017课标3,理11】考点14难

己知函数"X)=/-2尤+a(尸+e'，」)有唯一零点,则()

」J.1

A.2B.3c.2D.1

10.【来源】2017届河南中原名校高三理上质检三考点14难

已知函数/(X)的定义域为R,/‘(X)为函数/(X)的导函数，当XG[(),+OO)

时，2sinxcosx-/(x)>0且VxeR,/(-x)+/(x)+cos2x=l.则下列说法一定正确

的是()

11.【来源】2017届辽宁沈阳二中高三理上学期期中考点14中难

已知函数/(x)=x2-ax-a\nx^ae=-x3+-^x2+2x-6,g(x)在［1,4］上的

最大值为力，当xw［l,+oo)时，〃x)打恒成立，则a的取值范围是()

K.a<2B.£Z<1

C.a<-\D.a<0

12•【来源】2017届辽宁盘锦高级中学高三11月月考考点15中难

已知。>0,b>Q,/'(X)为/(x)的导函数，若/(x)=ln'，且必:=2/⑷+

则的最小值为()

A.472B.272C.-D.-+272

22

第n卷(非选择题)

二.填空题(每题5分，共20分)

13•【来源】2017届广东省仲元中学高三9月月考考点14易

1nx+4

已知函数f(x)=--------，求曲线/(%)在点(1,/(1))处的切线方程

X

14•【来源】2017届广西陆川县中学高三8月月考考点14中难

若函数/(幻=/一产-火在R上存在单调递增区间，则实数。的取值范围是.

15•【来源】2017届湖北襄阳四中高三七月周考二考点14中难

若函数〃x)=x2-；inx+l在其定义域内的一个子区间(a-La+1)内存在极值,则实数。的

取值范围.

16.【来源】2015-2016新疆哈密地区二中高二下期末考试考点15易

如图，阴影部分的面积是

三.解答题（共70分）

17.（本题满分10分）

【来源】2017届四川遂宁等四市高三一诊联考考点14易

已知函数f\x）=aex-x（aeR）,其中e为自然对数的底数，<?=2.71828….

（I）判断函数的单调性,并说明理由；

（II）若xe[l,2],不等式恒成立，求a的取值范围.

18.（本题满分12分）

【来源】2017届河南百校联盟高三文11月质监考点14中难

已知函数/'（》）="一依，（a>0）.

（I）记〃尤）的极小值为g（a）,求g（a）的最大值;

（II）若对任意实数x恒有20,求/（a）的取值范围.

19.（本题满分12分）

【来源】2017届河北唐山市高三理上学期期末考点14中难

已知函数==xflnx-^-lY

（1）求y=/（x）的最大值;

(2)当ae0,-时，函数y=g(x),(xe(O,e])有最小值.记g(x)的最小值为可。)，求

函数〃(。)的值域.

20.(本题满分12分)

【来源】2017-2018学年江苏南通海安县实验中学高二上学期期中考点14中难

已知函数/(%)=炉_x+ce-2x{c6/?).

(1)若/(x)是在定义域内的增函数，求c的取值范围；

(2)若函数/(x)=/(x)+/(x)—T(其中尸(x)为/(x)的导函数)存在三个零点，求c,的

取值范围.

21.(本题满分12分)

【来源】2017届四川自贡市高三一诊考试考点14中难

已知函数/(x)=/3ei-〃())x+；x2(/，(x))是/(x)的导数，e为自然对数的底

数)，g(x)=^x2+ax+h^a&R,bwR).

(I)求〃x)的解析式及极值：

(II)若〃x"g(x),求当D的最大值.

22.(本题满分12分)

【2017课标1,理21】已知函数/(X)=4/*+("_2)e*_X

(1)讨论了(X)的单调性;

(2)若/(X)有两个零点，求a的取值范围.

参考答案

1.D

【解析】由题意得，函数的导数为

/,(x)=(sin2x)f=2sinx-(sinx\=2sinxcosx=sin2x.

2.A

【解析】由题意得，/'(x)=gx-sinx,

所以r(—X)=g(r)-sin(-x)=T；x-sin幻=-f'(x)，所以函数/'(x)为奇函数，即函

数的图象关于原点对称，当x=T时，/(m=；万—1<0,当x〉2时，/'(x)>0恒成立，

故选A.

3.【答案】A

【解析】

试题分析：由题可得f'(x)=(2x+a)/"+(x2+ax-iy1=[^+(a+2)x+a-ly1

因为/(—2)=0,所以a=-l,/(x)=(x2-x-iy1,Sj?/,(x)=(x2+x-2>1-1

令/3>0,解得x<-2或x>1,所以/(x)在(^O-2),(1,-HB)单调递增，在(-2,1)单调递减

所以/(X)极小值为==T,故选A”

4.C

【解析】设切点为(玉)，孔)，则有

:1

-----=e2e1

<%+e=>力=ae-2,丁Z?>0,。,QH-----=a+—N2,故选C.

1/、，e8+2a

ln(x0+a)=ex。+。

5.D

【解析】函数y=f的导数y，=2x,y=Y在点(%,x：)处的切线斜率为k=2x0,切线方程

为y-x：=2毛(%-%0),设切线与y=lnx相交的切点为(〃2,ln〃z),(0</"<1),由

丁=山》的导数为歹=,可得2/=」*，切线方程为、—111m=,(工一，〃)，令l=0,可得

xmm

11

y=lnm-l=-x9,由0<加<1可得%>-,且不9>1,解得小>1由m=——,可得

022%

2

,片-ln（2x0）-l=0,令/（x）=x-In（2x）-1,

x>l,/!(x)=2x——在I递增，

且/(夜)=2-如2血一l<0,/(百)=3-In26-1>0,则有片一ln(2』)—l=0的根

4故选D.

6.D

【解析】

设F(x)=xe'/(x),则=(x+l)e*〃x)+xe"'(x)=e*[(x+l),f+.

­.•(x+l)/(x)+V/(x)>OMxeR恒成立,且e'>0..,.尸(x)>O,AF(x)在R上递增.

7.D

[解析】g'(x)=)(四飞/处=/'(x)-/(x),令g[x)<0即/'(x)-/(X)<0,由图可

kre

得xe(0,l)U(4,+oo),故函数单调减区间为(0,1),(4,+»),故选1).

8.A

【解析】设g(t)=</(l)-/,(L£析)，

g'(x)=e"/(x)+e"/'(x)—e"=ex[f(x)+/'(x)-1],f'Cx)>l-/(x),

fCx)+frCx)—1>O,g'(x)>0,y=g(x)在定义域上单调递增，

•.・exf(x)>ex+5,g(x)>5,

又；g(0)=e°/(0)—e°=6—1=5,r.g(x)>g(0),x>0,不等式的解集为(0,+8).

9.【答案】C

[解析】函数的零点满足X2-2X=-a[ex-'+e^'),

设g(x)=e'T+e-e，则g，(x)=一=e—十=,

当g'(x)=0时,x=l,当x<l时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减,

当%>1时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

当x=1时，函数取得最小值g。)=2,

设〃（同二X2-2x，当x=l时，函数取得最小值—1,

若一。>0,函数方(X)与函数Og(x)没有交点，

当一。<0时,-四。)=%。)时,此时函数M%)和。g(x)有一个交点,

即一0x2=—1,解得°=1.故选C.

2

10.B

【解析】令F(x)=sin2x-/(x),则尸(x)=sin2x-/(尢).因为当XG[0,+OO)

时，2sinxcosx—/(x)>0,即sin2x>/(x),所以F(x)=sin2x—f(x)>0,所以

F(x)=sin2%-/(%)在％«O,+oo)上单调递增.又VxcR,/(—%)+/(%)+cos2x=1,

所以/(-x)+/(x)=2sin2x,

所以，=slr^x-2siT^x+f(x)=[slr^x-f(x)],故

尸(x)=sin2x—为奇函数，所以/(x)=sin2x—/(x)在R上单调递增，所以

•即”卜用/故选民

11.B

【解析】g'(x)=-3x2+5x+2=—(x—2)(3x+1),所以g(x)在[1,2]上是增函数，[2,4]上

是减函数g(x)=g(2)-0,/(%)>0在xe[l,+oo)上恒成立，由xe[l,+oo)

Y"~7

知，x+lnx>0,所以/(x)20恒成立等价于。<-------在xe[1,+8),时恒成立，令

x+lnx

2

h{x}=--——,xe[L+X),有/(x)=—~1)+2?”>o,所以h(x)在[1,+8)上是增函

x+lnx(x+Inx)

数，有〃(x)2/?(l)=l,所以aWl.

12.C

【解析】V/(%)=-,：-/(。)=,,V

xa

61d一』上一1+9*g/，(.)+»一】，；•』河+如，二

212b

—+一=1,,?a>Q/?>0,

a2bf(a+b)=(a+ba

213

且三+」-=1,即。=3/二弓时等号成立,故选C.

a2b2

133x+y-7=0

【解析】f'[x}=-In*+3，所以4=r(l)=-3,AD=4,切线方程为

X

y-4=-3(x-1),即标+y式小)

14.a<21n2—2

【解析】/(x)=x2-e'-ax,^f'M=2x-ex-a,W^f(x)=x2-e'-ax

在R上存在单调递增区间，所以f\x)=2x-ex-a>0,即a<2x—e*有解，令

g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-e*,则g'(x)=2-e*=0=x=ln2，所以当x<ln2

时,g'(x)=2—e">0；当x>ln2时,g'(x)=2—/<0,当x=ln2

时，g(x)=21n2—2,所以。<21n2—2.

°\/max

3

15.[1,-)

14x2-111

【解析】函数的定义域为(0,+oo),令/'(x)=2x—人=丝~^=0,解得尤=上或工=一上

2x2x22

(不在定义域内舍)，所以要使函数在子区间(a-1,a+1)内存在极值等价于

tz-l>0

133

—£(Q—l,a+l)u(0,+oo),即〃1,解得—,答案为[1,—).

2\[222

11

。+1〉一

2

“32

16.——

3

【解析】由题意得,直线y=2x与抛物线y=3-Y,解得交点分别为(一3,-6)和(1,2),抛物

线y=3-x2与x轴负半轴交点(-73,0)，设阴影部分的面积为S,则

S=£(3-X2-2x)dx+J}(3-x2)cbc

-J2xdx+J(3-x2)cbc=g+2G+9-2G=,.

11)

17.(I)理由见解析；(H)—+-,+oo

芦eJ

【解析】(I)由题可知，/(/)=〃/一九，则=,

(i)当aWO时，/(力<0,函数=为R上的减函数，

(ii)当〃>0时，令。"一1=0,得x=-lna,

f

②xe(-<x)9-lna)f则/(x)<0,此时函数为单调递减函数;

②若x£(-ln〃,+oo),则((力>0,此时函数“X)为单调递增函数.............(4分)

(II)由题意，问题等价于2],不等式4炉-恒成立,

即xe[l,2],信匕£恒成立，

ezx

令g(X)=，则问题等价于a不小于函数g(x)在[1,2]上的最大值.............(6分)

(I+MJJ"-20+.r/je2'

(l-x)e*-2

由g'(x)=e4x

当x€[1,2]时,g'(x)VO,所以函数g(x)在[1,2]上单调递减,......................(8分)

所以函数g(x)在xe[l,2]的最大值为g(l)=《+L

ee

「11、

故xe[l,2],不等式恒成立，实数a的取值范围为4+-,+oo.........(10

Le2e)

分)

18.(1)g(a)nux=l(II)/(a)的取值范围是(l,e0—e2].

【解析】(I)函数/(x)的定义域是(F,+8),/'(x)="—a.在定义域上单调递增。

/''(x)>0,得x>lna,所以/(x)的单调区间是(lna,+。。)，函数/(x)在x=Ina处取极

小值，

爪a)=f(x)极小值=Aina)-e[na-alna-a-alna.

g'(a)=l-(l+lna)=-lna,当Oca<1时，g'(a)>0,g(a)在(0』)上单调递增；

当a>l时,g'(a)<0,g(a)在(1,+8)上单调递减.

所以a=1是函数g(a)在(0,+8)上唯一的极大值点，也是最大值点，所以

g(a)max=g6=L

......................•(6分)

(ID当xWO时，。〉0,炉一批20恒成立.

当X>0时，/(%)>(),即，一〃¥之0,即

e

令〃(x)=JXG(0,+OO),h'(x)=e[=e(:

XXX

当0〈尤<1时，〃。)<0,当〃'(x)>0,故〃(x)的最小值为人⑴=e,

所以a<e,故实数。的取值范围是(0,e].

/(a)=e"-a2,a«0,e],1(a)=e"—2a,由上面可知e"-2aNO恒成立，

故/(a)在(0,e]上单调递增,所以/(O)=1</(e)=,

即/(a)的取值范围是

(LeT]...................................................(12分)

1

19.(1)一；(2)[一e一,-1].

e2

1—1nY

【解析】(l)f'(x)=­L(x>0),

X

当X£(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增；

当x£(e,+8)时,f'(x)<0,f(x)单调递减，

所以当x=e时,f(x)取得最大值f(e)="!-................................(3分)

e

Inx

(2)g'(x)=lnx—ax=x(----a),由(1)及x£(0,e]得：

①当a=!时,一a<0,g'(x)WO,g(x)单调递减，

当x=e时,g(x)取得最小值g(e)=h(a)=―|~......................(5分)

②当aeiO,—),f(1)=0Wa,f(e)=—>a,

ee

所以存在te[1,e),gz(t)=0且Int=at,

当x@(0,t)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当xW(3e]时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x)的最小值为g(t)=h(a)..........................................(7分)

人,/、c/、tInt

令h(a)=G(t)=2-t，

因为G'所以G(t)在[l,e)单调递减，此时G⑴日一方,一1]....(11

分)

Q

综上,h(a)C[---,—1].................................................................................(12分)

20.(1)(-00,-1](2)(。，|/)

[解析](D因为f(x)=x2_x+ce-2'(ceR),

所以函数/(x)的定义域为此且/'(尤)=2x-i-2ce2^

1,

由/(x)NO得2x—l-2c・e~NO即2对于一切实数都成立.

再令g(x)=5(21)e：则g“)=，令g，⑺=o得％=0

而当龙<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x)>0,

所以当X=0时g(x)取得极小值也是最小值,即g")min-g⑼一&

(-00)--J

所以C的取值范围是2.....................................................(6分)

⑵由⑴知/'(幻=2%-1-20・6",所以由/;'0)=0得

57

X2-x+ce~2x+(2x-l-2ce~2x)=-c=(x2+x——)e2x

2,整理得2.

令7i(x)=(厂+x--)e2x则力,(幻=2,+=2(x+3)(x-l)e2x

令"(x)=0,解得x=_3或x=l

列表得：

X(-«,-3)-3(-3.DI(1,+X)

%'⑺4-

/»(r)增用

5”

—e

由表可知当％=-3时，力(x)取得极大值2.

32

——e

当x=l时，力(幻取得极小值2.

27

X+X--->0,

又当了<-3时，2,61>0,所以此时。(%)>0.

/z(x)e(05,-^)〃(乃€(-9a2s,9巧

因此当x<-3时，2.当-3c<1时，22.

3S

h(x)e(—―e2,4-oo)(0,—6)

当时，2；因此满足条件,的取值范围是2.……(12分)

1P

21.(I)f(x)=e'-x+-x2；/(x)的极大值为/'(0)=1,无极小值；(H)

24

【解析】(I)由已知得/(x)=7'(I)e，T—/(0)+x,

令x=l,得尸(1)=/⑴-40)+1,

即"0)=1

又/⑼